张量与超图谱的研究

论文摘要

图论的产生和发展历经了数百年的时间,目前已衍生出众多的研究方向,图谱理论便是其中一个重要的分支.图谱以代数理论、矩阵理论等为基础研究图论问题,在物理、化学、计算机等诸多学科领域有着广泛的应用.图谱理论主要涉及图的邻接矩阵、（无符号）拉普拉斯矩阵、正规化拉普拉斯矩阵、距离矩阵等,通过图的矩阵表示建立图的拓扑结构和矩阵的相似不变量之间的联系.超图作为图的推广,能够反映现实世界的对象之间更加复杂的多元关系.因此,将图谱理论推广到超图上进而形成超图谱理论,是一个有意义的研究课题.近年来,金芳蓉、冯克勤、李文卿和Rodríguez等都对超图的邻接矩阵（或拉普拉斯矩阵）的谱性质做了研究.然而,我们知道超图并不能由矩阵唯一地确定.所以,上述用矩阵表示超图的方法有时并不能很好的反映超图的性质.作为矩阵的推广,张量（这里指超矩阵）在数学、物理学等领域有广泛的应用.2005年,祁力群和林力行独立地提出了张量的特征值概念.在此基础上,Cooper和Dutle于2012年定义了一致超图的邻接张量,从而将图的邻接矩阵推广到了超图上.2014年,祁力群定义了一致超图的（无符号）拉普拉斯张量.上述这些工作为后来利用张量来研究超图的谱性质奠定了基础.至此以后,基于张量的超图谱研究成为图论研究中又一非常活跃的课题.本文共包括八章内容,主要研究一致超图的谱半径（和无符号拉普拉斯张量的谱半径）的界、超图的Perron向量以及超图的谱极值问题等.全文安排如下:·在第一章,主要介绍了超图谱的研究背景以及与超图、张量相关的记号、术语.·在第二章,研究了一致超图的谱半径与超图的度序列、最大（小）度以及co-degree的关系.相关结果解决了Nikiforov在文献[Analytic methods for uniform hyper-graphs,Linear Algebra and its Applications,457:455–535,2014]中提出的一个问题.同时,我们否定了Nikiforov在同一篇文献中提出的关于超图2-section的猜想.此外,我们将图的谱半径的若干结果推广到了一致超图上.·在第三章,我们将α-normal labeling方法拓展到一致超图的p-谱半径上,并给出了若干应用.·在第四章,利用一致超图的α-normal labeling方法研究了超图的Perron向量的性质.首先,借助于该方法我们估计了一致超图的Perron向量的分量以及分量之间的比值.其次,应用上述结果我们研究了一致超图的谱半径与其真子超图的谱半径之差的界.最后,我们考虑了更加一般化的问题,即研究了任意超图的p-特征向量的性质,相关结果推广了图（和超图）上的结论.·在第五章,研究了一致超图的非正则性.对任意r-一致超图H,|V（H）|=n,|E（H）|=m,本章定义了三个参数ε（H）:=ρ（H）-rm/n以及（?）,这里di是顶点i∈[n]的度.显然,ε（H）,s（H）,v（H）≥0,且等号成立当且仅当H是正则的.本章的主要内容是通过建立ε（H）,s（H）和v（H）之间的联系来衡量超图H的非正则程度,并推广图上的相关结果.·在第六章,我们利用一致超图的α-normal labeling方法和非负张量谱半径的Rayleigh商比较了三个线性双圈超图BmL（1）,BmL（2）和BmP的谱半径的大小,从而解决了范益政等在文献[Maximizing spectral radii of uniform hypergraphs with few edges,Discussiones Mathematicae Graph Theory,36:845–856,2016]中提出的一个猜想.·在第七章,我们研究了Berge超图p-谱半径的极值问题.设G是一个简单图,H是一个超图.我们称超图H是Berge-G如果存在一个双射?:E（G）→E（H）满足（?）.本章我们确定了Berge-G超图中,p-谱半径达到最大的3-一致超图,其中G∈{Pk,Ck,Sk}.·在第八章,我们对全文作了总结并提出了若干问题.

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 主要符号对照表
• 第一章 绪论
•   1.1 引言
•   1.2 基本概念
•     1.2.1 张量
•     1.2.2 超图
•     1.2.3 超图的谱
•     1.2.4 有向超图的谱
•   1.3 非负张量的Perron–Frobenius定理
•   1.4 本文主要内容
• 第二章 一致超图谱半径的界
•   2.1 研究进展
•   2.2 张量和超图的直积运算
•   2.3 一致超图的邻接张量的谱半径
•     2.3.1 邻接张量的谱半径与超图的度序列
•     2.3.2 邻接张量与co-degree矩阵的谱半径
•   2.4 一致超图的无符号拉普拉斯张量的谱半径
• 第三章 一致超图的α-normal labeling方法
•   3.1 p= r时的α-normal labeling方法
• r时的α-normal labeling方法'>  3.2 p> r时的α-normal labeling方法
•   3.3 1 ≤p
•   3.4 α-normal labeling方法的应用
• 第四章 超图的Perron向量
•   4.1 一致超图的Perron向量
•     4.1.1 估计Perron向量的分量
•     4.1.2 估计Perron向量分量的比值
•   4.2 一致超图与其真子超图的谱半径
•   4.3 超图的p-特征向量
• 第五章 一致超图的非正则性
•   5.1 参数ε（H）,s（H）和 v（H）
•   5.2 一致超图的非正则性
• 第六章 两类一致超图的谱半径
• m^L（1）,B_m^L（2）和B_m^P的谱半径'>  6.1 一致超图B_m^L（1）,B_m^L（2）和B_m^P的谱半径
•   6.2 一致超图的generalized power
• 第七章 Berge超图的p-谱半径
•   7.1 主要结果
•   7.2 p-谱半径的若干扰动结果
•   7.3 定理7.1 和定理7.2 的证明
•   7.4 定理7.3 的证明
• 第八章 总结与展望
• 插图索引
• 参考文献
• 作者在攻读博士学位期间发表的论文与研究成果
• 致谢
• 附录A 不等式

文章来源

类型: 博士论文

作者: 刘乐乐

导师: 康丽英

关键词: 超图,一致超图,张量,邻接张量,拉普拉斯张量,无符号拉普拉斯张量,特征值,谱半径,直积,矩阵,向量,方法,非正则性,单双圈超图,线性超图

来源: 上海大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 上海大学

分类号: O157.5;O183.2

DOI: 10.27300/d.cnki.gshau.2019.000030

总页数: 132

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