半经典意义下空间分数阶薛定谔方程的时间分裂谱方法

论文摘要

目前,分数阶微分方程在物理学、工程学、控制机器人、分子动力学和图像处理等科技领域已有广泛应用,现实中的很多物理现象也只有将分数阶微积分同量子力学结合起来才能得到准确的表述。分数阶薛定谔方程是在引入分数阶微积分概念的情况下建立的,用于描述量子物理中的特定量子现象,该方程的一种特殊情况则为标准薛定谔方程。由于分数阶导数自有的奇异性质和非常小的普朗克常数的存在,半经典意义下空间分数阶薛定谔方程的理论研究和数值计算是一个重要的数学挑战。本文主要考虑了含非常小的普朗克常数的半经典意义下空间分数阶薛定谔方程,即半经典意义下Riesz空间分数阶线性薛定谔方程和半经典意义下Riesz空间分数阶非线性薛定谔方程两类。首先给出了半经典意义下Riesz空间分数阶薛定谔方程的形式半经典极限,并给出了一阶时间分裂谱方法和二阶Strang分裂谱方法,然后针对该方程的性质给出数值离散过程,并证明了时间分裂傅里叶谱方法的数值稳定性和收敛性。分数阶导数项的处理是本文研究的难点,本文结合分裂技巧,做了大量的数值实验,对具有不同分数阶阶数的半经典意义下空间分数阶薛定谔方程进行了有效和准确的数值模拟,实验结果展示了时间分裂谱方法的高精度和无条件稳定性,分析发现半经典意义下空间分数阶薛定谔方程中分数阶阶数s对方程数值解和误差有显著影响。本文总共分为五章,其框架结构如下。第一章是绪论,综述了分数阶薛定谔方程的理论与实际意义、研究现状与发展趋势、本论文的研究内容和创新点。第二章是分数阶导数和半经典意义下分数阶薛定谔方程的预备知识。第三章提出了半经典意义下Riesz空间分数阶线性薛定谔方程的形式半经典极限,给出了求解方程的一阶时间分裂谱方法和二阶Strang分裂谱方法,并证明了一阶数值方法的稳定性和收敛性。第四章提出了半经典意义下Riesz空间分数阶非线性薛定谔方程的形式半经典极限,并利用高精度的时间分裂谱方法求解方程,并证明了数值方法的稳定性。第五章为数值实验,给出了半经典意义下Riesz空间分数阶线性薛定谔方程和非线性薛定谔方程的数值实验,罗列不同分数阶阶数下的数值结果并进行分析,最后得出结论。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 符号表
• 第一章 绪论
•   1.1 理论与实际意义
•   1.2 分数阶薛定谔方程的研究现状和发展趋势
•   1.3 本文的研究内容及创新点
• 第二章 预备知识
•   2.1 分数阶导数
•   2.2 半经典意义下分数阶薛定谔方程的数学理论
•     2.2.1 半经典意义下分数阶线性薛定谔方程
•     2.2.2 半经典意义下分数阶非线性薛定谔方程
•   2.3 求解分数阶薛定谔方程的常用数值方法
•     2.3.1 有限差分法
•     2.3.2 谱方法
• 第三章 半经典意义下空间分数阶线性薛定谔方程的高效算法
•   3.1 形式半经典极限
•   3.2 时间分裂傅里叶谱方法
•     3.2.1 一阶时间分裂谱方法的构造
•     3.2.2 二阶Strang分裂谱方法
•   3.3 数值格式的稳定性分析
•   3.4 数值格式的收敛性
• 第四章 半经典意义下空间分数阶非线性薛定谔方程的高效算法
•   4.1 形式半经典极限
•   4.2 时间分裂傅里叶谱方法
•   4.3 数值格式的稳定性
• 第五章 数值实验
•   5.1 线性薛定谔方程数值实例
•   5.2 非线性薛定谔方程数值实例
• 总结与展望
• 参考文献
• 致谢
• 附录A （攻读学位期间所发表的学术论文目录）

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 唐娇

导师: 王晚生

关键词: 半经典意义,空间分数阶薛定谔方程,分数阶导数,时间分裂谱方法

来源: 长沙理工大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 长沙理工大学

基金: 国家自然科学基金(编号:11771060,11371074)

分类号: O241.8

DOI: 10.26985/d.cnki.gcsjc.2019.000508

总页数: 50

文件大小: 2940K

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