合肥师范学院数学与统计学院
1.PK理论模型概述
PK理论强调对数学学习中理解的产生和达到，是由英国的皮里（S.Pirie）和加拿大的基伦（Kleren）提出的数学理解发展的理论模型。这个模型以认知观点强调理解是一个进行中的、动态的、分水平的、非线性的发展，是反反复复的建构组织过程，是以认知观点比较全面认识数学理解的一个好理论模型。
两位学者认为，对数学某一个概念的理解，可以从八个水平进行分析，包括初步了解、产生表象、形成表象、关注性质、形式化、观察评述、组织结构、发明创造。每一水平都有各自的含义和不同的表现方式：
初步理解是指初步了解概念的有关方面，如语言的提法、个例的呈现、有关的推理等。这种理解并不是低水平的教学活动，而是对初始状态的思考活动。产生表象是说能根据先前的理解逐渐产生表象，有可能会出现错误的表象，通过归纳总结特征，得到新的运用方式。形成表象，这一水平活动是学生能有好的表现，能脱离产生表象而使用它。关注性质，该水平的理解表现为能够利用并组织概念的若干表象的几个方面，构造出独特的、相关的性质。形式化，学生能从以前的表现抽象出方法或是常用的特性，并根据有关性质建立形式化的数学对象。观察评述，能够将概念性质形式化的学生就也能反省并协调这样的活动，将这种活动结果表示成定理。组织结构，学生能将形式的观察评论转化为定理法则，了解了一组定理间的相互关系后，通过逻辑等方式验证或证实它们。发明创造，这一水平学生有了全面的结构性的理解，因此能产生、形成其他新的概念、新的问题。
有学者用八个嵌套的圆来表示这八个水平，并能直观地看出它们之间的关系。[1]皮里和基伦认为，每一个理解水平内部存在着达到和推进理解的两种要素性活动。[2]根据PK模型中八个理解水平之间的关系，可以总结出三个特点：一是八个水平都有自身独立的涵义，并且越往后的水平越高；二是展示了波浪式
发展的动态性，"理解"并不是单向地由内向外发展或者在某处徘徊、停顿；三
是能够反映出数学学习独有的性质。
2.PK理论模型的案例分析
一次函数是初中数学重要的知识内容之一，对学生数学的学习具有承上启下的作用。笔者就PK理论模型下的一次函数的概念进行了如下设计：
2.1复习旧知
师：我们在过去已经学习了正比例函数，同学们还记得正比例函数的哪些知识点呀？（课件展示）
生：定义、图象、性质、应用。
师：这些内容之间有什么联系？
生：认真思考它们之间的联系，并举手回答。
2.2引入情境，讲授新课
课件依次呈现下列问题
问题1下列问题可以用什么样的关系式来表示呢？
1、某打印店的收费标准是每张纸0.2元，打印费（元）与纸张数之间的关系式。
2、已知正方形边长为，周长为，那么周长与边长会有怎样的关系呢？
3、计算成年人标准体重（kg）的方法是：用身高值（单位：）减去常数105所得的差是的值。与之间有怎样的关系？
师：以上3个小问题，可以列出怎样的函数关系式呢？是不是我们以前接触过的函数呢？请同学们尝试列出它们的关系式，回答有关问题？
生：独立列出函数关系式，说明它们与之前学的正比例函数又怎样的区别？
【设计意图】本环节为新课的引出和学习奠定良好的基础，通过3个问题得到不同于正比例函数的三个新函数，引导学生在分化和类化各题的特征中发现研究一次函数的必要性，并为下一步类比、抽象、概出一次函数的定义作铺垫，能够达到"初步理解"和"产生表象"的水平。
问题2观察上述三个函数关系式，你能发现有什么共同特点呢？
师：解决了问题1之后，同学们能够自自行总结出它们的特点吗？分小组合作讨论完成，并派出小组代表回答问题。随后根据学生的回答，教师进行总结。
生：认真讨论交流，分享讨论结果。
【设计意图】学生在思考、对比、分析、类比中，能够找出一次函数的特点，达到"形成表象"和"关注性质"的水平。
问题3如果我们把这些关系式称为一次函数，那么你能类比正比例函数给
出一次函数下一个定义吗？
师：请同学们认真思考此问题，并举手回答一下，并根据学生回答总结一次函数定义。（板书呈现）
生：一般地，形如（、是常数，）的函数叫做一次函数。
【设计意图】学生通过独立思考，能够对一次函数的概念表达出自己的看法，透过一次函数概念的形成过程，自行总结出一次函数的概念，最终教师进行概念总结，使学生对一次函数的概念有更加深刻的认识，达到"形式化"和"观察评述"的水平。
2.3类比思考，理解概念
问题4通过上面的学习，我们知道一次函数的一般形式为（、是常数，），那么这里的为什么不等于0呢？可不可以为0呢？
生：当时，就变成了常数函数，可以为0，此时一次函数变成了正比
例函数。
师：所以说正比例函数是一次函数的一种特殊形式。
问题5你认为定义中的"形如"应该怎么去理解呢？
师：这个问题同学们可以从一次函数的外在形式去考虑如何理解"形如"。
生：（1）等号左边和右边构成了变量与关于自变量的整式；（2）；（3）自变量的最高次为1次。
【设计意图】教师的提问旨在引起学生的思维冲突，在思考中使学生理解正比例函数是特殊的一次函数，达到"组织结构"和"发明创造"的水平。
2.4拓展练习,应用概念
课件依次呈现下列练习
练习已知,当______时它是一次函数，____时
它是正比例函数。
师：小组讨论合作完成，并请同学进行板演，其他同学在下面解决，期间教师进行巡查。
生：认真交流合作，完成练习2。
【设计意图】根据学生对一次函数概念的认知，多角度、多层次地设置习题，在类比应用中加深学生对一次函数概念的理解，有助于形成"组织结构"的水平。
2.5归纳概括，自我小结
师：通过本节课的学习，你学到了哪些知识点呢？还存在哪些疑问呢？
生：自行发言，畅所欲言。
【设计意图】让学生自行进行总结，既可以从不同角度畅谈本节课的收获，也能引导学生更深层次的思考，优化学生数学思维品质。
2.6布置作业，课后升华
（1）教材120第2、3两题（必做题）
（2）选做题（略）
【设计意图】对作业进行分层，可以使不同的学生都能展示出自己的学习能力。必做题是课后巩固一次函数的概念，选做题会有一定的难度，在做的过程中可能会出现新的问题，也会形成"发明创造"的水平。
3.结语
透过PK理论模型的分析，教师可以有计划地、有目的地、更加全面的观察学生的理解活动，鉴定学生的理解处于什么水平之上，帮助教师进行有目的数学教学设计。此模型不仅可以将理解看作为一个整体的、分水平的、动态的但不是线性的发展过程，还可以表示为人们不断的、连续的认知结构组织。
参考文献
[1]李士锜，吴颖康.数学教育心理学[M].上海：华东师范大学出版社，2014.4
[2]Pirie,S.＆Kieren,T.1994.Growthinmathematicalunderstanding:Howcanwecharacterizeitandhowcanwerepresentit?[J].EducationalStudiesinMathematics,1994,26(3)