摘 要：针对属性值为梯形中智数的不确定多准则决策问题，提出了一种多准则决策方法。该方法首先根据梯形中智数的运算规则融合不同准则下的属性值；然后利用中智数的α型、β型和γ型3种类型的截集，将融合的中智数转换为若干个区间数，最大程度地保留了中智数的不确定信息；接着根据这些区间数构造一个排序指标，用来比较中智数，进而得到所有备选方案的排序。最后利用文献中的一个实例说明了本文方法的有效性和实用性。
关键词：多准则决策；梯形中智数；截集；排序
多准则决策是决策科学中的一类重要问题，在管理学、城市规划和军事科学等领域有着广泛的应用。然而，由于问题本身的不确定性和人们思维的模糊性，决策者很难用精确数来表达决策信息。1965年，Zadeh[1]首先提出了模糊集的概念，其中模糊集中每个元素的隶属度用一个介于0和1之间的精确值表示。虽然模糊集理论能较好地处理多准则决策问题中的一些模糊信息，但在现实生活中仍然存在其无法处理的不确定信息。于是，Smarandache[2]引入了中智逻辑和中智集等概念。在中智集中，元素的真实程度、不确定程度以及失真程度都属于非标准单位区间]0-，1+[，并且它们是完全独立的，这样可以更合理、更自然地表达不确定信息。考虑到科学或工程等问题的实际应用，Wang等[3]进一步将]0-，1+[改为标准的单位区间[0，1]。
近年来，含有中智信息的多准则决策问题受到了研究者们的广泛关注[4-5]，他们提出了多种多准则决策方法。如文献[6]研究了方案的属性值和属性权重均为单值梯形中智数的多属性决策问题，给出了一种基于语言信息的多属性决策的去模糊方法，并以制造企业为例说明了其方法的可行性和有效性；文献[7]针对梯形中智数环境下的多属性群决策问题，对梯形中智数采用分数函数、精度函数和Hamming距离函数计算，提出了一种交互式多准则决策 (tomada de decisao interativa e multicritévio，TODIM)策略。文献[8]假设决策信息采用单值中智数的形式，利用TODIM方法求解风险投资中属性权重未知的多属性决策问题；文献[9]考虑到准则间的相关性，定义了中智数的Einstein 算子，提出了一种基于Choquet积分的多准则群决策方法。另外，一些传统的多准则决策方法也被扩展到含有中智信息的决策情形，如扩展的TOPSIS(Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution)方法[10-11]，VIKOR(VIsekriterijumska optimizacija i KOmpromisno Resenje)方法[12-13]，ELECTRE(ELimination Et Choix Traduisant la Realité)方法[14]等。
在含有中智信息的多准则决策问题中，对中智数进行的合理排序是一个重要方面。文献[15]分别计算真实隶属函数，不确定隶属函数和失真隶属函数的期望值后，构造了梯形中智数的得分函数和准确函数两个指标，用来比较不同的梯形中智数。文献[16]给出了单值梯形中智数3种不同类型截集的定义，然后提出了单值梯形中智数的值和模糊度两个指标，并将这两个指标用于排序多准则下的不同备选方案。与文献[16]不同的是，文献[17]利用3种类型截集计算出的期望值和模糊度，提出了不同的组合形式，使之更灵活。根据最终的期望值和模糊度，采用字典序的方式对单值梯形中智数进行排序。虽然中智数的截集、期望值和模糊度等排序指标计算简便，但是利用积分形式计算这些指标时，或多或少的会丢失中智数的一些不确定信息。类似于模糊集理论的分解定理和扩展原理，根据截集产生的区间数能最大程度地保留原中智数的不确定信息，本文利用中智数的3种类型的截集，将单值梯形中智数直接转换为不同水平下的区间数，然后利用这些区间数的左、右端点值，计算中智数的排序指标，得到了梯形中智数的一种新的排序方法，并将其应用到多准则决策问题中，得到了较好的排序结果。
1基本概念
本节回顾了单值梯形中智数的一些相关概念及运算规则，如梯形中智集、单值梯形中智数、梯形中智数的运算规则、以及梯形中智数不同类型的截集等。
2.固定资产设备支出抵扣问题。在“营改增”制度下，企业购买外部的施工设备的增值税可以用来抵扣。从大体上看，施工设备使用税率有所下降，然而从实际来看，应纳税额的多少取决于税改前购进设备与税改后的购机设备之比，人工劳务费占总成本的比例。
定义1[3]设X是一个对象集，x为X中任意的一个元素，则定义在X上的单值中智集可表示为：
(1)
式中：分别称为真实隶属函数，不确定隶属函数和失真隶属函数，满足
