分数阶对流扩散方程的有限点方法研究

论文摘要

分数阶微分方程基于分数阶微分,是经典微分方程模型的推广,相比之下,前者可以更好地模拟自然物理现象的变化规律。分数阶对流扩散方程(FCDE)属于分数阶动力方程,此类方程可以含有时间分数阶导数,但对于该方程的数学理论还不成熟,尤其是数值解的研究需要进一步深入。本文主要研究基于Caputo导数的时间分数阶对流扩散方程(TFCDE)的数值求解,当方程对流项占优时,往往会产生数值振荡现象。针对此现象,本文提出了无网格有限点方法(FPM),可以有效消除由扩散系数很小引起的数值振荡。本文的研究工作主要有如下几点内容:(1)概述分数阶对流扩散方程的背景意义和国内外研究进展;给出分数阶微积分的预备知识,包括分数阶积分和导数的定义及其性质;并介绍无网格有限点方法的研究进展和相关理论。(2)对于线性一维、二维时间分数阶对流扩散方程,分别构造了有限点算法格式,即给方程施加稳定项,构造近似函数,并分别对时间变量量和空间变量进行离散。其次,对全离散格式的稳定性分析论证;最后给出数值算例,将有限点方法与有限差分法(FDM)进行比较,并给出了在不同布点、不同时刻下两种方法的误差,结果表明有限点方法计算精度较高,且可以消除振荡。(3)将有限点方法应用到非线性一维、二维时间分数阶对流扩散方程的求解,主要考虑扩散项和源项为非线性的情形。该方程时间方向采用L1插值逼近,得到时间半离散格式,并证明了该格式的稳定性。通过施加稳定项和构造近似函数,对空间方向采用配点法得到有限点全离散格式。最后进行数值模拟,比较了在不同布点、不同时刻下有限点方法与有限差分法的误差,得到有限点方法数值精度较高,且可以避免数值振荡。从而验证了有限点方法对于求解时间分数阶对流扩散方程的可行性和有效性。

论文目录

• 摘要
• abstract
• 1 绪论
•   1.1 分数阶对流扩散方程的研究意义与进展
•   1.2 分数阶微积分的预备知识和理论
•     1.2.1 Gamma函数
•     1.2.2 Beta函数
•     1.2.3 Mittag-Leffler函数
•     1.2.4 分数阶微积分定义与性质
•     1.2.5 三种分数阶导数之间的关系
•   1.3 Caputo型分数阶导数的L1 逼近
•   1.4 主要内容与章节安排
• 2 无网格有限点方法
•   2.1 有限点方法国内外研究进展
•   2.2 有限点方法原理
•     2.2.1 移动最小二乘形函数
•     2.2.2 权函数与支持域
•     2.2.3 稳定项施加处理
•     2.2.4 配点法
•   2.3 本章小结
• 3 线性时间分数阶对流扩散方程的有限点方法
•   3.1 一维时间分数阶对流扩散方程的有限点方法
•     3.1.1 有限点算法构造
•     3.1.2 稳定性分析
•     3.1.3 数值模拟
•   3.2 二维时间分数阶对流扩散方程的有限点方法
•     3.2.1 有限点算法构造
•     3.2.2 稳定性分析
•     3.2.3 数值模拟
•   3.3 本章小结
• 4 非线性时间分数阶对流扩散方程的有限点方法
•   4.1 一维时间分数阶对流扩散方程的有限点方法
•     4.1.1 有限点算法构造
•     4.1.2 稳定性分析
•     4.1.3 数值模拟
•   4.2 二维时间分数阶对流扩散方程的有限点方法
•     4.2.1 有限点算法构造
•     4.2.2 稳定性分析
•     4.2.3 数值模拟
•   4.3 本章小结
• 5 总结与展望
•   5.1 本文的主要工作总结
•   5.2 研究展望
• 致谢
• 参考文献
• 攻读学位期间主要研究成果

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 李俊婵

导师: 秦新强

关键词: 无网格有限点法,分数阶对流扩散方程,移动最小二乘,配点法

来源: 西安理工大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 西安理工大学

分类号: O241.8

总页数: 68

文件大小: 5608K

下载量: 135