改进的Adomian分解法在非线性方程中的应用

论文摘要

无论是在自然科学领域还是社会科学领域中,非线性问题都备受关注。Adomian分解法(ADM)是一种通用的求解线性和非线性问题近似解析解的数学方法。Adomian分解法是由美国数学物理学家George Adomian在上世纪八十年代提出并发展起来的。该方法的核心思想是将求解的方程分解为几个部分,主要是线性和非线性部分,把方程的解表示为无穷级数的形式,同时用特殊的多项式来代替方程中的非线性项,最后利用逆算符技术,由低阶分量进行迭代求出高阶分量,进而求得任意精度的逼近解甚至是真实解。Adomian分解法自从提出以来,不断被许多专家学者优化改进。2010年Wazwaz提出了一种新的方法(LADM),将Laplace变换和Adomian分解法结合在一起,并将该方法成功的用于非线性Volterra积分微分方程的求解。张晓龙等人提出了带有收敛加速参数的Adomian分解法,通过选择合适的参数值可以加速收敛速度,扩大收敛区域。本文对传统的Adomian分解法进行了一种新的改进,首先在方程中引入了一个收敛参数c,之后将带参数的Adomian分解法与Laplace变换结合起来。这种方法在参数c=1时退化为传统的LADM,随后用例子证明,方法在参数c为最优值时,求得方程(方程组)的解要比传统LADM求得的解更精确。本文第一章介绍了非线性问题和Adomian分解法的研究背景和历史;第二章中对分数阶微积分中的几个定义做了简单的介绍,并重点介绍了Adomian分解法的基本原理和一些改进;第三章在介绍改进的Adomain分解法的基础上,求解了非线性的分数阶Riccati方程;第四章将改进的Adomain分解法拓展到非线性的方程组中,并将求得的解与传统的LADM解进行比较;最后,给出了结论。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 2 预备知识
•   2.1 Laplace变换
•   2.2 分数阶微积分
•   2.3 Adomian分解法的基本原理
•     2.3.1 求解方程的分解法
•     2.3.2 求解方程组的分解法
•   2.4 多变量Adomian多项式的计算
•   2.5 Adomian分解法的优化与发展
•     2.5.1 Laplace-Adomian分解法
•     2.5.2 两步Adomian分解法
•     2.5.3 带参数的Adomian分解法（AMP方法）
• 3 分数阶Riccati方程的求解
•   3.1 方法介绍
•   3.2 数值算例
• 4 方程组的求解
•   4.1 方法介绍
•   4.2 数值算例
• 结论
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间发表学术论文情况
• 致谢

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 郭银凤

导师: 梁松新

关键词: 非线性方程,分解法,变换法,解析近似

来源: 大连理工大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 大连理工大学

分类号: O241.7

DOI: 10.26991/d.cnki.gdllu.2019.000079

总页数: 46

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