对于模糊数，Chen和Klein[19]假设一组给定的不同水平值αi，计算出模糊数的α型截集给出了公式(10)对模糊数进行排序。他们同时指出，nα越大，公式(10)越有效，一般nα为3或4就可以对模糊数充分排序。
若公式(1)中均为梯形隶属函数，则可以给出了如下单值梯形中智数的定义。
定义2[17-18]设是定义在实数集R上的一个模糊集，若的隶属函数、不确定隶属函数和非隶属函数分别为：
(2)
(3)
(4)
梯形中智数的排序通常可用于处理多准则决策问题，本文将其用于对不同准则下的多个方案进行排序，其中方案属性值均为梯形中智数。多准则决策问题描述如下：
对于梯形中智数，一般有如下的运算规则。
定义3[17-18]设两个梯形中智数和精确实数λ≥0，其运算规则如下：
定义4[15]设为一组中智梯形数，ω=(ω1，ω2，...，ωn)为的权重向量，则称公式(9)为中智梯形数的加权算术平均算子。
(5)
(6)
(7)
(8)
《中国经济周刊》：您提到，在新一轮传统产业升级为智能商业的过程中，一定会出现平台级、生态级的企业，在这个过程中国还会出现新的像阿里、腾讯这样的平台级、生态级企业吗？
混凝土的拌制会直接影响到碾压混凝土施工工作的开展，在拌制工艺管控方面要做好以下几个方面的工作。一是要对混合料的配合比进行精确的控制和称重，保证混合料的配制符合大坝施工的要求。二是要使用强制搅拌机进行混合料的搅拌，强制搅拌机能够时刻保证混合料的均匀搅拌，有利于混凝土品质的保障。
（1）情绪管理主要是保障患者拥有良好的心态和稳定的情绪，因为情绪波动太大或者心态消极容易对患者造成不良影响。所以，在对患者进行充分的了解后，要及时的和患者沟通，并掌握沟通技巧。此外，心血管内科患者容易产生紧张焦虑、烦躁不安等情绪，护士应耐心聆听患者提出的问题并给予解答，如果考虑到患者的心理存在变化，应对其进行心理辅导，以保证患者情绪稳定。同时也可以采用科学的疗法进行心理情绪方面的治疗，鼓励患者战胜病魔的信心。
(9)
式中：ω1+ω2+...+ωn=1，ωj∈[0，1]。
为了比较梯形中智数，一种常用的方法是利用梯形中智数的截集将其转换成普通的区间数处理，然后对区间数进行运算。梯形中智数的3个截集定义如下：
在文化从属于语言教学的现状下，文化教学的内容不够深入，也不丰富。因此，丰富文化教学的内容也是满足跨文化交际需要的重要部分。
定义5[17]设是定义在X上的一个梯形中智数，对任意的α∈[0，1]，称集合为的α型截集。
定义6[17]设是定义在X上的一个梯形中智数，对任意的β∈[0，1]，称集合为的β型截集。
定义7[17]设是定义在X上的一个梯形中智数，对任意的γ∈[0，1]，称集合为的γ型截集。
对于多个梯形中智数，则可以用如下的定义4进行融合计算。
从定义5、定义6和定义7可以看出，和都是闭集，记为和分别计算和可得区间数：
和
2排序方法及其在多准则决策中的应用
2012年1月—2016年1月医保病人住院费用增长速度经前期增长后，后期逐渐减缓，其中职工医保5年间平均费用增长率为2.90%，7.32%，3.41%，-0.92%，居民医保为2.98%，14.58%，9.02%，7.88%。病人及家属医疗服务满意度由94.3%提高至97.9%。
(10)
式中：
传统农户小额信贷需要寻求担保人、抵押物，并提交相应的佐证材料，手续较为复杂。贫困户贷款从申请到审批，历时较长，融资成本较高。农业产业带有很强的节律性，如不能及时获得贷款，很可能会贻误农时、造成损失。“政银企户保”金融扶贫模式设立了小额贷款绿色通道，使得有贷款需求的贫困户能迅速对接金融机构，获得优惠贷款。有贷款意愿的申请人可向当地乡镇提出申请，由乡镇工作人员调查、担保中心审核担保、会签放款，大概历时7～10天。对于有特定需求的大额贷款“一事一议”，快速审批，一周到账。与传统小额贷款相比，“政银企户保”小额贷款审批时间短且利率优惠，普惠金融效应更强。
为了对梯形中智数进行排序，这里将公式(10)进行扩展。给定若干个水平值，分别计算梯形中智数的α型、β型、γ型截集，得到梯形中智数的排序公式，给出如下的定义8。
定义8 对于任意一个梯形中智数给定水平值αi，βj，γk，得到一组梯形中智数的截集i=1，2，...，nα；j=1，2，...，nβ；k=1，2，...，nγ，则利用这些截集可以得到如下的排序公式(11)。
R=t1I1+t2I2+t3I3
(11)
式中：
根据定义8，我们可以得到如下的排序规则：设和是任意两个梯形中智数，1) 若R1>R2，则优于记为若R1<R2，则优于记为若R1=R2，则等价于记为
