非齐次Schr?dinger方程解的性质研究

论文摘要

这篇博士学位论文:主要研究如下形式的非齐次非线性Schrodinger方程i（?）tu—（-△）su+|x|k|u|2σu=0,（t,x）∈R×RN,其中1/2<s ≤1,k=±b（b>0）.我们主要研究方程的解整体存在及在有限时刻爆破的充分条件,爆破解的动力学行为,极限行为和驻波解的稳定性及强不稳定性等.本文考虑了四种情形:1)S=1,k=±b,（b>0）,2+k/N≤σ<<min{2,2+k/N-2,2（1+k）+N/2N}（N≥3,k>-2）;2)s=l,k=-b（0<b<1）,σ=2+k/N（N≥2,k>-2）;3)1/2<s<1,k=-b<0,2s-b/n≤σ<2s-/N-2s（N≥2,b<2s）;4)1/2<s<1,k=-b<0,0<σ≤2s-b/N（N≥2,b<2s）.对于情形1),主要研究了爆破解在爆破时刻的极限行为.我们证明了若σ=2+k/N,||u（t）||H1在时刻T*爆破,则当t→T*时,u（t）没有L2极限.特别地,对径向对称爆破解,解在原点处具有L2集中现象.进而,若2+k/N<σ<min{2,2+k,2（1+k）+N/2N},则存在唯一的u*∈L2（RN）使得当t→T*时,在空间Lr（RN）中T（-t）u（t）→T（—T*）u*（r∈[2,2*）).这一结论延拓了 Merle在1990年前后当k=0时的结果,对于情形2),研究了当初值φ∈H1（RN）而且满足||φ||L2≥||Q||L2时爆破解的动力学行为,其中Q是问题的基态解.进而,我们还得到了当||φ||L2 =||Q||L2时爆破解的具体形式.对于情形3),证明了一个分数次加权Gagliardo-Nirenberg不等式并利用该不等式证明了在能量空间Hs（RN）中解整体存在的充分条件.另外,利用（一△）s半群理论中的 Balakrishnan公式,给出了分数阶非齐次Schrodinger方程解的局部化Virial估计.利用这些估计,得到了RN中L2临界,L2超临界Hs次临界情形下径向解在有限时刻爆破的充分条件.对于情形4),研究了方程驻波解的稳定性及强不稳定性.利用情形3)研究中得到的Gagliardo-Nirenberg不等式和波形分解,我们得到在L2次临界情形,即0<σ<2s-b/N时,解整体存在且具有轨道稳定性.在L2临界情形,即σ= 2s-b/N时,基态孤立波是强不稳定的。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
•   1.1 整数阶非齐次Schrodinger方程
•     1.1.1 背景介绍与研究现状
•     1.1.2 问题的提出和本文主要结果
•   1.2 分数阶非齐次Schrodinger方程
•     1.2.1 背景介绍和研究现状
•     1.2.2 问题的提出和本文主要结果
•   1.3 结构安排
• 第二章 预备知识
•   2.1 本文记号
• s（Rⁿ）空间'>  2.2 Fourier变换与H^s（Rⁿ）空间
•   2.3 Gagliardo-Nirenberg不等式及波形分解
•     2.3.1 Gagliardo-Nirenberg不等式
•     2.3.2 波形分解
•   2.4 Strichartz估计
• 第三章 非齐次非线性Schrodinger方程爆破解的极限行为
•   3.1 问题介绍和主要结论
•   3.2 预备知识
•   3.3 最佳Gagliardo-Nirenberg不等式
•   3.4 σ=2+k/N时爆破时刻强极限的不存在性
•   3.5 σ=2+k/N时径向初值下的爆破点
•   3.6 2+k/N<σ<2+k/N-2时解在爆破时刻的极限
•   小结
• 2临界非齐次Schrodinger方程解的动力学行为'>第四章 L²临界非齐次Schrodinger方程解的动力学行为
•   4.1 问题介绍和主要结论
•   4.2 预备知识
• 2集中现象'>  4.3 L²集中现象
•   4.4 具有极小质量的奇异解的刻画
•   小结
• 第五章 分数阶非齐次Schrodinger方程解的整体存在性及有限时刻的爆破
•   5.1 问题介绍和主要结论
•   5.2 加权Gagliardo-Nirenberg不等式及解的整体存在性
• 2超临界H^s次临界情形下的爆破'>  5.3 L²超临界H^s次临界情形下的爆破
• 2临界情形下的爆破'>  5.4 L²临界情形下的爆破
•   小结
• 第六章 分数阶非齐次Schrodinger方程驻波解的稳定性及强不稳定性
•   6.1 问题介绍和主要结论
• s（R^N）中的波形分解'>  6.2 H^s（R^N）中的波形分解
•   6.3 驻波的轨道稳定性
• 2临界情形下驻波解的强不稳定性'>  6.4 L²临界情形下驻波解的强不稳定性
•   小结
• 研究展望
• 参考文献
• 在学期间完成的学术论文
• 致谢

文章来源

类型: 博士论文

作者: 彭聪明

导师: 赵敦

关键词: 非齐次方程,轨道稳定性,强不稳定性,波形分解,质量集中,不等式

来源: 兰州大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 兰州大学

分类号: O175

总页数: 124

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