摘 要:针对属性权重和专家权重全部未知的三角模糊数(triangular fuzzy number,TFN)多属性群决策问题,在TFN熵的基础上构造了确信度指标来量化对决策信息的信任程度,构建了TFN确信度(TFN certitude degree,TFNCD)算子,并证明了其置换不变性、幂等性和有界性等性质,结合支持度确定专家权重,提出了基于TFNCD算子的属性信息集结新方法。最后,通过算例的对比分析验证了TFNCD算子及其集结方法的有效性,该方法充分考虑了TFN类型的数据特征和两种权重完全未知的情况,且属性信息集结更加客观高效,计算相对简便,为TFN多属性决策问题提供了新的信息集结方式和解决思路。
关键词:三角模糊数; 三角模糊数确信度算子; 多属性群决策; 属性权重; 专家权重
0 引 言
自1965年Zadeh[1]提出模糊集理论以来,国内外学者在模糊集方面做了深入的研究,并取得了重要的成果。Atanassov[2]在模糊集理论基础上,提出了直觉模糊集(intuitionistic fuzzy set,IFS)理论。1989年Atanassov[3]进一步推广IFS,提出了区间直觉模糊集(interval IFS,IIFS)等相关概念。刘峰等[4]又将IFS做了进一步拓展,提出了三角模糊数(triangular fuzzy number,TFN)形式。TFN作为多属性决策中的一类模糊信息,国内外众多学者也对其进行了许多研究,并取得了一定成果。文献[5]引入多维信任属性反映信任关系的复杂性,利用熵权测度的模糊层次分析法计算属性权重向量。文献[6]融合隶属度、非隶属度和犹豫度3方面信息,运用改进的模糊熵计算决策属性的权重值,以此来提高决策权重分配的客观性。文献[7]为减少主观因素在决策过程中的随机性,使用香农熵理论确定属性权重,结合综合证据理论确定专家权重。文献[8]提出多时刻融合IFS排序模型,依据属性的主、客观权重得到综合权重。文献[9]建立了基于不精确区间值三角模糊的多属性偏好模型,采用区间层次分析法对偏好模型和属性权重进行评分。文献[10]针对属性权重完全未知的TFN型多属性决策问题,采用属性值离差最大法确定属性权重。文献[11]通过分析每个决策者的选择相对接近度和偏好偏差度,利用两个线性规划模型得到各方案属性权重和权重偏好。文献[12]在未知的模糊理想情况下,基于线性规划的多维偏好分析,建立了数学规划模型来确定最佳属性权重。文献[13]提出新的综合利用理想解(TOPSIS(technique for order preference by similarity to an ideal solution))相似的相对贴近度排序技术,采用多目标模糊规划模型确定属性权重。文献[14]利用香农函数研究了TFN之间熵的数量关系。文献[15]在层次分析法的基础上,结合信息熵确定属性的客观权重,进而通过定性与定量的相互结合计算最终综合权重。文献[16]在现有的TFN相似度比较方法的基础上,提出了新的相似度计算方法——基于三角模糊数形状的不同区域和中点(shape’s indifferent area and midpoint,SIAM)。文献[17]为了确定属性权重,建立了对目标的直觉模糊规划模型,通过将模型转化为线性规划并求解。文献[18]提出了新的距离测度的方法,根据相对接近度,通过熵度量获取属性权重。文献[19]基于最大偏差建立优化模型,通过求解非线性优化确定属性权重。文献[20]利用加权Minkowski定义信息熵客观确定属性权重,而专家权重根据IFS的投票模型来计算。文献[21]对属性权重信息不完整且专家权重未知的情况,构建多目标规划,并转化为单一目标规划来求解。文献[22]提出了新的基于分组归一化投影测度的方法,据此判别与理想解的相似度。文献[23]为了消除不确定性和模糊多属性群决策方法的局限性,提出了基于TOPSIS和蒙特卡罗模拟三角数据的概率方法。文献[24]研究了TFN在熵函数框架下熵的数量关系,为TFN的模糊性判别提供了思路。
