时空分数阶Burgers方程簇的孤子解的研究

论文摘要

在分数阶非线性偏微分方程的精确解的求解研究中符号计算系统扮演重要作用。本文借助Maple这一符号计算软件来精简分数阶非线性偏微分方程求解中的大量微分和代数运算,完成了他们的精确解求解,画出了对应的三维图像。Maple内置了丰富的数学符号计算工具及图形演化绘制工具。精确解图像的绘制可以更加直观的帮助我们来分析非线性模型,更好的了解其性质。随着对自然现象的深入研究,普通非线性模型已经不能满足研究所需,从而分数阶微积分与分数阶非线性偏微方程得到了广泛应用。本文介绍了分数阶微积分3种常用定义:Caputo 定义,Grunwald-Letnikov 定义,Riemann-Liouville 定义,以及结合了上述定义的优点的Jumarie修正的Riemann-Liouville分数阶导数定义。本文主要运用Li和He提供的分数阶复变换,借助Gamma函数及Jumarie的修正Riemann-Liouville分数阶导数定义来将分数阶非线性偏微分方程转化为整数阶偏微分方程来求解。故而许多常数阶常微分方程的求解方法可用于分数阶偏微分方程。例如Backlund变换法,Riccati方程法,齐次平衡法,指数函数法,辅助方程法等。本文主要以时空分数阶Burgers方程簇中的两个最常用的经典方程:时空分数阶Burgers方程与时空分数阶Sharma-Tasso-Olver方程为研究对象,研究了扩展到负指数幂的exp函数展开法与（G’/G,1/G）-展开法在分数阶非线性偏微分方程精确解求解中的应用。并且得到了时空分数阶Burgers方程与时空分数阶Sharma-Tasso-Olver方程的单波解,双曲函数解,三角函数解,有理函数解。通过对方程的若干行波解中的参数赋值,得到了 M型、周期型、单扭结型、反扭结型、奇异扭结型等多种特殊的孤立波的三维图。最后,将本文中使用的两种求解方法与其他求解方法进行了比较,分析了它们的优缺点。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 背景
•   1.1 非线性科学
•   1.2 非线性偏微分方程
•   1.3 孤立波与KdV方程
•   1.4 论文主要工作
• 第2章 分数阶微积分
•   2.1 分数阶导数由来及发展
•   2.2 几类重要的分数阶导数
•   2.3 分数阶偏微分方程
•   2.4 分数阶复变换
•   2.5 分数阶偏微分方程的求解方法
•     2.5.1 B（?）cklund变换法
•     2.5.2 Riccati方程法
•     2.5.3 齐次平衡法
•   2.6 本章小结
• 第3章 拓展的exp函数展开法及其应用
•   3.1 拓展的exp函数展开法
•   3.2 exp函数展开法求解时空分数阶Burgers方程
•   3.3 exp函数展开法求解时空分数阶Sharma-Tasso-Olver方程
•   3.4 本章小结
• 第4章 （G'/G,1/G）-展开法及其应用
•   4.1 （G'/G,1/G）-展开法
•   4.2 （G'/G,1/G）-展开法求解时空分数阶Burgers方程
•   4.3 （G'/G,1/G）-展开法求解时空分数阶Sharma-Tasso-Olver方程
•   4.4 不同求解方法的比较
•   4.5 本章小结
• 第5章 总结与展望
•   5.1 总结
•   5.2 展望
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士学位期间的研究成果

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 饶瑞文

导师: 姚若侠

关键词: 分数阶复变换,修正的分数阶导数,展开法

来源: 陕西师范大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 陕西师范大学

分类号: O175.29

DOI: 10.27292/d.cnki.gsxfu.2019.000138

总页数: 68

文件大小: 3227K

下载量: 14