分数阶微分方程的李对称分析和精确解

论文摘要

分数阶微分方程,是对整数阶微分方程的推广,通过分数阶微积分理论进行研究.由于分数阶微分方程不仅在纯数学中被公认为基本方程,而且在工程、统计力学等领域也因其多种应用而被公认为基本方程.于是,寻找其精确解成为了研究分数阶微分方程的主要的目的,为了研究一类分数阶微分方程的精确解,不少文献已提出辅助方程法、齐次平衡法等方法,本文着重选取了李对称法和不变子空间法.文章结构如下:第一章:简要说明分数阶微分方程及其求解方面的研究背景、一些与本文相关的预备知识.第二章:主要利用经典李对称法,求得一类分数阶微分方程的李对称.通过相似变换、相似变量,方程被约化为带有Erdelyi-Kober分数阶算子的非线性常微分方程.进一步在李代数的基础上,利用具有正则拉格朗日函数的新的守恒定理,讨论给定方程的守恒律,并对其进行了详细推导.第三章:以Whitham-Broer-Kaup方程为例,通过变分法以及基于变分原理的凑合反推法来构造分数阶微分方程,将Whitham-Broer-Kaup方程构造为混合分数阶的Whitham-Broer-Kaup方程,并对所构造方程进行李对称分析.第四章:主要介绍不变子空间法,并将不变子空间法推广到时间分数阶耦合非线性偏微分方程,对给定的离散分数阶微分方程进行分类,给出所考虑方程组允许的不变子空间存在的充分条件,并讨论不同情况下的精确解.第五章:通过总结本文,提出未来还需努力探索的方向.

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
•   1.1 研究背景
•   1.2 主要工作
•   1.3 预备知识
• 第二章 分数阶微分方程的经典李对称分析和精确解
•   2.1 引言
•   2.2 李群基础
•   2.3 分数阶微分方程的对称约化和精确解
•   2.4 守恒定律
• 第三章 分数阶微分方程组的构造及李对称分析
•   3.1 引言
•   3.2 分数阶变分问题
•   3.3 分数阶微分方程组的构造
•   3.4 分数阶微分方程组的李对称分析
• 第四章 不变子空间方法及其在分数阶微分方程中的应用
•   4.1 引言
•   4.2 Laplace变换
•   4.3 不变子空间方法
•   4.4 分数阶微分方程的不变子空间及其精确解
• 第五章 总结和展望
• 参考文献
• 致谢
• 读研期间科研情况

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 袁媛

导师: 陆斌

关键词: 分数阶微分方程,变分原理,精确解,李对称分析,不变子空间法

来源: 安徽大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 安徽大学

分类号: O175

总页数: 57

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