现有文献对TFN多属性群决策问题的解决方法与模型大多沿用直觉模糊多属性群决策和区间直觉模糊多属性群决策已有方法,没有考虑到TFN型数据的特征;且集结方式为已知属性权重或专家权重的一种,没有考虑两种权重完全未知的情况。针对TFN类型的数据特征和两种权重完全未知的情况,在文献[24]的基础上,基于熵函数框架下TFN熵的数量关系构建确信度指标来量化信任程度,进而构建TFN确信度(TFN certitude degree,TFNCD)算子,并结合支持度确定专家权重,提出了TFN多属性决策问题的集结新方法,最后通过实证分析验证了该方法的有效性。
1预备知识
1.1TFN相关概念
定义 1[25]TFN。若α=(a,b,c),其中0<a≤b≤c,称α为一个TFN,隶属函数为
婴儿禁止使用酒精擦浴，没有表达能力的婴幼儿禁止使用冰枕。对发热的过度处理，可能增加宝宝身体的不适感，必要地给予物理和药物降温，有助于增加舒适感，但降温不宜太快。如在物理降温时，宝宝有痛苦烦躁甚至手脚发凉、全身发抖、口唇发紫等表现，须立即停止。
(1)
式中,a、c分别为TFN下确界和上确界,b为TFN最有可能的取值。
定义 2[10]TFN运算法则。若任意两个TFNα=(a1,b1,c1),β=(a2,b2,c2),规定其运算法则为
(2)
可见,上述所有运算的结果仍为TFN。
定义 3[26]TFN期望和方差。若任意两个TFNα=(a1,b1,c1),β=(a2,b2,c2),定义期望值为
但是研究发现，马达加斯加 Bemainty 地区出产的蓝宝石内部存在与克什米尔相似的丝状包裹体，从而产生Milkiness“丝绒感”，很容易与克什米尔产地混淆，但是两者在净度、生长带、色带和内部包裹体上均有明显差异。这更突出的体现了克什米尔蓝宝石的独特性和稀缺性，
(3)
定义方差为
(4)
可证TFNCD算子具有如下好的性质。
(1) 若m(α)<m(β),那么α<β;
2.潜水医学领域专利公开量的变化趋势：自1985年起中国潜水医学领域专利数量逐年上升，从1985年的3件上升至2016年的1 380件，并有进一步上升的趋势。到目前为止，中国潜水医学专业发展过程分为3个阶段，第1阶段为萌芽期(1985-2002年)，年申请数量不足百件，达到50件就花费了14年；第2阶段为倍数增长期(2003-2008年)，年申请量逐步提高；第3阶段为指数增长期(2009年至今)，专利年申请量直线上升，年申请量突破了千件，2016年略有下降和未统计第四季度数据有一定关系。见图1。
(2) 若m(α)=m(β),则
①σ2(α)<σ2(β),那么α>β;
②σ2(α)=σ2(β),那么α=β。
定义 4[27]TFN距离和支持度。若任意两个TFNα=(a1,b1,c1),β=(a2,b2,c2),则α、β之间的距离为
(5)
α、β之间的支持度为
sup(α,β)=1-d(α,β)
(6)
显然两个TFN距离越近,则支持度越大。
定义 5[28]TFN的熵。熵函数定义为
h(x)=4x(1-x)
(7)
假设为定义在集合U上的非空模糊集,x在模糊集上的映射为那么的熵为
北京和平里一套小单元房，只有他们夫妇。没有餐桌，一人一个小板凳，坐在小茶几两边。刚下班的王夫人忙忙碌碌地切了粉肠，炒了一大盘鸡蛋西红柿。喝酒用的是小茶缸，一瓶二锅头不一会就见了底，又接着开瓶。我在乡下早已被改造成酒坛子了，即便如此，也不能不佩服王朝垠的酒量。等到记起来应该回住处的时候已经半夜了。王朝垠摇摇晃晃地送我到公汽站，最后一班车已过去多时矣。两个醉鬼都豪气冲天。我抬腿就走，他也不拦，都觉得我的住处就在马路对过。
式中,h(x):[0,1]→[0,1],在上为增函数,在上为减函数。
(8)
式中,p(x)为概率密度函数;熵反应了模糊集的模糊程度,熵值越大,所包含信息越模糊。
假设当n=k时,式(14)成立,那么当n=k+1时
(9)
假定p(x)=s,s为常量,则TFNα的熵为
(10)
即
(11)
1.2TFNCD算子
为了将熵函数表示的TFN模糊性转化为容易理解的正关系数值,构造新的指标——确信度,即当确信度越低时,信息集结过程对应的权重配比也越低。反之,当确信度越高时,信息越有价值,权重配比也越高。
设αi=(ai,bi,ci)(i=1,2,…,n)为一组正的TFN,H(αi)为αi的熵,称T(αi)为αi的确信度,即
