具时滞反应扩散生态系统动力学分析

论文摘要

数学生态学早在16世纪就已经开始萌芽。自然界中复杂的生态现象使得数学的方法和结果越来越多地运用到生态学的研究中,促进了数学向生物学的渗透。尤其是Lotka和Volterra分别在研究化学反应和解释Finme港鱼群变化规律时提出著名的Lotka-Volterra模型后,生物数学的发展进入了一个新阶段。种群生态模型以及传染病模型是数学在生态学中应用的典范,所涉及的数学内容包括动力系统、微分方程、泛函微分方程、线性代数、随机过程、统计方法、算子半群等等。数学在生态学中的应用使人们更好地了解自然界中的生物现象,探索发现生态系统中的规律,预测生态变化趋势。在许多生态系统中,物种为了获得赖以生存的食物和栖息环境,必然会向种群密度低的地方迁移。由于疾病的扩散,生物的入侵等因素也会导致种群在不同程度上的扩散。因此,运用反应扩散方程组研究生态问题就越来越受到人们的重视。反应扩散现象与人们的生活息息相关。例如疾病的传播,鸟兽迁徙,人口流动以及外来物种入侵等都是人们所熟悉的扩散事件。在物理学、化学、生物学、传染病学、医学、经济学及各种工程问题中提出的大量问题都可以通过反应扩散方程来描述。因此研究反应扩散方程有着强烈的实际背景和重大的理论意义。近年来,反应扩散方程的研究日益受到重视。其中有很多问题,状态的变化率不仅仅依赖于当时的状态,而且还与历史的状态及空间有关,所以这些问题都可以用具时滞的反应扩散方程作为数学模型对其加以描述。通过对描述某一过程的时滞反应扩散方程的研究,不仅可以对该过程进行数学解释,而且对有助于预测该过程未来的发展趋势。反应扩散方程数学理论就是在各类初边值条件下求解这类型的抛物方程组,并讨论其解的长时间行为,其包含的主要的研究问题:整体解的存在唯一性、波动性和趋于平衡性、平衡解的结构、稳定性和分支问题等。反应扩散方程的研究面很广,研究方法具有多样。从动力系统的角度研究时滞的反应扩散方程开始于上世纪七十年代。在上世纪的七、八十年代,人们主要研究具时滞反应扩散方程的解的稳定性和利用半群理论研究某些分支。进入上世纪九十年代,人们将流形理论推广到抽象的常微分方程上来,这些工作为进一步研究时滞反应扩散方程的分支理论奠定了基础。对生产实践和科学理论都有重要的指导作用,因此受到学者们的广泛关注。自然界中观察到的发展现象按照其变化规律可归结为两大类:一类是只随时间变化而变化,这就是常微分方程（ODE）;另一类是既随时间又随空间变化而变化,这就是偏微分方程（PDE）。许多事物的变化规律不仅依赖于当前状态,还与过去的状态有关。在这种情况下,常微分方程便不能精确地描述客观事物,随之而起的就是微分差分方程特别是带有时间滞后的微分方程.我们称此类微分方程为时滞微分方程（DDE）或泛函微分方程（FDE）。由于时滞微分方程是一类描述既依赖于当前状态也依赖于过去状态的发展系统,即充分考虑到历史对系统目前发展状态的影响,因此它能更加准确地描述实际问题。在自然科学和社会科学的许多领域大量时滞微分方程问题被人们提出,如物理学、电路信号系统、生态系统、流行病学、社会经济学、神经网络系统等。这些问题的提出大大地推动了时滞微分方程的理论研究。在宏观和微观世界中,种群是在特定空间和一定时间内生活和繁殖的同种个体的总和。种群虽是由同种个体组成,但种群与环境之间、种群内个体与个体之间不是孤立的,也不是简单的个体相加,而是通过种种内在关系组成了一个有机整体。这一有机体表现出该种群的某些特殊的生态规律性。种群内个体的生物特征主要体现在出生、生长、发育、衰老及死亡等方面。而种群整体则具有出生率、死亡率等数量特征,这是种群内个体所没有的,而且是组成种群后才出现的新特性。我们的目的主要是研究时滞反应扩散捕食系统动力学行为,研究结构对种群模型动力学行为的影响,比如稳态解的存在性和稳定性Hopf分岔的出现和分岔周期解的稳定性Hopf分岔的保持性等.通过对稳定性和Hopf分岔的研究,可以使得我们更清楚种群系统某些参数的变化对其动力学行为的影响.比如:当时滞的取值范围比较小时,稳态解是稳定的,而当时滞增大时,系统的稳定性发生改变;在实际背景的问题中,这些研究对了解控制种群的参数使得它向着我们想要的方向发展有着重要的意义。