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广义Cauchy-Riemann方程的相关研究

2020-12-08阅读(598)

广义Cauchy-Riemann方程的相关研究

论文摘要

复分析中的Cauchy-Riemann偏微分方程组给出了复可微函数在开集中满足全纯函数的充要条件,全纯函数是复理论研究的核心之一,它们是复流形到复数域C的处处可微函数.解析函数是复变函数论研究的主要对象,即区域上处处可微分的复函数,它是一类具有某种特性的可微解析函数是复变函数论研究的主要对象,它是一类具有某种特性的可微函数.判断复函数可微和解析的主要条件是Cauchy-Riemann条件.Cauchy-Riemann条件是判断复变函数在一点可微或在一区域内解析的主要条件.单复变函数全纯当且仅当它实可微并且满足Cauchy-Riemann方程,Euler,Riemann,Cauchy,d’Alembert等人是探究Cauchy-Riemann方程的先驱.但随着复分析的发展与深入,学者们发现现行的线性Cauchy-Riemann方程已经不能很好描述某些非线性的复变函数问题,即Cauchy-Riemann方程具有局限性,因此,长久以来围绕着Cauchy-Riemann方程很多学者都有过讨论与研究.I.N.Vekua,L.Bers与T.Carleman等人最早发展了Cauchy-Riemann方程称之为 Carleman-Bers-Vekua方程的广义形式,它对应的解称为广义解析函数.Z.D.Usman-ov,M.Reissig,A.Timofeev,Giorgadze G,Jikia V,G.T.Makatsaria等人是研究广义Cauchy-Riemann系统的著名学者,他们从不同角度均对Carleman-Bers-Vekua方程有过详细的研究,得到了丰富的结果.所以本文先利用K结构变换将复函数可微的逻辑关系转换为代数形式,再进行深入研究.通过变换的方式研究数学对象是通行普遍的一种方法,研究变换前后目标函数的变化规律而得到最为一般的结论与理论意义.本文通过K结构变换的方法研究广义Cauchy-Riemann方程具有一般优越性,在于K函数的任意取值性.所以本论文的主要内容及创新如下:第一章讲述了本文的研究背景.首先介绍了线性Cauchy-Riemann方程的发展,以及解析函数的相关知识,包括Cauchy积分定理以及积分等问题,Liouville定理,最大模原理与Schwarz引理,以及非线性Cauchy-Riemann方程代数表达式.第二章使用了 K-变换的方法对Cauchy-Riemann方程进行重新研究并得到了 K-结构全纯条件.解析性或全纯性是复变函数或复分析中的核心问题,它可以解释和解决一些复分析领域的一些现象,如常数定理的可用性问题,Liouville定理的适用范围问题以及相关的问题.我们利用K-结构全纯条件,对相关问题展开了分析,重新考虑了它们的适用范围与特殊形式等.更进一步地研究了多复变量函数的K-结构全纯条件.首先,将单复变的复数域C拓展到多复变量Cn的情形,我们得到了一些充要条件用于判定任意给定的复函数是否是K-结构全纯的.接着,给出了Cn上的广义结构Wirtinger导数算子.第三章研究了二阶非线性K-结构Laplace方程,利用多复变量函数的K-结构全纯条件,得到了广义K-结构外微分算子与D算子,它延拓了已知的（?）算子.第四章在K-结构全纯条件下研究了广义Cauchy积分定理与广义Cauchy积分公式,引进了广义复梯度,并且得到了广义的Schwarz-Pick引理,从代数形式上推广了原有的Schwarz-Pick引理.

论文目录

  • 摘要
  • Abstract
  • 第一章 研究背景
  •   1.1 背景介绍
  •   1.2 预备知识
  •     1.2.1 复变函数的导数与微分
  •     1.2.2 解析函数及其简单性质
  •     1.2.3 线性Cauchy-Riemann方程
  •     1.2.4 复流形
  •   1.3 复变函数的积分
  •     1.3.1 Cauchy积分定理与Cauchy积分公式
  •     1.3.2 解析函数与调和函数的关系
  •   1.4 Liouville定理,最大模原理与Schwarz引理
  •   1.5 非线性Cauchy-Riemann方程
  •     1.5.1 Carleman-Bers-Vekua方程与广义解析函数
  •     1.5.2 非线性CR方程组
  • 第二章 K-变换和K-结构全纯
  •   2.1 K-变换
  •   2.2 K-结构全纯与广义结构Wirtinger导数算子
  •   2.3 广义结构解析函数与广义Cauchy-Riemann方程
  •   2.4 结构Liouville定理
  •   2.5 多复变量函数的K-结构全纯条件
  • 第三章 二阶非线性K-结构Laplace方程
  •   3.1 多复变量的二阶非线性K-结构Laplace方程
  •     3.1.1 K-结构外微分算子与D算子
  • 第四章 广义Cauchy积分定理与广义Cauchy积分公式
  •   4.1 广义Cauchy积分定理
  •   4.2 广义Cauchy积分公式
  •   4.3 广义辐角原理
  • 第五章 广义Schwarz-Pick引理
  • 第六章 总结与展望
  •   6.1 全文总结
  •   6.2 研究展望
  • 参考文献
  • 攻读学位期间取得的研究成果
  • 致谢

    • 文章来源

    类型: 硕士论文

    作者: 王根

    导师: 刘洋

    关键词: 非线性方程,变换和结构全纯,广义结构导数算子,二阶非线性结构方程

    来源: 浙江师范大学

    年度: 2019

    分类: 基础科学

    专业: 数学

    单位: 浙江师范大学

    分类号: O175

    DOI: 10.27464/d.cnki.gzsfu.2019.000021

    总页数: 70

    文件大小: 2846K

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