式中：a1≤a2≤a3≤a4∈R，b1≤b2≤b3≤b4∈R，c1≤c2≤c3≤c4∈R，则称为R上一个梯形中智数，记为特别地，当a2=a3，b2=b3，c2=c3时，梯形中智数退化为三角中智数。
假设某个多准则决策问题有n个方案Ai，i=1，2，...，n和m个准则Cj，j=1，2，...，m，其准则权重分别为ωi≥0，且方案Ai在准则Cj下的属性值为梯形中智数xij=〈(a1ij，a2ij，a3ij，a4ij),(b1ij，b2ij，b3ij，b4)，(c1ij，c2ij，c3ij，c4ij)〉，i=1，2，...，n;j=1，...，m。通常准则可以分为效益型准则和成本型准则，则属性值一般可用如下公式(12)和(13)进行规范化，然后对所有方案进行排序。
为效益型准则)
(12)
为成本性准则)
1.劳动力资源短缺。“平成景气” 使得日本经济对劳动力的供需矛盾进一步凸显，日本在1988年的有效求人倍率开始大于1，并不断增加。1989年，日本制造业劳动力的供需矛盾在质与量上均呈现供给不足，技术人才短缺成为主要矛盾。根据《日本工业新闻》的一项调查统计：日本电气电子行业、信息通信行业、机械制造行业的技术人员严重短缺。被调查的企业中，超过50%的机械制造行业表示技术人员严重不足；汽车制造、船舶制造和建筑行业表示技术人员缺乏的比例为54%；69%的基础材料企业表示五年后将出现严重的技术人才短缺。
(13)
式中：对于多准则决策问题，一般可以用如下的步骤计算：
步骤1：利用公式(12)和(13)对梯形中智数属性值进行规范化处理。
近年来，韩国酒店业发展迅猛，据报道有30个大型酒店项目预计在2019年之前开业。与这些项目相关的客房总数将达到9904间，其中大多数集中于首尔和釜山。
步骤2：根据公式 (5)～(9) 对不同准则下属性值进行融合，得到梯形中智数的综合评价值。
步骤3：给定不同水平值αi,βj,γk，得到一组梯形中智数的α截集计算每个方案综合评价值在不同水平下的截集。
步骤4：根据公式(11)，计算所有方案的排序指标值。
一滴水可以折射太阳的光辉。五建沙特拉比格炼油项目员工正是以这种攻坚克难的精神，在工期紧、任务重、资源缺、天气热等各种不利因素条件下，越过了道道难关，以堪称完美的施工赢得了业主的交口称赞。由此，五建乘势而为，先后在5个国家承建了15个境外项目，合同总额近20亿美元。“十多个海外项目的成功实施，带来的不仅仅是可观的效益和良好的口碑，更重要的是给团队带来了超强的自信和宝贵的海外工程管理经验。现在任何海外石化建设项目我们都有信心去承接。”五建副总经理衣浩说。
步骤5：利用本文提出的规则对所有方案进行排序。
3算例
为了说明本文方法的有效性和实用性，考察文献[17]中商品选择的例子。某顾客要从5个备选方案{A1，A2，A3，A4，A5}中选择购买一平板电脑，其考虑的准则有：(i)特征C1；(ii)硬件配置C2；(iii)可负担价格C3；(iv)客户售后服务C4。各个准则的权重分别为ω1=0.25，ω2=0.25，ω3=0.3和ω4=0.2，5个方案关于4个准则的评价值(属性值、准则值)均为梯形中智数，具体数据如表1所示。
表1属性值为梯形中智数的决策矩阵
C1C2C3C4<(0.5, 0.6, 0.7, 0.8), (0.1, 0.1, 0.2, 0.3),<(0.3, 0.4, 0.4, 0.5),(0.4, 0.5, 0.6, 0.7)>A1(0.1, 0.1, 0.2, 0.3),(0.2, 0.2, 0.3, 0.4),(0.1, 0.2, 0.2, 0.3), (0.2, 0.2, 0.3, 0.4),(0.1, 0.2, 0.2, 0.3)>(0.4, 0.5, 0.6, 0.7)>(0.2, 0.2, 0.3, 0.4)>(0.1, 0.2, 0.3, 0.4)><(0.3, 0.4, 0.5, 0.5), <(0.2, 0.3, 0.4, 0.5),<(0.2, 0.2, 0.2, 0.2),<(0.4, 0.5, 0.6, 0.6), A2(0.1, 0.2, 0.2, 0.4),(0.1, 0.1, 0.2, 0.3),(0.1, 0.1, 0.1, 0.1),(0.2, 0.2, 0.3, 0.3),(0.1, 0.1, 0.2, 0.3)> (0.2, 0.2, 0.3, 0.3)>(0.6, 0.7, 0.8, 0.8)>(0.2, 0.3, 0.4, 0.4)><(0.3, 0.3, 0.3, 0.3), <(0.1, 0.2, 0.2, 0.3),<(0.2, 0.3, 0.4, 0.5),<(0.2, 0.2, 0.3, 0.4),A3(0.2, 0.3, 0.4, 0.4),(0.2, 0.3, 0.3, 