几类偏微分方程精确解的研究

论文摘要

本文主要结合李对称分析法和广义对称法,基于齐次平衡原理,灵活构造方程的B（?）cklund变换,使用幂级数法,双曲正切函数展开法,Painlevé检验,推广的CK方法,辅助计算软件Maple等来求解几类偏微分方程.本文行文思路如下:首先,分别利用两种对称分析方法,获取研究方程的向量场;基于向量场的伴随表示,得到方程的最优系统;随后进行相似约化,将比较复杂的非线性偏微分方程降阶,约化为形式上相对简单的方程;观察获得的常微分方程,选择合适的方法求得其解,这样就可以基于约化后方程的精确解求得原先方程的解;最后根据Ibragimov提出的结论得到部分方程的无穷维守恒律.第一章主要介绍了国内外学者在偏微分方程精确解这一领域所获得的研究成果,归纳了一些目前非常实用的求解偏微分方程的方法,简单介绍了求解偏微分方程精确解的相关理论.第二章考虑一类五阶色散偏微分方程,首先基于齐次平衡原理,直接构造方程的B（?）cklund变换,得到方程的双曲正切函数解;运用广义对称法（待定系数法）对方程进行对称分析,得到相应的向量场,从而构造方程的最优系统;在最优系统的基础上对其进行对称约化,综合幂级数法和双曲正切函数展开法,分别得到相应形式的精确解.最后给出该方程的无穷维守恒律.第三章研究了一类广义变系数mKdV方程,基于齐次平衡法,对方程进行巧妙地B（?）cklund变换,进而得到方程的精确解;对方程进行Painlevé检验,证明了方程的可积性.利用推广的CK方法,结合幂级数法得到方程的幂级数解.第四章基于经典李对称分析研究广义Sawada-Kotera方程.把向量场进行恰当的延拓以求得无穷小生成元,分析获得的生成元,构造方程的最优系统,在此基础上对其进行对称约化,最后主要利用幂级数展开法获得该方程的几个幂级数解.最后一章,总结全文得到的结论并指出文章中还未解决的问题.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
•   1.1 研究现状
•   1.2 李群理论
•   1.3 最优系统
•   1.4 守恒律
• 第二章 色散方程的B（?）cklund变换,对称分析,最优系统,精确解及守恒律
•   2.1 引言
•   2.2 方程（2.1）的B（?）cklund变换
•   2.3 方程（2.1）的对称分析与最优系统
•   2.4 方程（2.1）的精确解
•   2.5 方程（2.1）的守恒律
•   2.6 本章小结
• 第三章 一类广义变系数mKdV方程的B（?）cklund变换,Painlevé检验及精确解
•   3.1 引言
•   3.2 方程（3.2）的B（?）cklund变换
•   3.3 方程（3.2）的Painlevé检验
•   3.4 显式解析幂级数解
•   3.5 本章小结
• 第四章 广义Sawada-Kotera方程的李对称分析及精确解
•   4.1 引言
•   4.2 方程（4.1）的李对称分析
•   4.3 方程（4.1）的广义对称
•   4.4 方程（4.1）的对称约化
•   4.5 方程（4.1）的显式解析幂级数解
•     4.5.1 方程（4.33）的显式解
•     4.5.2 方程（4.35）的显式解
•     4.5.3 方程（4.37）的显式解
•   4.6 本章小结
• 第五章 总结与展望
•   5.1 全文总结
•   5.2 工作展望
• 致谢
• 参考文献
• 附录 :作者在攻读硕士期间发表的论文

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 沙安

导师: 李连忠

关键词: 偏微分方程,李对称分析,变换,幂级数法,精确解

来源: 江南大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 江南大学

分类号: O175.2

总页数: 40

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