电磁场问题的超收敛分析以及curl-curl协调元的构造

论文摘要

电磁场问题是当今的一个热门的研究课题,其数值模拟有重要的应用价值.经典的电磁场问题一般由包含二阶curl算子的偏微分方程所描述,可采用有限元方法在H（curl）空间中进行求解,其中Nedelec元是最佳选择.求解此类向量型偏微分方程计算量无疑是很大的,因此其高效高精度的数值模拟是当前人们特别关注的问题.超收敛分析恰好是实现高效高精度的一种直接有效的方法.近年来,包含四阶curl算子的偏微分方程频频出现在磁流体动力学问题和透射特征值问题中,它们在很多领域都有广泛的应用.一般在H（cur12）空间中求解此类问题,考虑正方形上最低阶的curl-curl协调元（也称H（curl2）协调元）,每个单元上有24个自由度,远远大于最低阶Nedelec元的4个自由度,因此对于这种curl-curl元而言,其超收敛意义是更大的.本论文第一部分内容即在于针对curl协调元和curl-curl协调元研究电磁场问题求解中的超收敛性质.我们选用与Nedelecc元等价的一组由Legendre多项式的组合而成的分层矢量基函数来求解电磁场问题,分析其在二维正方形、三维立方体剖分下的超收敛现象:首先由插值算子的定义以及Legendre多项式的定义可以得到电场E和磁场H的插值的超收敛性质;由Legendre多项式的正交性以及积分恒等式技巧得到E,H超逼近性质;进而得到它们的超收敛估计.值得注意的是,上述超收敛性质都是该单元的天然超收敛性质,也即点态超收敛.基于点态超收敛,我们应用PPR后处理技术进行多项式重构,最终得到E,H的基于L2度量的全局意义上的超收敛.据笔者所知,这是第一篇使用PPR技术获得全局超收敛的电磁场文章.进一步,考虑简化的quad-curl问题,为了应用curl-curl协调元求解且保证解的存在唯一性,需将原问题转化为鞍点问题,进而得到有限元的离散格式.由Babuska-Brezzi理论,本文证明了该有限元解在不同范数意义下的超逼近性质.由Bramble-Hilbert引理等,我们证明了该解在不同范数意义下的超收敛性质.本文第二部分内容则主要针对磁流体动力学问题和透射特征值问题中出现的quad-curl算子,构造高阶分层curl-curl协调的基函数,进而使用有限元方法求解该类问题.我们通过选用指标为-1,-2的广义Jacobi多项式,利用谱元思想,分别构造二维正方形和三维六面体上高阶分层矢量基函数—curl-curl协调元.这种基函数与传统Lagrange型基函数相比,更具有实用性,特别是对这种向量型基函数而言.首先,由多项式的正交性,得到的总体质量矩阵和刚度矩阵具有很好的稀疏性,便于线性方程组的求解;其次,由于其基函数的显示表达,我们可以较为容易的使用任意次多项式,进而可验证其hversion及p-version的收敛性.数值实验表明,我们构造的元可以达到谱精度,且存在很多超收敛现象.据笔者所知,六面体上的curl-curl协调元为本文原创性研究成果.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
•   1.1 研究背景及意义
•   1.2 麦克斯韦方程组
•   1.3 电磁场问题的超收敛研究现状
•   1.4 四阶旋度问题的研究现状
•   1.5 本文的主要内容
• 第二章 预备知识
•   2.1 函数空间
•   2.2 正交多项式
• n^α.β（ξ）'>    2.2.1 Jacobi多项式J_n^α.β（ξ）
• k（ξ）'>    2.2.2 Legendre多项式L_k（ξ）
•     2.2.3 广义Jacobi多项式
•   2.3 有限元离散
•     2.3.1 立方体单元上的curl协调有限元-Nedelec有限元
•     2.3.2 矩形单元上的curl-curl协调有限元
•     2.3.3 混合有限元
•   2.4 Helmholtz分解
•   2.5 有限元方法的恢复技术—多项式保持恢复方法（PPR）
• 第三章 Edge元求解麦克斯韦方程的超收敛分析及PPR恢复技术
•   3.1 引言
•   3.2 记号
•   3.3 时谐麦克斯韦方程的有限元格式
•   3.4 插值算子的超收敛
•   3.5 离散格式的超收敛分析
•   3.6 多项式保持恢复技术
•     3.6.1 恢复算子
•     3.6.2 理论分析
•   3.7 二维情况下的超收敛结果
•   3.8 数值实验
•   3.9 本章小结
• 第四章 Curl-curl协调有限元求解quad-curl问题的超收敛分析
•   4.1 引言
•   4.2 Curl-curl协调元求解quad-curl问题
•   4.3 超逼近性质
• 2）范数下的超逼近性质'>    4.3.1 H（curl²）范数下的超逼近性质
•     4.3.2 H（curl）范数下的超逼近性质
•   4.4 超收敛
•   4.5 数值实验
•   4.6 本章小结
• 第五章 Curl-curl协调高阶有限元及谱元的构造
•   5.1 二维矩形单元上的curl-curl协调元的构造
•   5.2 三维六面体单元上的curl-curl协调元的构造
•   5.3 数值实验
•     5.3.1 二维情况
•     5.3.2 三维情况
•   5.4 本章小结
• 第六章 总结与展望
•   6.1 论文小结
•   6.2 展望
• 致谢
• 参考文献
• 附录A
•   A.1 三维空间中的插值系数（第3.4小节）
•   A.2 二维空间中的插值系数（第3.7小节）
• 附录B
•   B.3 二维空间中正交基函数（第4.1小节）
•   B.4 三维空间中正交基函数（第5.2小节）
•     B.4.1 H（curl）空间正交基函数
• 2）空间正交基函数'>    B.4.2 H（curl²）空间正交基函数
• 附录C 攻读博士学位期间发表的论文及其他成果

文章来源

类型: 博士论文

作者: 王丽修

导师: 张智民

关键词: 电磁场方程,超收敛,问题,误差分析,协调元,分层基函数

来源: 中国工程物理研究院

年度: 2019

分类: 基础科学,信息科技

专业: 数学,数学,物理学,无线电电子学

单位: 中国工程物理研究院

分类号: O241.82;O441.4

总页数: 112

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