0.4),(0.2, 0.3, 0.3, 0.4),(0.3, 0.3, 0.3, 0.3), (0.6, 0.7, 0.8, 0.9)>(0.4, 0.5, 0.6, 0.6)>(0.3, 0.4, 0.4, 0.5)>(0.3, 0.4, 0.5, 0.6)><(0.7, 0.8, 0.8, 0.9), <(0.5, 0.6, 0.7, 0.7),<(0.3, 0.4, 0.4, 0.5),<(0.1, 0.2, 0.3, 0.4),A4(0.1, 0.2, 0.3, 0.3), (0.2, 0.2, 0.2, 0.2), (0.1, 0.2, 0.2, 0.3), (0.2, 0.2, 0.3, 0.3),(0.2, 0.2, 0.2, 0.2)>(0.1, 0.1, 0.2, 0.2)>(0.1, 0.2, 0.3, 0.4)>(0.5, 0.6, 0.7, 0.8)><(0.1, 0.2, 0.2, 0.3), <(0.5, 0.6, 0.6, 0.7), <(0.6, 0.7, 0.8, 0.8), <(0.2, 0.3, 0.4, 0.4),A5(0.2, 0.2, 0.3, 0.4), (0.1, 0.2, 0.3, 0.4),(0.2, 0.2, 0.3, 0.3),(0.1, 0.2, 0.3, 0.4),(0.6, 0.6, 0.7, 0.8)>(0.2, 0.2, 0.3, 0.4)>(0.1, 0.1, 0.2, 0.3)>(0.3, 0.4, 0.4, 0.5)>
第1步，考虑到4个准则均为效益型准则，利用公式(12)将表1中数据进行规范化，规范化后的决策矩阵见表2。
表2规范化决策矩阵
C1C2C3C4<(0.63, 0.75, 0.88, 1.00),<(0.13, 0.13, 0.25, 0.38),<(0.38, 0.50, 0.50, 0.63)<(0.50, 0.63, 0.75, 0.88), A1(0.25, 0.25, 0.50, 0.75), (0.50, 0.50, 0.75, 1.00),(0.25, 0.50, 0.50, 0.750), (0.50, 0.500, 0.75, 1.00),(0.14, 0.29, 0.29, 0.43)>(0.57, 0.71, 0.86, 1.00)>(0.29, 0.29, 0.43, 0.57)> (0.14, 0.29, 0.43, 0.57)> <(0.50, 0.67, 0.83, 0.83), <(0.33, 0.50, 0.67, 0.83),<(0.33, 0.33, 0.33, 0.33), <(0.67, 0.83, 1.00, 1.00), A2(0.25, 0.50, 0.50, 1.00), (0.25, 0.25, 0.50, 0.75),(0.25, 0.25, 0.25, 0.25), (0.50, 0.50, 0.75, 0.75),(0.13, 0.13, 0.25, 0.38)> (0.25, 0.25, 0.38, 0.38)>(0.75, 0.88, 1.00, 1.00)>(0.25, 0.38, 0.50, 0.50)><(0.60, 0.60, 0.60, 0.60), <(0.20, 0.40, 0.40, 0.60),<(0.40, 0.60, 0.80, 1.00), <(0.40, 0.40, 0.60, 0.80),A3(0.50, 0.75, 1.00, 1.00),(0.50, 0.75, 0.75, 1.00),(0.50, 0.75, 0.75, 1.00), (0.75, 0.75, 0.75, 0.75), (0.67, 0.78, 0.89, 1.00)>(0.44, 0.56, 0.67, 0.67)> (0.33, 0.44, 0.44, 0.56)> (0.33, 0.44, 0.56, 0.67)> <(0.78, 0.89, 0.89, 1.00),<(0.56, 0.67, 0.78, 0.78),<(0.333, 0.444, 0.444, 0.556), <(0.11, 0.22, 0.33, 0.44), A4 (0.33, 0.67, 1.00, 1.00), (0.67, 0.67, 0.67, 0.67),(0.333, 0.667, 0.667, 1.000), (0.67, 0.67, 1.00, 1.00), (0.25, 0.25, 0.25, 0.25)>(0.13 0.13, 0.25, 0.25)>(0.125, 0.25, 0.38, 0.50)> (0.63, 