拟线性薛定谔方程解的存在性和多重性

论文摘要

微分方程不仅是传统应用数学的主要分支,也是当代数学的重要组成部分,而且微分方程在物理、力学等其他学科有着广泛应用.目前非线性微分方程,特别是非线性偏微分方程的研究已成为一种趋势.而作为非线性偏微分方程中非常重要的一类方程,拟线性薛定谔方程解的存在性一直是学者们非常感兴趣的问题.本文利用Moser迭代理论,Nehari流形的方法以及单调性技巧等方法讨论了拟线性薛定谔方程非平凡解的存在性和多重性.本文分为四章.在第一章中,我们介绍拟线性薛定谔方程的研究背景及现状.在第二章中,我们讨论以下拟线性薛定谔方程其中N≥ 3且p ∈（3,（N+2）/（N-2））,位势函数V满足（V）V是1-周期的,V ∈ C（RN,R）,0<a ≤infx∈RV（x）,其中α为正常数.为了得到上述方程非平凡解的存在性,我们首先利用Nehari流形方法研究带有扰动项拟线性薛定谔方程基态解的存在性,然后令μ→ 0并结合Moser迭代理论获得了原方程的非平凡解.在第三章中,利用推广的Clark定理和先验估计来讨论下面的拟线性薛定谔方程-Δu+V（x）u-Δ[（1+u2）1/2]u/2（1+u2）1/2=K（x）f（u）,x∈RN,无穷多个解的存在性,其中N≥ 3,势函数V,K和非线性项f满足（V）0<α V（x）≤γ<∞,x∈RN（f1）f是奇函数,当t≥ 0,f（t）≥0且存在q ∈（1,2）,使得（f2）F（t）=∫0tf（s）ds满足（?）=+∞;（K）K（?）O且K∈ L2/2-q（RN）∩L∞（RN）.在第四章中,我们主要讨论下面的拟线性薛定谔方程—Δu+V（x）u+k/2[Δ（u2）]u=λl（u）,x∈ RN,其中N≥ 3,λ>0及k∈ R.在势函数V满足适当的假设和非线性项Z满足局部假设条件下,我们通过Jeanjean发现的单调性技巧定理以及椭圆方程解的L∞估计和极大极小方法获得了上述方程正解的存在性.具体来说,势函数V和非线性项l满足（V0）V ∈ C1（RN,R）是径向对称的,且存在a0,a1>0使得对所有的x∈RN,0<a0≤V（x）≤a1<∞;（V1）存在C±>0使得|▽V（x）·x|≤C±/|x|2,x∈RN{0}其中C+<（N-2）2/2（k>0）（K>0）和C-<（N-2）2/12（k<0）;（l1）l∈C1（R,R）,l（t）=0,t ≤0且存在q ∈（2,2*）使得（l2）存在p∈（2,2*）使得（?）L（t）/tp>0,其中L（t）=∫0tl（s）ds.

论文目录

• 中文摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 第二章 一类无紧性拟线性薛定谔方程的解
•   §2.1 引言
•   §2.2 辅助问题
•   §2.3 主要结果的证明
• 第三章 带有局部次线性项拟线性薛定谔方程多重解的存在性
•   §3.1 引言
•   §3.2 主要结果的证明
• 第四章 带有局部超线性项拟线性薛定谔方程正解的存在性
•   §4.1 引言
•   §4.2 k<0的情形
• 0的情形'>  §4.3 k>0的情形
• 参考文献
• 研究成果
• 致谢
• 个人简况及联系方式

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 高金峰

导师: 梁占平

关键词: 拟线性薛定谔方程,迭代理论,流形,单调性技巧,极大极小方法

来源: 山西大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 山西大学

分类号: O175

DOI: 10.27284/d.cnki.gsxiu.2019.000014

总页数: 54

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