边界面法中域积分处理及其在弹性动力学中的应用

论文摘要

随着计算机硬件的飞速发展,CAE分析在工程应用中扮演的角色越来越重要。有限元法发展很快且应用广泛,但有限元法的方程是一种弱形式,要求试函数C~0连续,应力求解精度不高。边界积分方程方法具有降维和计算精度高等优势。边界面法具有边界积分方程法的所有优点,直接在三维实体模型上进行离散分析计算,不对几何模型作任何的简化,从而避免了几何上的误差,是一种CAD/CAE一体化的等几何方法。边界面法的在实施过程中,边界积分和域内积分对计算精度的影响非常大,因此本文将重点对边界面法中的奇异积分和近奇异积分、域积分及其高斯积分准则进行分析研究,提出了一些解决方案,并把它们应用到薄型问题和瞬态弹性动力学问题的求解中,以此来拓宽边界面法的工程应用。本文主要的研究工作及成果如下:(1)提出了一种类解析求解弱奇异积分的方法。基于基本解中的弱奇异性,提出了一种四节点索氏三角形积分子单元,在此基础上又引入了一种更简单的新型(ρ,θ)坐标变换,来消除基本解的弱奇异性。这种四节点索氏三角形子单元的一边为二次曲线,另外两边为直线,且源点到曲线上三个节点的距离相等。然后分析了源点位置含大角度的积分子单元在环向即θ方向存在近奇异性的原因。为了克服环向的积分问题,通过对这种三角形子单元的中节点位置进行研究,经过大量的数值试验,找到了中节点的最佳位置,使得最终的积分精度和效率都达到最高,进而得到一种可以类解析求解弱奇异积分的方法,并且给出了相应的理论推导过程。(2)提出了一种二维、三维域积分的解决方法及相应的等精度高斯积分准则,构造了相应细分子单元积分变换技术。针对近奇异域积分,采用了一种四叉树单元自适应细分方法,该方法通过源点到单元中心的距离和单元边长的比例来确定是否细分,源点离单元越近,细分出的子单元就越多,靠近源点处的子单元的边长就越小。针对奇异域积分,使用一种自适应球面细分的方法,该方法可以针对任意单元形状、任意源点位置,且能分出形状利于积分的子单元。然后把二维类解析求解奇异积分的方法推广到三维,构造出了一种比较通用的处理域积分的积分变换技术,虽然不能保证解析计算,但在等精度积分下也能有效的降低高斯积分点数。最后提出了一种奇异和近奇异域积分等精度高斯积分准则来确定每一块子单元的高斯积分点数,保证在对细分出的子单元进行等精度积分时,靠近源点处高斯点分布密,远离源点的地方高斯点就会稀疏一些,在提高精度的同时有效的降低了整体的计算时间。(3)把扩展单元插值法和处理近奇异域积分的解决方案应用到薄型结构的求解中。扩展单元是由原非连续单元两端加虚点,非连续单元的内部点则被称为源点,而边界积分方程只通过源点来配置。扩展单元保留了连续和非连续单元的优点,同时克服了它们的缺点,在不改变方程自由度的前提下,把插值精度提高了至少两阶。最后把处理近奇异域积分的思路应用到求解薄型结构的近奇异积分中,即把积分单元根据源点的位置不断的细分,每次细分成两个相同的子单元,通过这个方法,薄型结构中的近奇异积分就可以得到精确的计算。(4)从积分和插值两方面对时域法稳定性的分析,提出了一种和波在一段时间内的传播距离有关的积分单元细分方法,以提高求解方程中的积分精度;以扩展单元为基础,采用一种新型的双层插值法来插值积分方程中的物理量,让波动前沿处的动态响应得到了更好的模拟,进而使最终的计算精度和稳定性得到提高;另外,基于边界面法,实现了二维瞬态弹性动力学时域法的求解。(5)实现了瞬态弹性动力学的拟初始条件法,针对边界积分方程中所存在的初始条件项,采用一种等效虚拟力法,把相应的初始条件等效成虚拟力,解决了BIE中初始条件项的域积分难题。拟初始条件法把上一步的域内计算结果看作当前步的初始条件,这样很容易造成误差的累加,针对这一问题,改进了域积分的处理方案,降低了由引入域积分带来的计算误差,进而提高整体的计算精度。最后结合边界面法实现了任意初始条件下弹性动力学问题的求解。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第1章 绪论
•   1.1 选题的背景和意义
•   1.2 边界积分方程中的积分问题
•     1.2.1 奇异和近奇异积分方法概述
•     1.2.2 域积分计算方法概述
•   1.3 扩展单元插值法
•   1.4 边界积分方程方法在瞬态弹性动力学中的应用
•   1.5 本文主要研究内容
• 第2章 类解析求解弱奇异积分算法研究
•   2.1 引言
•   2.2 四节点索氏三角形片