下面介绍微分方程在种群生态学的应用背景。种群虽是由同种个体组成,但种群与环境之间、种群内个体与个体之间不是孤立的,也不是简单的个体相加,而是通过种种内在关系组成了 一个有机整体,这一有机体表现出该种群的某些特殊的生态规律性。种群内个体的生物特征主要体现在出生、生长、发育、衰老及死亡等方面。而种群整体则具有出生率、死亡率等数量特征,这是种群内个体所没有的,而且是组成种群后才出现的新特征。另一方面,种群的生存繁衍都需要食物、空间和配偶等条件。当种群密度很大时,其生长条件对空间的要求较高,一般不易被满足,食物缺乏及环境恶化都会限制种群的生存与发展。与植物相比,动物还具有主动寻找生存空间、食物和躲避危险而不被捕食的能力。如果在常微分模型中加上种群空间分布的不均匀性或者种群所栖息环境的不均匀性的考虑,那么显然为了更多地获取生存资源和寻找更多的交配机会,种群总是从自身密度高的地方朝向密度低的地方自由运动,这种扩散称为Fickian型扩散,在具体模型中,这种扩散通常以一个Laplace项来表示。除了稳定性和Hopf分支之外,图灵不稳定性也是一个重要的动力学性质。图灵不稳定性反映出反应扩散给方程解的性质的带来变化的一个重要特征,因此图灵不稳定性的研究是反应扩散方程的解的拓扑结构的研究中的主要内容之一。对于时滞反应扩散系统,由于时滞和扩散的引入,系统的动力学行为变得更丰富多彩,越来越受到人们的重视。深入研究其动力学行为,不仅对认识这些系统本身有重要意义,也会对生物、生态、神经网络、物理学、电子与信息科学、机械、经济等领域的研究起到促进作用。但是,由于时滞反应扩散方程是无限维系统,研究难度比低维的常微分系统要大得多,既有数学方法上的困难,也有数值计算和几何描述上的困难。对于发展方程动力学研究,其稳态解一直以来都是一个重要的主题。很多情况下稳态解直接决定着发展方程的长时间行为。特别是在种群动力学中,正稳态解直接决定了种群的持久与灭绝。在Dirichlet边界条件下,时滞反应扩散方程的非平凡稳态解一定是空间非齐次的（即为非常数的）。虽然我们可以利用拓扑度理论、变分法、稳态分岔理论、奇异摄动法来研究它的存在性、不存在性、唯一性、多重性和稳定性等等,但是很难得到该稳态解解析表达式,而系统在该稳态解处的线性化方程所对应的特征方程是依赖于该非常数稳态解的二阶偏微分方程,所以难以讨论其特征根分布,这样也就很难研究时滞反应扩散方程在非常数稳态解附近的分岔现象。因此,我们必须既研究非常数稳态解的存在性和多重性,又对其渐近表达式有比较清楚的认识。本文是研究具时滞反应扩散生态系统动力学分析。第一,研究具有非单调功能响应的捕食食饵模型的动力学性质。首先,拟通过分析特征方程,研究正稳态解的稳定性和Hopf分支的存在,并得到确定分支周期解的分支方向和稳定性。其次,拟在零Dirichlet边界条件下通过用Liapunov-Schmidt方法给出方程由原点分岔出来的空间非常数解,并以时滞为参数得到了空间非常数解附近的Hopf分支的存在性,分支方向和分支周期解的稳定性,研究扩散项对具有时滞非单调功能反应捕食猎物系统动力学行为的影响。再次,拟在齐次Neumann边界条件下通过用Liapunov-Schmidt方法给出方程由非零平衡点分岔出来的空间非常数解,以时滞为参数研究这个空间非常数解附近的Hopf分支的存在性,分支方向和分支周期解的稳定性,并分析在不同的边界条件下所得到的结论的区别。最后,拟利用扰动法和不动点定理证明这个方程行波解的存在性。第二,研究具有感染模型的动力学性质。首先,拟通过构造适当的Liapunov泛函,波动引理及线性化方程等方法给出了基本再生数R0的表达式,分析未感染平衡点E0和地方感染平衡点E*的存在性和稳定性。利用Liapunov函数方法来研究边界平衡点以及内部平衡点的全局渐近稳定。然后通过分析特征方程来研究了正稳态解的稳定性和Hopf分支的存在,期望得到确定分支周期解的方向和稳定性的公式。其次,拟在零Dirichlet边界条件下通过用Liapunov-Schmidt方法给出这个方程由原点分岔出来的空间非常数解,并以时滞为参数得到了空间非常数解附近的Hopf分支的存在性,分支方向和分支周期解的稳定性,具有时滞感染的影响。