两类逆热传导问题的数值算法研究

论文摘要

逆热传导问题在实际工程领域有非常重要的应用,全文讨论了两类逆热传导问题的数值算法。通过相关的理论分析,我们用直接求解法和Gradient型迭代法进行数值模拟,数值结果验证了所提出方法的可行性与有效性。全文主要分为以下四个章节:第一章是绪论部分,主要简述了偏微分方程反问题的一些研究背景和国内外研究现状,尤其是对抛物型方程系数反问题的研究做了详细的介绍。第二章主要研究一类利用内部温度数据重构热通量的反问题,该问题具有较强的工程应用背景和轨道交通特色。以往的方法大多基于迭代算法,过程复杂且收敛速度较慢,本章基于对正问题的精确分析,提出了一种新的直接求解法。首先运用分离变量法求出正问题的解析解(级数解),其次利用隐式差分格式得到了正问题的数值解,并比较了解析解和数值解之间的差别。利用正问题的解析解的表达式,建立了表面热通量g(t)与内部温度测量值P(t)的关系表达式,将原问题转化为第二类Volterra积分方程,并证明了该积分方程解的唯一性。应用数值积分直接离散,最终给出了积分方程的求解格式。数值结果表明,这种方法是可行且有效的。第三章研究了一个利用附加条件反演二阶抛物型方程一阶项系数的反问题。基于最优控制框架,证明了控制泛函极小元的存在性及其满足的必要条件。其后,构造了Gradient型算法,并给出了迭代格式和停止准则。数值结果表明该算法是稳定的,而且未知系数反演的效果也很好。第四章是总结与展望部分。后续的工作主要从两方面考虑:一方面本文研究对象是一维的,以后将考虑二维三维以及高维情况;另一方面,本文研究的是线性的热传导问题,我们将讨论非线性情况以及用其他算法重构未知系数。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
•   1.1 反问题的背景和国内外研究现状
•   1.2 本文的主要工作
• 第二章 利用直接求解法重构表面热通量
•   2.1 问题简述
•   2.2 正问题的解析解
•   2.3 正问题的数值解
•   2.4 数值实验
•   2.5 本章小结
• 第三章 数值重构二阶抛物型方程的一阶项系数
•   3.1 问题简述
•   3.2 最优控制问题
•   3.3 必要条件
•   3.4 迭代算法与相应的数值实验
•   3.5 本章小结
• 第四章 总结与展望
•   4.1 主要的研究结论
•   4.2 进一步研究展望
• 致谢
• 参考文献
• 攻读学位期间的研究成果

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 任建龙

导师: 杨柳

关键词: 热通量,反问题,积分方程,唯一性,最优控制,数值模拟

来源: 兰州交通大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 物理学

单位: 兰州交通大学

分类号: O551.3

DOI: 10.27205/d.cnki.gltec.2019.001087

总页数: 41

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