姜近芳江苏省姜堰市罗塘高级中学
普通高中数学课本必修（4）（苏教版）在教三角函数的应用课后，安排了一道实习作业：请同学们分组，通过实验、猜想、探索和研讨焊做烟筒弯头的裁剪方案。笔者在指导和参与学生研讨过程中，深有感触。这样的问题设计有利于培养学生分析问题、解决问题的能力，有利于培养学生思维的指向性、严密性和创造性。
在分析讨论过程中，大家一致认为：首先应弄清侧面展开图上的接口是什么曲线，其次考虑怎样划线材料最省。
一侧面展开图的接口是什么曲线
我们经历了实验、猜想、证明的三个过程：
1．实验
把一个圆柱形木材用和轴线成45°角的平面截开后，两端一拼接就成了一个实心的直角弯头（见图1）。用一张矩形的纸张包裹住其中的一截木材，用铅笔沿截口在包裹纸上画出轮廓线，展开后观察，发现轮廓线很像正弦余弦曲线。
２．猜想
在轮廓线的平衡位置划上水平线为x轴，过最高点垂直于x轴的直线为y轴，进一步观察，猜想轮廓线为余弦曲线的一部分。
３．证明
设圆柱的半径为R，以过截口椭圆长轴端点C的母线为y轴。过截口椭圆中心M和y轴垂直的截面圆为x轴建立（如图2）所示的直角坐标系（沿过截口椭圆长轴另一个端点的母线展开）。设点P（x，y）为截口上的任一点，过点P引PQ⊥OM于Q。设截面交OM于AB，过Q引QN//OT交AB于N，连PN，则∠PNQ＝∠OMC＝45°，设∠OMQ＝θ，则θ∈[－π，π]：PQ＝y＝NQ＝Rcosθ，又OQ＝Rθ＝x，∴y＝Rcos，x∈[－Rπ，Rπ]。
图1图2
二怎样使画线材料最省
由余弦曲线的性质，知按如图怎样使画线材料最省所示的画法用料最省，则材料长和宽立即可得。
三联想延伸
通过指导学生实习，深深地感到上好实习课，不仅能培养学生的动手能力，更能提高学生思维的质量，培养学生的创造力，不仅学到了知识，而且培养了兴趣。
课后还有学生提出这样的问题，柱面的数据有了，但生产生活实际中也有柱面和锥面焊接成的弯管，若将柱面换成锥面情况那又怎样计算呢？
图3图4
我们知道：圆锥面被平面所截，截口为圆锥曲线，若将圆锥的侧面展开，截口是什么曲线呢？能求出曲线的方程吗？笔者和几个积极分子通过建立极坐标系，求出了它们的方程。
以圆锥顶点O为极点，右侧的母线为极轴，建立（如图4所示）的极坐标系（沿左侧的母线展开）。
设圆锥的半顶角为a，截面与轴OT的夹角为Φ，截面与轴交于O′点。
设OO′＝d，0≤Φ≤，设p（p，θ）为截口上的任一点，
过点P作垂直于轴的截面OO″，与截口交于PB，则AP＝Pθ＝O″P?cos∠BO″P，O″P＝psina，∵BO″P＝。∴OB＝O″P?cos∠BO″P＝psinacos（）。
注意到O′O″＝pcosa，在Rt△OO″B中，有OB＝O′O″tanΦ＝（d－pcosa）tanΦ。∵psinacos（）＝（d－pcosa）tanΦ。
∵p＝，由圆锥侧面展开图的弧
长关系2πr＝lθ得：
扇形中心角θ＝2π＝2πsind，θ∈［－πsina，πsinaπ］。
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