过渡区，指为满足水质目标有较大差异的相邻水功能区间水质状况过渡衔接而划定的水域。过渡区应当按照确保下游水功能区符合水质控制目标的要求实施管理，严格控制可能导致水体自净能力下降的涉水活动。
(12)
因此,TFNCD算子具有幂等性。
2）结合体育舞蹈的锻炼价值体现来看，在拉丁舞的课程中，应多利用双人配合的关系和动作的随意性特点，来改善动作灵敏度时，要强调女生的主动配合意识；在标准舞的课程中，应该加入单人元素的训练，逐步多手段地锻炼男女生维持框架的能力。
定义 6 TFN确信度算子。设αi=(ai,bi,ci)(i=1,2,…,n)为一组正的TFN集合,则TFNCD算子定义为
TFNCD(α1,α2,…,αn)=
(13)
式中,T(αi)为αi的确信度,T(αi)∈[0,1]。
定理 1 算子集结后仍然是TFN。设αi=(ai,bi,ci)(i=1,2,…,n)为一组正的TFN集合,则
TFNCD(α1,α2,…,αn)=(a,b,c)
(14)
式中
(15)
证明
当则TFNCD(α1,α2,…,αn)=α1=(a,b,c),即式(14)成立。
对TFNα=(a,b,c),得熵函数为
TFNCD(α1,α2,…,αn,αn+1)=
(16)
式中
(17)
(18)
(19)
因此,当n=k+1时,式(14)仍然成立。
证毕
那么对于任意两个TFN,有
定理 2 置换不变性。设(α1,α2,…,αn)为一组正的为其中任意一个置换,则有TFNCD(α1,
证明由于
(20)
因此,定理2得证。
证毕
定理 3 幂等性。设b,c),则对所有的αi(i=1,2,…,n)有TFNCD(α1,α2,…,αn)=
证明由于
可见,αi的熵越小,信息模糊程度越低,则确信度越高。
证毕
定理 4 有界性。设αi=(ai,bi,ci)为一组正的TFN,则有
α-≤TFNCD(α1,α2,…,αn)≤α+
式中
(21)
证明由定理3得
多年的经验表明，在选煤厂煤流及介质流动环节，选择母板加衬板的方式是提高耐磨性能、降低设备成本的有效方式。但由于物料粒度、速度、物理性质等差异，应结合衬板市场供应情况合理选择衬板，才能达到整体设计的最优化。
(22)
因此,α-≤TFNCD(α1,α2,…,αn)≤α+,即TFNCD算子具有有界性。
证毕
2基于TFNCD算子的多属性群决策方法
步骤 2 利用定义6的TFNCD算子分别对t个决策矩阵进行信息集结,得到每个决策专家评价下每个方案的综合评价值。决策者Ek的TFNCD算子为
假设现有n个评价属性G1,G2,…,Gn;t个参与决策的专家个体E1,E2,…,Et;m个备选方案A1,A2,…,Am。假定决策专家Ek对备选方案Ai针对评价属性Gj的决策值为则决策专家Ek(k=1,2,…,t)的TFN决策矩阵为
G1G2…Gn
语言是文化的一面镜子[10]。要真正掌握一门语言，就必须了解其所承载的文化，尤其是交际文化。不少留学生对中国文化了解不多，常常在交际中因为缺乏对汉语文化的了解而产生语用失误。比如第16题“老王是个清洁工人。有一天，你看到他的钥匙掉了，你捡起来想还给他，你怎么说”，只有93名学生选择了“C.王师傅，你的钥匙掉了”。中国人历来有较强的等级观念，认为职业有高下之分，对从事不同工作的人员，也有不同的称呼。“师傅”正是用来称呼某些体力劳动者的，比如厨师、清洁工、技术工人等。但是很多留学生不了解中国人的等级观念，认为所有职业平等，为了表示礼貌，选择了“B.王先生，你的钥匙掉了”。
(23)
具体计算步骤如下:
其三，解决民生短板，促进发展成果人人共享。马克思多次论述了生产资料社会占有的必然性。显然，使个人在以社会名义直接占有生产资料的基础上，能够自觉而主动地驾驭自己的社会关系，走向对社会财富、知识、权力和资源的共享，才能拓展个体发展的空间和程度。社会发展的目标是“为了一切人和完整人的发展”[17]。坚持共享发展理念，强调分配公正，“不是均等的分配，而是关注分配原则、分配形式的公平性，关注在社会成员或群体之间进行权利、权力、义务和责任配置的问题”[18]。我们应在发展中不断消除区域差距、城乡差距和收入差距，促进社会公平正义，使全体人民都能公平公正地分享与其奋斗实干相匹配的发展机遇和成果。