0.75, 0.88, 1.00)> <(0.63, 0.75, 0.75, 0.88),<(0.13, 0.25, 0.25, 0.38), <(0.75, 0.88, 1.00, 1.00),<(0.25, 0.38, 0.50, 0.50),A5(0.50, 0.50, 0.75, 1.00), (0.25, 0.50, 0.75, 1.00),(0.50, 0.50, 0.75, 0.75),(0.25, 0.50, 0.75, 1.00),(0.75, 0.75, 0.88, 1.00)>(0.25, 0.25, 0.38, 0.50)>(0.13, 0.13, 0.25, 0.38)>(0.38, 0.50, 0.50, 0.63)>
第2步 根据准则权重值ω1=0.25，ω2=0.25，ω3=0.3，ω4=0.2，利用公式(5)和公式(7)计算所有方案的加权规范化评价值，即综合评价值，综合评价值数据见表3。
表3所有方案在不同属性下的综合评价值
方案综合评价值A1<(0.4000, 0.4938, 0.5813, 0.7063), (0.3625, 0.4375, 0.6125, 0.8625), (0.2929, 0.3928, 0.5000, 0.6429)>A2<(0.4417, 0.5583, 0.6750, 0.7166), (0.3000, 0.3625, 0.4750, 0.6625), (0.3688, 0.4313, 0.5563, 0.5875)>A3<(0.4000, 0.5100, 0.6100, 0.7600), (0.5500, 0.7500, 0.8125, 0.9500), (0.4444, 0.5556, 0.6333, 0.7167)>A4<(0.4556, 0.5667, 0.6167, 0.7000), (0.4833, 0.6667, 0.8167, 0.9167), (0.2563, 0.3188, 0.4125, 0.4750)>A5<(0.4625, 0.5875, 0.6500, 0.7125), (0.3875, 0.5000, 0.7500, 0.9250), (0.3625, 0.3875, 0.4875, 0.6125)>
第3步，给出不同的水平值，计算综合评价值的不同截集，计算结果见表4～表6。
第4步，取t1=0.5，t2=0.3，t3=0.2，根据公式(11)，计算所有方案的排序指标值，得R1=0.4638，R2=0.5089，R3=0.8119，R4=0.6038，R5=0.5398。根据排序规则，可得A3≻A4≻A5≻A2≻A1，从而方案A3可作为最优备选方案。本文结果和文献[17]方法具有相同的最优备选方案，但方案A4优于A5，而文献中A5优于A4，其排序为A3≻A5≻A4≻A2≻A1，体现了中智数排序的多样性，在实际决策时，决策者可以调整参数t1，t2，t3，得到更合理的排序结果。
X片平片通常应用在脊柱骨折患者的诊断中，但是对于某些不易区分和发觉的骨折类型需要使用CT检查才能得出结论[1]。本组实验选取2016年2月—2018年2月进入本院接受治疗的脊柱骨折患者共74例作为研究样本，分别给予不同诊断方式，旨在进一步探讨在脊柱骨折患者诊断中分别应用X片平片与CT的具体效果。现将具体研究结果报道如下。
4小结
本文利用梯形中智数3种类型的截集，将其转换为不同水平下的区间数，再根据区间数的端点值构造了一个排序指标，最大程度地保留了梯形中智数的不确定信息，提出了一种排序方法。并将其应用到属性值为梯形中智数的多准则决策问题中，得到了所有备选方案合理的排序。
表4综合梯形中智数真值隶属函数在不同水平值下的α型截集
水平值αiA1A2A3A4A50[0.4000,0.7063][0.4417,0.7167][0.4000,0.7600][0.4556,0.7000][0.4625,0.7125]0.1[0.4094,0.6938][0.4533,0.7125][0.4110,0.7450][0.4667,0.6917][0.4750,0.7062]0.2[0.4188,0.6813][0.4650,0.7083][0.4220,0.7300][0.4778,0.6833][0.4875,0.7000]0.3[0.4281,0.6688][0.4767,0.7042][0.4330,0.7150][0.4889,0.6750][0.5000,0.6937]0.4[0.4375,0.6563][0.4883,0.7000][0.4440,0.7000][0.5000,0.6667][0.5125,0.