随机抛物方程反源问题

论文摘要

随着科学技术的发展,越来越多的人意识到数学物理系统中不可避免会带有随机扰动,这就需要在确定性的数学模型中加入随机项,从而随机偏微分方程成为计算数学和应用数学中一个新兴的研究领域.近年来,确定性偏微分方程反问题的研究如火如荼,与之相对应的随机偏微分方程反问题也成为当下的热点之一,其中重要的一类反问题是随机偏微分方程反源问题.由于随机偏微分方程模型中随机项的不确定性,所以随机偏微分方程反源问题的理论分析和数值计算都有一定的难度.本文考虑的是一类典型的随机抛物方程反源问题,它在土壤、地下水、大气污染的检测和控制方面发挥重要的作用.本文考虑下面的随机抛物方程ut（x,t）+Au（x,t）=f（x）+σWx,其中Wx=∫D r（x,y）Wydy.给定源项中确定性函数f（x）和彩色噪声Wx的核函数r（x,y）,求解u（x,t）为正问题.反问题是根据末端时刻的测量数据来反演f（x）和x（x,y）.本文分别考虑正问题和反问题.对于正问题,应用特征函数方法得到正问题解的级数表达式,给定适当的源项假设条件,利用随机分析理论证明了正问题的解是唯一弱解以及解的一些正则化型质,并得到解分别关于时间和空间变量的Holder连续性.对于反问题,对测量数据取期望得到f（x）的级数表达式,证明了f（x）精确解的唯一性和条件稳定性.直接利用截断方法得到f（x）数值解的表达式,证明了数值解和精确解的误差估计.与此同时,对测量数据取方差得到r（x,y）的级数表达式,证明了 r（x,y）精确解的唯一性和条件稳定性.利用截断正则化方法得到r（x,y）正则化解的表达式,分别考虑先验和后验的正则化参数选取策略,并分别得到两种正则化参数选取方法下的正则化解和精确解的误差估计.最后分别给出一维和二维的数值算例,验证给定算法的有效性.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
•   1.1 抛物方程反源问题的研究背景
•   1.2 抛物方程反源问题的相关工作
•   1.3 本文的主要工作
• 第二章 预备知识
•   2.1 白噪声
•   2.2 彩色噪声
•   2.3 反问题和问题的不适定性
•   2.4 正则化方法
• 第三章 正问题
•   3.1 正问题解的级数表示
•   3.2 正问题解的存在唯一性和正则化性质
•   3.3 正问题解的Holder连续性
• 第四章 反问题
•   4.1 反问题解的构造和唯一性
•   4.2 反问题解的条件稳定性
•   4.3 正则化解的误差估计
• 第五章 数值算例
•   5.1 一维数值算例
•   5.2 二维数值算例
• 第六章 结束语
• 致谢
• 参考文献

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 聂丁玲

导师: 杨明

关键词: 随机抛物方程,反源问题,条件稳定性,随机分析,截断方法

来源: 东南大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 东南大学

分类号: O175.26

DOI: 10.27014/d.cnki.gdnau.2019.003343

总页数: 44

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