云南省嵩明县嵩阳一中651700
摘要：本文从三角形各心概念出发，给出了许多具有相同“心”的三角形模型，并得出“在等边三角形内部能做无数个与其各边相接的等边三角形，且这无数个等边三角形共用一心”的结论。
关键词：三角形重心内心
一、三角形各心的概念
定理1：三角形的三条中线、三条高线、三条内角平分线、三边垂直平分线、一条内角平分线和其它两个角的外角平分线、三边周界中线都交于一点。
定义：三角形的重心、垂心、内心、外心、旁心、界心分别是此三角形三条中线、三条高线、三条内角平分线、三边垂直平分线、一条内角平分线和其它两个角的外角平分线、三边周界中线所交成的点。
二、同心三角形簇
1.具有相同内心的三角形簇。定理2：过不在同一半圆周上的圆上三点，作圆的三条切线，围成的三角形是具有相同内心的三角形簇。事实上：（1）若A、B、C是处于同一半圆周内的互异三点，则分别过这三点作与圆相切的直线l1、l2、l3，所围成的三角形以圆心为旁心（如图1）。（2）若AB是圆的直径，则过A、B分别作圆的两条切线l1、l2，必有l1∥l2；又在圆上取与A、B互异的点C作圆的切线l3，显然l1、l2、l3不能围成三角形（如图2）。（3）除以上两种情况，圆上互异三点作圆的三条切线围成一个三角形，此三角形以圆心为内心（如图3）。
2.具有相同外心的三角形簇。定理3：圆上任意三点确定的三角形是具有相同外心的三角形簇。事实上，圆上任意（互异）三点必不共线，不共线三点确定一个三角形，圆心是此三角形的外心（如图4）。
3.具有相同重心的三角形簇。事实上，如图5，对任意三角形，连接其各边中点所成的新三角形与原三角形有相同重心。依次连接新三角形的各边中点，又得到了另一个三角形，仍与其具有相同的重心。如此反复下去就得到了一簇具有相同重心的三角形，记反复构造的次数为n，当n→∞时，三角形就变成了一个点，这个点就是它们共同的重心。类似的我们还可以构造很多具有相等“心”的三角形簇模型，以下再以定理4为例：定理4:在等边三角形内部能做无数个与其各边相接的等边三角形，且这无数个等边三角形共用一心（外心、内心、垂心、重心、界心）。
事实上：
所以G与P重合，即△ABC与△P1P2P3共用重心。而等边三角形五心合一（外心、内心、垂心、重心、界心），可见与等边△ABC各边相接的无数个等边三角形共用一心。
参考文献
[1]樊群涛三角形“三心”的完美统一[J].中学生数学，2005，22。
[2]胡如松重心是三角形五心的中心[J].中学数学教学，1997，2。
[3]周又之初等数学手册[M].北京：新时代出版社，1986，114-150。
[4]续铁权位似变换与三角形的“三心共线”[J].数学通讯，1998，4：27-28。
本文来源: https://www.lunwen90.cn/article/802417fba667d6b10e6b25b2.html