步骤 1 根据式(11)求解全部t个专家决策矩阵Xk对应的熵矩阵Hk,其中则决策者Ek的熵矩阵为
(24)
然后,根据式(12)计算出决策专家Ek的确信度矩阵为
(25)
式中,确信度越大,反映出信息模糊程度越低,则客观赋予权重越大。
为了解决属性权重和专家权重全部未知的TFN多属性群决策问题,下面结合支持度确定专家权重,建立了基于TFNCD算子的多属性信息集结新方法。
TFNCD(αi1,αi2,…,αin)=
(26)
则决策专家Ek的综合评价结果为
(27)
式中
(28)
步骤 3 依据式(5)TFN之间的距离,计算决策专家综合评价结果矩阵Xk*两两之间的距离矩阵(以专家Ek1,Ek2为例)为
(29)
式中，再根据TFN之间的支持度式(6),计算决策专家两两间的支持度矩阵(以决策专家Ek1,Ek2为例)为
sup(Xk1*,Xk2*)=
(30)
则决策专家Ek的权重为
(31)
步骤 4 利用专家权重分别对各专家综合评价结果进行加权,得各方案综合评价结果为
(32)
式中
(33)
最后依据定义3,基于期望值和方差对方案进行排序,其中，方案Ai的期望值和方差为
(34)
(35)
3算例分析
为验证所提出决策方法的可行性,采用文献[29]的实例进行实证分析:干部的考核选拔是一类多属性决策问题,考核指标(决策属性)分为3项:工作态度与工作作风(G1),领导能力与开拓能力(G2),文化水平和知识结构(G3)。参与打分的决策群体共3类:群众代表E1,专家代表E2,学者代表E3。参与考核的候选人共3位，分别为A1、A2、A3。经由打分统计处理后,专家全体对每个候选人在各指标(决策属性)下的评价值均以TFN的形式给出,专家E1的评价结果见表1,其余专家评价结果见文献[29]。
表1 专家E1的评价信息
Table 1 Assessment Information of the expert E1
方案G1G2G3A1(0.90,0.92,0.94)(0.90,0.90,0.95)(0.80,0.85,0.85)A2(0.80,0.87,1.00)(0.85,0.92,0.93)(0.80,0.85,0.90)A3(0.85,0.95,0.95)(0.80,0.89,0.90)(0.75,0.80,0.85)
则得专家E1的决策矩阵X1为
利用提出的基于TFNCD算子的多属性信息集结新方法加以决策,具体计算步骤如下:
步骤 1 计算3位决策专家的熵矩阵和确信度矩阵,以决策者E1为例,熵矩阵H1和确信度矩阵T1分别为
(37)
步骤 2 利用TFNCD算子分别对3个决策矩阵进行信息集结,得到每个决策者评价下各方案的综合评价值如下,以决策者E1为例,即
(2)单齿切削现象 介观尺度铣削中，由于每齿进给量很小(0.1～5 μm)，即使刀具的偏心量(0～10 μm)尚不及常规尺度铣削，仍足以对切削刃轨迹产生重大影响，导致出现只有1个刀齿参与切削的“单齿切削现象”。在介观尺度铣削加工中，单齿切削现象对切削厚度的影响极大，进而影响铣削表面形貌。
(38)
步骤 3 分别计算各决策专家综合评价矩阵两两之间的距离矩阵和支持度矩阵为
浦口区监测点种植作物大体分为粮食作物、蔬菜作物、苗木三大块，但监测点田块随各地农业结构调整不同、当地作物种植效益差别较大，农户自由选择种植作物，对监测成效有一定的影响。
(39)
(40)
然后根据式(31)计算各决策专家权重,其结果如表2所示。
表2 决策者权重
Table 2 Weights of the decision-makers
决策者W1W2W3权重值0.333 00.334 30.332 7
步骤 4 利用决策专家权重对各专家的综合评价结果加权,每个方案的综合评价结果为
终章以独奏小提琴为中心，曲式自由奔放。它描述了一个充满谐趣的画面：人们在冰面上小心翼翼地行走。突然出现的强奏，是为了表现路人一不小心摔了个四脚朝天，倒在冰面上。人们赶快爬起来，一边忍受着寒风的侵袭，一边加倍小心脚下的路。最后，极速的小提琴独奏与激烈的合奏戛然而止，南风与北风的斗争却好像还在耳边呼啸。