再次,拟在齐次Neumann边界条件下通过用Liapunov-Schmidt方法给出这个方程的非零平衡点分岔出来的空间非常数解,以时滞为参数得到了这个空间非常数解附近的Hopf分支的存在性,分支方向和分支周期解的稳定性,并分析在不同的边界条件下所得到的结论的区别。最后,利用规范型和中心流形理论,研究了Hopf分支的方向和分支周期解的稳定性。最后,研究具有非局部时滞响应的扩散模型。首先,在零Dirichlet边界条件下通过用Liapunov-Schmidt方法给出这个方程由原点分岔出来的空间非常数解,并以时滞为参数得到了空间非常数解附近的Hopf分支的存在性,分支方向和分支周期解的稳定性,并分析非局部时滞对结果的影响。然后,在齐次Neumann边界条件下通过用L iapunov-S chmidt方法给出这个方程的非零平衡点分岔出来的空间非常数解,以时滞为参数得到了这个空间非常数解附近的Hopf分支的存在性,分支方向和分支周期解的稳定性,并分析在不同的边界条件下所得到的结论的区别。最后,利用扰动法和不动点定理证明这个方程行波解的存在性。研究结果表明:在第二章,我们研究了具有非单调功能反应的扩散捕食-被捕食模型。我们是研究下面的方程（?）得到平衡点（u±,e±）。在研究平衡点的存在性,当μ2<4aD2时方程（0.1）没有内部平衡点,很容易看出平衡点（K,0）是稳定节点。当μ2=4aD2时方程（0.1）有三个平衡点,一个鞍点（0,0）,一个稳定节点（K,0）和一个内部平衡点（v+,e+）=（u,e）是一个鞍点,当/μ2>4aD2和K<v方程（0.1）有两个边界平衡点（0,0）和（K,0）,和没有内部平衡点,当v<k<u+方程（0.1）有两个边界平衡点（0,0）和（K,0）,和一个内部平衡点（u,e）是一个焦点或节点,当K>v+方程（0.1）有两个边界平衡点（0,0）和（K,0）,两个内部平衡点（u,e）和（u+,e+）。在考虑hopf分岔的存在性得到一个正零点K0,当K<K0平衡点（u,e）是局部渐近稳定,当K>K0平衡点（v,e）是不稳定,在K=K0是存在Hopf分岔和周期解分岔。在考虑局部稳定时我们是考虑空间齐次,发现（0,0）是不稳定,当μK>（a+K2）D时（K,0）是不稳定,当μK<（a+K2）D时（K,0）是局部渐近稳定,当μ2>4aD2和K0>K>v平衡点（u,e）是局部渐近稳定,当μ2>4aD2,K>u,和K>K0,平衡点（v,e）是不稳定,当μ2>4aD2和K>u+,平衡点（u+,e+）是不稳定。在研究Hopf分岔,我们是考虑空间非齐次时间周期解的分岔以及稳态解的稳定性,在这章特别地,我们得到了确定分岔周期解的方向和稳定性的公式。这些结果为数值模拟来验证本章所得结果的正确性。我们先考虑系统（?）给出了参数值如下a=1.5,r=0.8,μ=8.7,D=2,δ=0.2,Ω=（0,5π）,和初始条件u0（x）=0.2+0.05 cos（x）,e0（x）=0.2+0.01 cos（x）.通过计算可知K0=2.58,v=0.37,和u+=3.97.当选K=1.5和u<K<K0时,正平衡点（v,e）是渐近稳定;当选K=2.7和（>K0>u 时,正平衡点（u,e）是不稳定。最后选K=4.1和K>u+时,正平衡点（u+,e+）是不稳定。加下来,我们考虑系统（?）给出了参数值如下a=0.1,r=2,μ=10,D=15,δ=0.2,l=10和初始条件u0（x）=0.2+0.05cos（x）,e0（x）=0.2+0.01 cos（x）.通过计算可知K0=0.55,u=0.22,h（∞）=0.17>4δ2,Kδ=30,当u<K<K0时,正平衡点（v,e）是渐近稳定。注,在稳态解（v,e）是没有存在稳态解分岔,当0.55<K<30对所有K>K0正平衡点（u+,e+）是不稳定。第三章,讨论下面的具有时滞的扩散捕食-被捕食模型。（?）在考虑平衡点的存在性,当μ2=4aD2时方程（0.4）没有内部平衡点,当μ2=4aD2和μ<2DK方程（0.4）有三个平衡点（0,0）,（K,0）,和一个内部平衡点（u+,e+）=（u,e）.