与高阶矩阵谱问题相联系孤子方程的求解：Riemann-Hilbert方法

论文摘要

本文主要讨论Riemann-Hilbert方法在求解可积非线性偏微分方程初值问题的应用.基于Riemann-Hilbert方法,本文研究了几个与3×3,4×4及7×7等高阶矩阵谱问题相联系的可积方程的多孤子显示解.这些可积方程分别是:非局部二波作用方程,二分量耦合修正Hirota方程,二分量耦合修正Fokas-Lenells方程,二分量耦合复mKdV方程,三分量耦合Sasa-Satsuma方程.第二章,主要讨论了非局部二波作用方程初值问题的N孤子解.从与之相联系的3×3矩阵谱问题入手,通过对这个3×3矩阵谱问题的Jost解进行分析,建立非局部二波作用方程对应的矩阵Riemann-Hilbert问题.在正则和非正则情形下分别求解相应的矩阵Riemann-Hilbert问题,并讨论散射数据关于时间和空间的演化.最后利用矩阵Riemann-Hilbert问题中+与-的代数性质,即det±的零点与±的特征向量,构造出非局部二波作用方程的N孤子显示解.第三章及第四章,分别讨论了二分量耦合修正Hirota方程和二分量耦合修正Fokas-Lenells方程满足Cauchy初值问题的多孤子解.虽然都是基于3×3的谱问题建立相应的矩阵Riemann-Hilbert问题,这两个系统的困难点不同.二分量耦合修正Hirota方程仅有一个对称关系,而二分量耦合修正Fokas-Lenells方程有两个对称关系,在求解非正则的矩阵Riemann-Hilbert问题时,后者处理起来更为复杂.此外,在前面两章中,矩阵Riemann-Hilbert问题满足的边界条件都是规范的,即±在无穷远处均趋于单位矩阵.但是在处理二分量耦合修正Fokas-Lenells方程时,正则化后的矩阵Riemann-Hilbert问题的解±在无穷远处并非趋于单位矩阵,这时我们利用±在→0处的渐近展开式来克服这一困难,在此基础上构造出二分量耦合修正Fokas-Lenells方程的N孤子解的精确表达式.第五章,主要讨论了二分量耦合复mKdV方程初值问题的孤子解,与这个方程相联系的是4×4矩阵谱问题.借助谱方程矩阵Jost解的性质分析,建立二分量耦合复mKdV方程对应的矩阵Riemann-Hilbert问题.经过正则化,非正则的矩阵Riemann-Hilbert问题转化成了正则的矩阵Riemann-Hilbert问题,并利用Plemelj公式将之解出.在利用矩阵Riemann-Hilbert问题的代数性质构造孤子解时,与前面三章不同的是,零点6)对应的解矩阵+(6))的核空间的秩可能为1,也可能为2.因而构造出的单孤子解有秩为1对应的情形,也有秩为2时的单孤子解.第六章,主要研究了三分量耦合Sasa-Satsuma方程初值问题的N孤子解的构造,与其相联系的是7×7矩阵谱问题.通过对谱问题解析Jost矩阵的分析,构造出了相应三分量耦合Sasa-Satsuma方程的矩阵Riemann-Hilbert问题.求解相应的非正则矩阵Riemann-Hilbert问题,并利用其零点及特征向量等代数性质构造出无反射情形下的方程的解,也即多孤子显示解.与前面几章不同的是,这里的非正则的矩阵Riemann-Hilbert问题的有两种不同类型的零点结构,处理起来更为复杂.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 前言
•   §1.1 孤子理论的产生与发展
•   §1.2 Riemann-Hilbert问题简介
•   §1.3 本文主要研究内容
• 第二章 非局部二波作用方程的N孤子解
•   §2.1 正散射过程
•   §2.2 矩阵Riemann-Hilbert问题的求解
•   §2.3 散射数据演化及位势重构
•     §2.3.1 空间和时间演化
•     §2.3.2 位势重构
•   §2.4 N孤子解
• 第三章 二分量耦合修正Hirota方程的N孤子解
•   §3.1 Riemann-Hilbert问题的构造
•     §3.1.1 正散射过程
•     §3.1.2 Riemann-Hilbert问题
•     §3.1.3 对称条件
•   §3.2 Riemann-Hilbert问题的求解
•   §3.3 反问题
•   §3.4 N孤子解
•     §3.4.1 单孤子解
•     §3.4.2 N孤子解
• 第四章 二分量耦合修正Fokas-Lenells方程的N孤子解
•   §4.1 矩阵Riemann-Hilbert问题的构造
•     §4.1.1 正散射问题
•     §4.1.2 Riemann-Hilbert问题
•     §4.1.3 对称条件
•   §4.2 矩阵Riemann-Hilbert问题
•     §4.2.1 位势重构及散射数据的演化
•   §4.3 N孤子解
•     §4.3.1 N孤子解的构造
•     §4.3.2 N孤子解
•     §4.3.3 单孤子解
• 第五章 二分量耦合复修正Kd V方程初值问题的N孤子解
•   §5.1 谱问题及Jost解
•     §5.1.1 谱问题
•     §5.1.2 矩阵Jost解
•   §5.2 Riemann-Hilbert问题
•     §5.2.1 对称条件
•     §5.2.2 矩阵Riemann-Hilbert问题的构造
•   §5.3 矩阵Riemann-Hilbert问题的求解
•     §5.3.1 正则矩阵Riemann-Hilbert问题的求解
•     §5.3.2 非正则矩阵Riemann-Hilbert问题的求解
•     §5.3.3 正则化过程
•     §5.3.4 位势重构与散射数据的演化
•   §5.4 单孤子解的构造
• 第六章 三分量耦合Sasa–Satsuma方程初值问题的N孤子解
•   §6.1 Riemann-Hilbert方法
•     §6.1.1 正散射过程
•     §6.1.2 Riemann-Hilbert问题
•     §6.1.3 对称条件
•   §6.2 矩阵Riemann-Hilbert问题的求解
•     §6.2.1 正则矩阵Riemann-Hilbert问题的求解
•     §6.2.2 非正则矩阵Riemann-Hilbert问题的求解
•     §6.2.3 正则化过程
•   §6.3 反问题
•   §6.4 孤子解
•     §6.4.1 单孤子解
•     §6.4.2 N-孤子解
• 参考文献
• 个人简历及攻读博士学位期间的研究成果
• 致谢

文章来源

类型: 博士论文

作者: 徐思齐

导师: 耿献国

关键词: 问题,孤子解,公式,散射矩阵,位势重构

来源: 郑州大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 郑州大学

分类号: O175.29

总页数: 139

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