(41)
最后根据式(34)和式(35)的期望值和方差对方案进行排序,各方案的期望值和方差分别如表3所示。
溶菌酶(lysozyme)是一种无毒无害的蛋白质，能够选择性的溶解微生物细胞壁，使食品的营养成分得到很好的保存，并具有一定的保健作用。在4±1℃条件下，带鱼段经溶菌酶保鲜液浸渍后，其感官品质、微生物指标和理化指标均优于未经处理的对照组[19]。Enrique等[20]也发现溶菌酶保鲜液对南美白对虾有明显的抗菌作用，能够有效延长南美白对虾的货架期。
表3 各方案的期望值和方差
Table 3 Expectation and variance of each project
方案期望值/m方差 A10.877 00.000 2A20.886 50.001 8A30.865 30.000 3
从表3可以看出,期望值m2>m1>m3,方差因此方案优劣排序为A2>A1>A3,其中最优方案为A2。
为了进一步证实所提出方法的有效性和实际借鉴意义,采用上述方法对文献[30-31]的案例加以排序择优,其中文献[30]为镇江至昆山段铁路线路方案综合评价,文献[31]为某公司人力资源部门对应聘人员的综合评价。所有结果如表4所示。
表4 案例结果对比
Table 4 Comparison of example results
案例来源原文献排序结果所提方法排序结果文献[29]A2>A1>A3A2>A1>A3文献[30]A1>A3>A2>A4A1>A3>A2>A4文献[31]A4>A5>A3>A1>A2A4>A3>A5>A1>A2
从表4可以看出，对比文献[29],所提方法得到的排序结果与原文献一致,最优方案都是A2;对比文献[30],所提方法排序结果与原文献方案相同,A1是最优方案,该结论与泸宁城际铁路可行性研究报告专家评审意见一致;对比文献[31],所提方法排序结果与原文献基本一致,最优方案都是A4,最劣方案都是A2,其中A3和A5排序不同是由于原参考文献专家权重已知,为主观确定,而文中专家权重基于专家个体间的支持度而定,属于客观确定。
与原文献相比,在择优结果相同的情况下,所提出的TFNCD算子对于信息的集结有以下优点:①集结过程全部基于客观的决策信息,无任何主观偏好;②属性集结过程中,无需考虑各专家之间的联系,降低了运算复杂度;③属性的集结无需统一的属性权重,各决策专家的决策矩阵可以分块集结,适合大规模数据的决策类型。
4 结 论
关于TFN多属性决策问题,目前大多是基于专家决策与理想决策之间的关系建立相似度来确定权重。首先在TFN熵的基础上构建了确信度指标来量化对信息的信任程度,建立了TFNCD算子,并证明了该算子的置换不变性、幂等性和有界性等;然后将TFNCD算子结合支持度应用到TFN多属性决策问题中;最后通过3个算例验证了该算子及所提出新方法的有效性。对比传统已有的方法,该方法充分考虑了TFN类型的数据特征和两种权重完全未知的情况,且不需要给出任何主观偏好,完全依据客观评价集结信息。属性集结过程中属性权重计算完全基于专家个体评价情况,依据的是所给信息的价值程度。确信度越高,打分给出的信息越精确,则判定此信息价值度越高,属性集结过程权重配比越大。所提方法并没有固定一致的总体属性权重,因此各专家的属性信息集结更加独立、客观。属性集结过程不需要考虑专家之间的联系,使得信息集结更加高效,计算量及复杂度大大降低。基于支持度的专家权重配比考虑了专家间的内在联系,使得决策更加科学可靠。因此所提出的TFNCD算子为TFN多属性决策问题的解决提供了新的信息集结方式和思路。
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Multi-attributegroupdecision-makingmethodwithtriangularfuzzynumbersbasedontheTFNCDoperator
JIANG Dengying, ZHANG Xujun
(SchoolofScience,WuhanUniversityofTechnology,Wuhan430070,China)