当μ2>4aD2和K≤v方程（0.4）有两个边界平衡点（0,0）和（K,0）,和没有内部平衡点;当μ2>4aD2和u<K<u+方程（0.4）有两个边界平衡点:（0,0）和（K,0）,和一个内部平衡点（v,e）;当μ2>4aD2和K>u+方程（0.4）有两个边界平衡点（0,0）和（K,0）,和两个内部平衡点（v,e）和（u+,e+）。在研究正空间齐次稳态的稳定性时得到边界稳态解（0,0）是不稳定,当（a+K2）D>μK时边界稳态解（K,0）是稳定,当（a+K2）D<μK时边界稳态解（K,0）是不稳定。在考虑空间非齐次时间周期解的分岔以及稳态解的稳定性,尤其是得到了确定分岔周期解的方向和稳定性的公式。这些结果为数值模拟来验证本章所得结果的正确性,我们先取系统（0.4）当μ2>4aD2和u<u+<K对所有τ ≥ 0,稳态解（u+,e+）是不稳定。当τ=0,μ2>4aD2和v<K<v+时,稳态解（v,e）是渐近稳定。对所有τ∈[0,τ*）和τ≥τ*是存在Hopf分岔。首先给出如下参数值a=0.1,r=2,μ=20.49,D=12,δ=3,Ω=（0,3π）,和初始条件u0（x）=0.2+0.05cos x,,e0（x）=0.2+0.01 cos x通过计算可知v=0.06,and u+=1.64.当选K=1.65,和u<u+<K对所有τ≥ 0时,正平衡点（u+,e+）是不稳定。当选K=0.5和vK<v+对所有对所有时,正平衡点（v,e）是稳定。加下来,我们先取系统（0.4）的参数值如下a=0.1,r=20,μ=2.49,D=12,δ=3,K=0.5,Ω=（0,3π）,和初始条件v（x,t）=sin2x/125,e（x,t）=sin2x/175,通过计算可知τ*=2.9.当τ∈[0,τ*)正平衡点（u,e）是渐近稳定。当τ通过τ*时,正平衡点（u,e）是存在Hopf周期稳态解分岔。在第四章,讨论了下面的一类具有时滞传染率的SIR传染病模型的反应扩散系统。（?）得到非负初值确定的解的非负性和有界性。通过特征方程的分析拟通过构造适当的Liapunov泛函,波动引理及线性化方程等方法给出了基本再生数R0的表达式,当基本再生数R0<1方程（0.5）存在一个无感染病平衡点E0（m,0）,当基本再生数R0>1方程（0.5）有两个平衡点,无感染病平衡点E0（m,0）,和一个地方病平衡点E*（S*,I*）。考虑正平衡点和空间齐次稳态解发现稳态解（m,0）是局部渐近稳定当R0<1和不稳定当R0>1。当R0>1对所有τ ≥ 0方程（0.5）的稳态解（S*,I*）是局部渐近稳定。最后,考虑全局渐近稳定,当R0<1对所有τ ≥ 0无病平衡点E0（m,0）是全局渐近稳定;当R0>1对所有τ ≥ 0方程（0.5）的地方病平衡点E*（S*,I*）是全局渐近稳定,通过李雅普诺夫泛函得到全局渐近稳定性。这些结果为数值模拟来验证本章所得结果的正确性。我们先取系统（?）当f（I）=I,首先给出如下参数值a=0.01,c=2.6,Ω=（0,3π）,和初始条件S（x,0）=0.3+0.05 cos（x）,I（x,0）=0.3+0.05cos（x）.当选m=2.7 通过计算可知R0=1.03>1,在系统（0.6）的地方病平衡点E*（S*,I*）是渐近稳定。当选m=0.3,通过计算可知R0=0.11<1在系统（0.6）的无病平衡点E0（m,0）是稳定。加下来取系统（?）当,f（I）=6.8I/1+I,首先给出如下参数值a=0.01,c=7.6,Ω=（0,3π）,和初始条件S（x,t）=0.3+0.05 cos（x）,I（x,t）=0.3+0.05 cos（x）。当选m=1.13,通过计算可知R0=1.009>1,在系统（0.7）的地方病平衡点E*（S*,I*）是渐近稳定。当选m=0.1,通过计算可知R0=0.08<1在系统（0.7）的无病平衡点E0（m,0）是稳定。在第五章,研究了下面的一类具有时滞和非线性传染率的SIRS传染病模型的反应扩散系统。（?）得到非负初值确定的解的非负性和有界性。通过特征方程的分析拟通过构造适当的Liapunov泛函,波动引理及线性化方程等方法给出了基本再生数R0的表达式,分析未感染平衡点E0（μ/d,0）和地方感染平衡点E*（Sτ*,Iτ*）的存在性和稳定性。