矩阵和Tensors近似联合对角化算法研究及其应用

论文摘要

盲源分离（Blind source separation（BSS））是一个在很多文献中被广泛讨论的重要问题,它影响到天文学、生物医学、地震学、光谱学以及数字通信等诸多领域。一个处理BSS问题非常重要且有效的方法就是矩阵或者高阶张量（Tensor）的近似联合对角化（Approximate joint diagonalization（AJD））。而矩阵或者高阶张量的AJD算法在除BSS外的很多重要领域都有应用,比如图像处理、独立成分分析（Independent component analysis（ICA））等。本文主要考虑其在BSS中的应用。传统的AJD算法主要面向对称矩阵、Hermitian矩阵以及对称高阶张量,这在BSS的应用中一般只能处理单数据集的问题。然而,多集和多模信号可用性的迅速发展对传统BSS方法,即单数据集的BSS问题,提出了重大挑战。因此联合盲源分离（Joint blind source separation（JBSS））算法,即针对多数据集的BSS算法,在近年来引起了该领域研究者极大的兴趣。本文的目的就是将传统的AJD问题推广到non-Hermitian矩阵以及非对称高阶张量上,介绍几种高效的AJD算法并将其应用到JBSS问题中。本文讨论了non-Hermitian矩阵以及非对称高阶张量的AJD问题与JBSS问题之间的联系,阐述了与传统AJD算法（即面向对称矩阵、Hermitian矩阵以及对称高阶张量的算法）的区别。论文的主要创新性成果总结如下:1.介绍了一种non-Hermitian正交AJD算法,也可以称之为近似联合奇异值分解（Approximate joint singular value decomposition（AJSVD））算法（本文简称:N-AJSVD）。对酉旋转矩阵赋予了一个新的参数结构,该参数结构只依赖于一个未知参数。利用复数求导方法以及一个合理的近似技巧可以得到未知参数的解析解。该算法可以同时获得最优的左右旋转矩阵,而基于Givens旋转矩阵的传统AJSVD算法只能通过交替优化更新的方式获得左右Givens旋转矩阵。因此,本文介绍的算法在保证精确度更高的前提下也加快了收敛速度。此外,该算法可以被应用于处理经过预白化之后的双数据集JBSS问题,本文通过数值实验证明了其有效性。2.介绍了一种non-Hermitian非正交AJD算法（本文简称:NNAJD-ALS）。算法是基于梯度和最佳秩1近似的方法来最小化一个最小二乘代价函数。阐述了该算法应用于三阶张量Canonical polyadic decomposition（CPD）的有效性,并在数值实验中与传统CPD算法进行了比较。可以看出本文介绍的算法在稳定性与精确度上都优于传统的CPD算法。此外,本文通过数值实验验证了该算法应用于处理双数据集JBSS问题的有效性,该算法不需要对观测信号进行预白化处理。与已有的一些经典JBSS算法相比,其整体性能更有竞争性。3.介绍了一种针对非对称高阶张量的正交AJD算法（本文简称:NOHTJD）,该算法在一定程度上可以看作前面N-AJSVD算法在高阶张量上的拓展。阐述了（≥3）阶张量的AJD与具有个正交因子矩阵的+1阶张量的CPD之间的关系,并与已有算法进行了比较。此外,本文通过AJD时延互高阶累积量（由预白化之后的多数据集观测信号得到）来进行多数据集（≥3）的JBSS。文中以四个数据集为例,与已有算法比较,该算法表现出更有竞争力的性能。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 缩略词表
• 主要符号表
• 第一章 绪论
•   1.1 近似联合对角化问题的研究背景与意义
•     1.1.1 矩阵近似联合对角化问题的研究背景与意义
•     1.1.2 高阶张量近似联合对角化问题的研究背景与意义
•   1.2 近似联合对角化问题的国内外研究历史与现状
•     1.2.1 矩阵近似联合对角化问题的国内外研究历史与现状
•     1.2.2 高阶张量近似联合对角化问题的国内外研究历史与现状
•   1.3 本文研究内容及结构
•     1.3.1 本文研究的主要内容
•     1.3.2 各章内容安排
• 第二章 张量及近似联合对角化相关基础介绍
•   2.1 张量基础简介
•     2.1.1 秩1张量
•     2.1.2 对称张量和对角张量
•     2.1.3 张量的矩阵化和n-模乘积
•     2.1.4 Kronecker乘积和Khatri-Rao乘积
•     2.1.5 Canonical polyadic decomposition （CPD）
•   2.2 两类近似联合对角化问题
•   2.3 近似联合对角化的代价函数介绍
•     2.3.1 最小化间接拟合代价函数
•     2.3.2 最小化直接拟合代价函数
•     2.3.3 最大化对数似然代价函数
• 第三章 一种基于类Givens旋转的近似联合奇异值分解算法
•   3.1 引言
•   3.2 问题的提出
•   3.3 算法的建立
•     3.3.1 更新矩阵的解析推导
•   3.4 仿真实验
•     3.4.1 两个性能指标
•     3.4.2 算法性能
•     3.4.3 结论
• 第四章 一种非Hermitian非正交的近似联合对角化算法
•   4.1 引言
•   4.2 问题的提出
•   4.3 算法的建立
•     4.3.1 估计矩阵D
•     4.3.2 估计矩阵P
• L和A_R'>    4.3.3 提取矩阵A_L和A_R
•   4.4 仿真实验
•   4.5 结论
• 第五章 一种基于类Givens旋转的非对称高阶张量的酉近似联合对角化算法
•   5.1 引言
•   5.2 问题的提出
•   5.3 算法的建立
•   5.4 仿真实验
•   5.5 结论
• 第六章 结束语
•   6.1 全文总结
•   6.2 工作展望
• 致谢
• 参考文献
• 附录A
• 附录B
• 附录C
• 攻硕期间取得的研究成果

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 缪吉飞

导师: 程光辉

关键词: 矩阵,高阶张量,近似联合对角化,联合盲源分离

来源: 电子科技大学

年度: 2019

分类: 基础科学,信息科技

专业: 数学,电信技术

单位: 电子科技大学

分类号: O151.21;TN911.7

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