Abstract: With regarding to the multi-attribute group decision-making problem of the triangular fuzzy number (TFN) with the attribute weights and experts weights being unknown, the confidence index is constructed based on the TFN entropy to quantify the degree of certitude to the decision information, and the TFN certitude degree (TFNCD) operator is introduced and its properties, such as the invariance of displacement transformation, the idempotence and the boundedness are proved. And the expert weights are determined combined with the degree of support. Finally, a method of attribute information aggregation is proposed, and the effectiveness of the TFNCD operator and the aggregated approach are verified by the empirical analysis. Moreover, the approach is built on the independence of experts, where the data features of the TFNs and the completely unknown weights of attributes and experts are fully considered, resulting in the objectivity and high efficiency in the information aggregation with relatively reduced computation. Therefore, it provides an information aggregation mode and solution to the multi-attribute group decision-making problem with TFN.
Keywords: triangular fuzzy number (TFN); TFN certitude degree (TFNCD) operator; multi-attribute decision-making; attribute weights; experts weights
收稿日期:2018-11-15;修回日期:2019-01-09;网络优先出版日期:2019-04-17。
网络优先出版地址:http:∥kns.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20190417.1707.024.html
基金项目:中央高校基本科研业务费专项资金(2017IB014);教育部人文社会科学研究青年基金(13YJCZH060)资助课题
中图分类号:C 93
文献标志码:A
DOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2019.09.20
作者简介：
江登英(1976-),女,教授,博士,主要研究方向为复杂决策分析。
E-mail:jdy@whut.edu.cn
张徐军(1992-),男,硕士研究生,主要研究方向为直觉模糊多属性群决策。
E-mail:675689372@qq.com
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