对所有τ ≥ 0方程（0.8）的无病稳态解Eo（μ/d,0）是局部渐近稳定当R0<1;当R0>1对所有τ ≥ 0方程（0.8）是存在一个地方病平衡点E*（Sτ*,Iτ*）。然后通过分析特征方程来研究了正稳态解的稳定性和Hopf分支的存在,期望得到确定分支周期解的方向和稳定性的公式。其次,拟在零Dirichlet边界条件下通过用Liapunov-Schmidt方法给出这个方程由原点分岔出来的空间非常数解,并以时滞为参数得到了空间非常数解附近的Hopf分支的存在性,分支方向和分支周期解的稳定性,具有时滞感染的影响。再次,拟在齐次Neumann边界条件下通过用Liapunov-Schmidt方法给出这个方程的非零平衡点分岔出来的空间非常数解,以时滞为参数得到了这个空间非常数解附近的Hopf分支的存在性,分支方向和分支周期解的稳定性,并分析在不同的边界条件下所得到的结论的区别。最后,利用规范型和中心流形理论,研究了Hopf分支的方向和分支周期解的稳定性。这些结果为数值模拟来验证本章所得结果的正确性。在系统（0.8）当f（I）=I,首先给出如下参数值μ=0.01,d=0.01,γ=18.05,Ω=（0,3π）,和初始条件S（x,t）=0.1+0.05cos（x）,I（x,t）=0.1+0.05cos（x）.当选β=17 通过计算可知R0=0.94<1在系统（0.8）的地方病平衡点E*（Sτ*,Iτ*）是渐近稳定。当选β=20,通过计算可知R0=1.11>1在系统（0.8）的地方病平衡点,E*（Sτ*,Iτ*）是渐近稳定。加下来当,f（I）=15I/1+I,首先给出如下参数值μ=0.03,d=0.4,γ=25.12,Ω=（0,3π）,和初始条件5（x,t）=0.01+0.05cos（x）,I（x,t）=0.01+0.05cos（x）.当选β=25,通过计算可知R0=1.25>1在系统（0.8）的地方病平衡点E*（Sτ*,Iτ*）是渐近稳定。当选β=20,通过计算可知R0=0.89<1在系统（0.8）的无病平衡点E0（μ/d,0）是稳定。最后,我们先取系统（0.8）当,f（I）=10I/1+I,首先给出如下参数值μ=-0.9,d=1.7,β=0.2,γ=-1.8,Ω=（0,π）,和初始条件S（x,t）=sin2（x）/75,I（x,t）=sin2（x）/125.通过计算可知R0=8.47,得到τ*=6.47.当τ∈[0,τ*),E*（Sτ*,Iτ*）是渐近稳定,当τ通过τ*时,E*（Sτ*,Iτ*）是稳定和存在Hopf分岔和周期解分岔。第六章,研究了下面的具有时滞效应和Dirichlet边界条件的反应扩散模型。（?）首先,利用Lyapunov-Schmidt约化得到空间非齐次稳态解的存在性、多重性和模式。其次,利用空间分解方法,详细讨论了线性化系统关联的无穷小生成元在空间非齐次同步稳态解处的特征值分布,并导出了保证非平凡同步稳态解渐近稳定的充分条件。第三,利用微分方程的对称分岔理论和标准二面体群的表示理论,我们不仅研究了时滞对斑图形成的影响,而且得到了关于多重自发分岔的一些重要结果,并详细分析了非线性波解的分支及其时空模式。最后,我们将这些一般结果应用到一维空间域模型。通过上面的分析研究我们得到论文的创新点:分别研究了一类不带时滞和具有时滞的反应扩散捕食-被捕食模型的动力学性质,给出了平衡点的存在性和稳定性,分别以环境容纳量和时滞为分支参数,研究了 hopf分支的存在性,建立了确定分支方向和稳定性的公式,并讨论了稳态解分支的存在性与稳定性。研究了两类带时滞的反应扩散传染病模型,通过线性化和特征方程分析,分别给出了无病平衡点和地方病平衡点的存在性和局部稳定性,李雅普诺夫方法给出了相应的全局渐近稳定性;同时还讨论了Hopf分支的存在性和稳定性以及分支周期解的方向和稳定性;数值模拟支持了相应的结果。研究了一类具有时滞和Dirichlet边界条件的反应扩散系统的分支问题,利用Lyapunov-Schmidt约化方法得到了空间非齐次稳态解的存在性、多重性和模式,建立了非平凡同步稳态解渐近稳定的充分条件,并利用微分方程的对称分岔理论和标准二面体群的表示理论研究了时滞对斑图形成的影响及多重分支和非线性波解分支问题。