•   2.3 索氏三角形子单元中节点位置的研究
•     2.3.1 中节点位置对积分精度的影响
•     2.3.2 含大角度积分子单元近奇异性研究
•     2.3.3 中节点最佳位置的分析及理论推导
•   2.4 数值算例
•     2.4.1 四节点索氏三角形子单元不同中节点位置的结果对比
•     2.4.2 含有大角度的平面三角形单元
•     2.4.3 平面四边形单元
•     2.4.4 平面四边形二次单元
•     2.4.5 曲面四边形二次单元
•   2.5 本章小结
• 第3章 域积分及其高斯积分准则研究
•   3.1 引言
•   3.2 域积分边界积分方程
•   3.3 二维奇异和近奇异域积分
•     3.3.1 二维近奇异域积分解决方案
•     3.3.2 二维奇异域积分解决方法
•     3.3.3 二维域积分细分子单元积分技术研究
•   3.4 三维奇异和近奇异域积分
•     3.4.1 三维近奇异域积分解决方案
•     3.4.2 三维奇异域积分解决方法
•     3.4.3 三维域积分细分子单元积分技术研究
•   3.5 域积分高斯积分准则研究
•     3.5.1 近奇异域积分等精度高斯积分准则研究
•     3.5.2 奇异域积分等精度高斯积分准则研究
•   3.6 数值算例
•     3.6.1 域积分高斯积分准则验证
•     3.6.2 二维域积分算例
•     3.6.3 三维域积分算例
•   3.7 本章小结
• 第4章 扩展单元插值法求解薄型结构问题
•   4.1 引言
•   4.2 二维薄型结构的弹性问题求解方程
•   4.3 新型扩展单元插值法
•     4.3.1 扩展单元的构建
•     4.3.2 扩展单元插值法具体实现过程
•   4.4 边界积分方程的求解
•     4.4.1 积分方程的离散
•     4.4.2 薄型结构中近奇异积分及奇异积分的处理
•   4.5 数值算例
•     4.5.1 椭圆形域施加位移场问题
•     4.5.2 同心圆域施加位移解析场问题
•     4.5.3 悬臂梁
•     4.5.4 负泊松比结构
•   4.6 本章小结
• 第5章 瞬态弹性动力学时域法的稳定性分析
•   5.1 引言
•   5.2 弹性动力学的基本方程
•     5.2.1 平衡方程
•     5.2.2 二维弹性动力学的边界积分方程
•   5.3 弹性动力学时域法的稳定性分析
•     5.3.1 波动前沿的模拟问题
•     5.3.2 数值积分和时间步长大小的影响
•   5.4 边界积分方程的数值实现
•     5.4.1 时间离散及基本解在时间上的积分
•     5.4.2 积分方程的离散
•   5.5 数值算例
•     5.5.1 悬臂梁的受迫振动（无量纲参数β的研究）
•     5.5.2 积分方式改善之后的结果
•     5.5.3 插值方式改变后的结果
•   5.6 本章小结
• 第6章 瞬态弹性动力学问题的拟初始条件法
•   6.1 引言
•   6.2 相应的边界积分方程
•   6.3 非零初始条件的处理
•   6.4 边界积分方程的离散
•     6.4.1 时间离散
•     6.4.2 边界和域内离散
•   6.5 积分的处理
•     6.5.1 边界积分的处理
•     6.5.2 体积分的处理
•   6.6 数值算例
•     6.6.1 悬臂梁的受迫振动
•     6.6.2 初始条件不为零的悬臂梁的受迫振动
•   6.7 本章小结
• 结论与展望
• 参考文献
• 附录 A攻读学位期间所发表的学术论文目录
• 致谢

文章来源

类型: 博士论文

作者: 钟玉东

导师: 张见明

关键词: 边界面法,奇异积分,近奇异积分,边界积分方程,扩展单元,双层插值,时域法

来源: 湖南大学

年度: 2019

分类: 基础科学,信息科技

专业: 数学,计算机软件及计算机应用

单位: 湖南大学

基金: 国家自然科学基金项目(编号:11472102和11172098)国家自然科学基金项目“任意核函数单元形状源点位置高效高精度奇异和近奇异积分(11772125)”

分类号: TP391.7;O175

DOI: 10.27135/d.cnki.ghudu.2019.003757

总页数: 128

文件大小: 6628K

下载量: 22