平面分段线性系统的分支问题

论文摘要

分段动力系统极限环研究具有重要的理论意义和实际应用背景.由于分段曲线的存在和参数的增多使得分段动力系统的研究相对于连续动力系统而言困难很多,即使对于形式很简单的分段动力系统,极限环个数估计仍很困难.例如分段线为一条直线的平面分段线性动力系统,至今其上界估计仍是公开问题.本论文主要研究在分段线变化时,分段动力系统极限环变化的原因,以及变化的方式,为此我们关注平面分段线性系统的极限环研究.本论文主要研究三类平面分段线性动力系统,它们的分段线或为起点相同的两条不共线射线,或为起点相同的三条射线且其中两条共线,子系统的奇点或为焦点,或为中心,或为鞍点.我们通过研究Poincar（?）映射,观察这三类系统的极限环数目的变化,发现其分岔阈值为分段线夹角θ=0或π.具体而言,将其与分段线为一条直线（θ=π）的平面分段线性系统的结果相比较,得到在相同条件下（指系统子系统的奇点类型和奇点相对位置相同）,平面分段线性系统的分段线夹角不为0或π,或分段线增加时,系统极限环个数增加.那么,极限环个数增加的原因是什么?本论文证明分段扇形区域的块数和夹角变化导致Poincar（?）映射图像复杂性改变,它是系统极限环个数增加的根本原因.论文分三个部分分别介绍此三类系统.第一部分研究一类Y形焦点-焦点-焦点型三区域平面分段线性动力系统.具体而言,系统分段线为起点相同的三条射线,其中两条夹角为π,且三个子系统的奇点都为焦点.首先,我们给出这类系统的标准型,将原系统所含的16个参数减少到10个.然后,我们证明夹角θ?=π的扇形区域上的子系统,其Poincar（?）映射图像至多有一个且可以有一个拐点.接着,我们证明当角度θ=π的扇形区域子系统的奇点为边界奇点或中心时,系统极限环环性为3.最后,我们证明对于某些参数,此类系统存在4个极限环.相比较,当分段线为一条直线（θ=π）的焦点-焦点型平面分段线性系统的某一子系统的奇点为边界奇点或中心时,系统极限环环性为1（见[26]）.这说明在子系统的奇点都为焦点且奇点相对位置不变的条件下,当分段线由一条直线变为Y形线时,在适当参数下,系统极限环个数增加.另外,E.Freire等在[26]中曾得到:分段线为一条直线的焦点-焦点型平面分段线性系统,其Poincar（?）映射图像或为一条直线或为全局凸或凹的曲线,不存在拐点.由此,扇形区域的块数和夹角变化导致系统Poincar（?）映射图像性质复杂性改变,它是系统极限环个数增加的根本原因.第二部分研究一类焦点-焦点型线性侧位系统.具体而言,系统分段线为起点相同的两条不共线射线,夹角为θ,且两个子系统的奇点均为焦点.通过对此类系统Poincar（?）映射性质的研究,我们证明夹角θ?=π时,系统的极限环下界为5.这是已知的线性侧位系统极限环个数的最大下界.相比较,分段线为一条直线（θ=π）的平面分段线性系统,其极限环个数已知的最大下界为3（见表1.1）.我们进一步证明若角度大于π的扇形区域上的子系统的焦点在原点,系统没有滑动区间,则系统极限环环性为2,且可以找到合适的参数使得系统有0,1和2个极限环,并给出参数分支图.而在相同条件下,分段线为一条直线（θ=π）的焦点-焦点型分段线性系统不存在极限环（见[26]）.这些结果阐明在平面分段线性系统子系统的奇点为焦点,且相对位置不变的情况下,当分段线由直线变为夹角θ?=π的折线时,在适当参数下,系统具有更多极限环.这些结果再次表明,区域夹角变化导致Poincar（?）映射图像性质复杂性改变,它是系统极限环个数增加的根本原因.第三部分研究一类鞍点-中心型线性侧位系统.具体而言,系统分段线为起点相同的两条不共线射线,其中角度小于π的扇形区域上的子系统奇点为鞍点,角度大于π的扇形区域上的子系统奇点为中心.我们首先证明奇点为鞍点的子系统,其Poincar（?）映射图像至多有一个且可以有一个拐点.在此基础上,我们得到,当两个子系统的奇点分别为标准鞍点和标准中心时,此类系统的极限环环性为1;当子系统的中心在原点时,此类系统最多有3个极限环,且至少有2个极限环;扰动中心位置,可以使得此类系统有3个极限环.而J.Llibre和X.Zhang在[24]中证明分段线为一条直线的鞍点-中心型平面分段线性系统极限环环性为1.明显地,对于鞍点-中心型平面分段线性动力系统,在相同条件下,当分段线由一条直线变为夹角θ（?）π的折线时,在适当参数下,系统极限环个数增加.S.Huan和X.Yang在[32]中给出,分段线为一条直线的鞍点-鞍点型平面分段线性系统,其Poincar（?）映射图像不存在拐点.因此,区域夹角变化导致Poincar（?）映射图像性质复杂性改变,它是系统极限环个数增加的根本原因.

论文目录

• 中文摘要
• Abstract
• 第一章 本文的研究背景和主要结果
•   1.1 研究背景及主要结果
•     1.1.1 Y形焦点-焦点-焦点型分段线性动力系统
•     1.1.2 焦点-焦点型线性侧位系统
•     1.1.3 鞍点-中心型线性侧位系统
•   1.2 文章结构安排
• 第二章Y形焦点-焦点-焦点型分段线性动力系统
•   2.1 系统的标准型
•   2.2 子系统Poincar（?）映射的性质
•   2.3 系统的极限环估计
• 第三章 焦点-焦点型线性侧位系统
•   3.1 子系统Poincar（?）映射的性质
•   3.2 系统的极限环估计及参数分支图
• 第四章 鞍点-中心型线性侧位系统
•   4.1 子系统Poincar（?）映射的性质
•   4.2 系统的极限环估计
• 参考文献
• 攻读博士学位论文期间发表或录用的学术论文目录
• 致谢

文章来源

类型: 博士论文

作者: 赵倩倩

导师: 于江

关键词: 平面分段线性动力系统,焦点,中心,鞍点,极限环,环性,映射

来源: 上海交通大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 上海交通大学

分类号: O175

DOI: 10.27307/d.cnki.gsjtu.2019.000677

总页数: 107

文件大小: 1727K

下载量: 26