论文目录

• Abstract
• 摘要
• CHAPTER 1 INTRODUCTION
•   1.1 Predator-prey systems
•   1.2 Epidemic model
•   1.3 Our contributions
•   1.4 Notations
• CHAPTER 2 A DIFFUSIVE PREDATOR-PREY SYSTEM WITHNONMONOTONIC FUNCTIONAL RESPONSE
•   2.1 Introduction
•   2.2 Kinetic system
•   2.3 Local stability
•   2.4 Hopf bifurcation
•   2.5 Steady-state bifurcation
•   2.6 Numerical simulations
• CHAPTER 3 A DELAYED DIFFUSIVE PREDATOR-PREYSYSTEM WITH NONMONOTONIC FUNCTIONAL RESPONSE
•   3.1 Introduction
•   3.2 Local stability
•   3.3 Hopf bifurcation
•   3.4 Hopf/Steady-state mode interaction
•   3.5 Numerical simulations
• CHAPTER 4 A DIFFUSIVE SIR EPIDEMIC MODEL WITH TIMEDELAY
•   4.1 Introduction
•   4.2 Nonnegativity and boundedness
•   4.3 Local stability
•   4.4 Global asymptotical stability
•   4.5 Numerical simulations
• CHAPTER 5 A DIFFUSIVE SIRS EPIDEMIC MODEL WITHTIME DELAY
•   5.1 Nonnegativity and boundedness
•   5.2 Disease-free steady-state solution
•   5.3 Endemic steady-state solution
•   5.4 Hopf bifurcation
•   5.5 Numerical simulations
• CHAPTER 6 A SYMATIC A DIFFUSIVE MODEL WITH TIMEDELAY EFFECT
•   6.1 Introduction
•   6.2 Linear stability
•   6.3 Hopf bifurcation
•   6.4 Steady-state bifurcation
•   6.5 Stability of synchronous steady states
•   6.6 Stability of mirror-reflecting steady states
•   6.7 Application to a Hutchinson model
•   6.8 Discussion
• CONCLUSION
• REFERENCE
• ACKNOWLEDGEMENTS
• APPENDIX: PUBLICKCATIONS

文章来源

类型: 博士论文

作者: SOUNVORAVONG Bounsanong（王乐美）

导师: 郭上江

关键词: 扩散,动力学系统,分岔,稳态分岔,流行病模型,时滞,基本再生数,稳定性,模型,反应扩散,对称分岔理论,周期解

来源: 湖南大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,生物学

单位: 湖南大学

分类号: Q141;O175

DOI: 10.27135/d.cnki.ghudu.2019.003790

总页数: 158

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