6875]0.5[0.4469,0.6438][0.5000,0.6958][0.4550,0.6850][0.5111,0.6583][0.5250,0.6812]0.6[0.4562,0.6313][0.5117,0.6917][0.4660,0.6700][0.5222,0.6500][0.5375,0.6750]0.7[0.4656,0.6188][0.5233,0.6875][0.4770,0.6550][0.5333,0.6417][0.5500,0.6687]0.8[0.4750,0.6063][0.5350,0.6833][0.4880,0.6400][0.5444,0.6333][0.5625,0.6625]0.9[0.4844,0.5938][0.5467,0.6792][0.4990,0.6250][0.5556,0.6250][0.5750,0.6563]1[0.4937,0.5813][0.5583,0.6750][0.5100,0.6100][0.5667,0.6167][0.5875,0.6500]
表5综合梯形中智数真值隶属函数在不同水平值下的β型截集
水平值βjA1A2A3A4A50[0.4375,0.6125][0.3625,0.4750][0.7500,0.8125][0.6667,0.8167][0.5000,0.7500]0.1[0.4450,0.6375][0.3688,0.4938][0.7700,0.8263][0.6850,0.8267][0.5112,0.7675]0.2[0.4525,0.6625][0.3750,0.5125][0.7900,0.8400][0.7033,0.8367][0.5225,0.7850]0.3[0.4600,0.6875][0.3813,0.5313][0.8100,0.8538][0.7217,0.8467][0.5337,0.8025]0.4[0.4675,0.7125][0.3875,0.5500][0.8300,0.8675][0.7400,0.8567][0.5450,0.8200]0.5[0.4750,0.7375][0.3938,0.5687][0.8500,0.8813][0.7583,0.8667][0.5563,0.8375]0.6[0.4825,0.7625][0.4000,0.5875][0.8700,0.8950][0.7767,0.8767][0.5675,0.8550]0.7[0.4900,0.7875][0.4063,0.6062][0.8900,0.9088][0.7950,0.8867][0.5787,0.8725]0.8[0.4975,0.8125][0.4125,0.6250][0.9100,0.9225][0.8133,0.8967][0.5900,0.8900]0.9[0.5050,0.8375][0.4188,0.6437][0.9300,0.9363][0.8317,0.9067][0.6012,0.9075]1[0.5125,0.8625][0.4250,0.6625][0.9500,0.9500][0.8500,0.9167][0.6125,0.9250]
表6综合梯形中智数真值隶属函数在不同水平值下的γ型截集
水平值γkA1A2A3A4A50[0.3929,0.5000][0.4312,0.5563][0.5556,0.6333][0.3187,0.4125][0.3875,0.4875]0.1[0.4029,0.5143][0.4375,0.5594][0.5667,0.6417][0.3250,0.4187][0.3900,0.5000]0.2[0.4129,0.5286][0.4437,0.5625][0.5778,0.6500][0.3312,0.4250][0.3925,0.5125]0.3[0.4229,0.5429][0.4500,0.5656][0.5889,0.6583][0.3375,0.4313][0.3950,0.5250]0.4[0.4329,0.5571][0.4562,0.5687][0.6000,0.6667][0.3437,0.4375][0.3975,0.5375]0.5[0.4429,0.5714][0.4625,0.5719][0.6111,0.6750][0.3500,0.4437][0.4000,0.5500]0.6[0.4529,0.5857][0.4688,0.5750][0.6222,0.6833][0.3563,0.4500][0.4025,0.5625]0.7[0.4629,0.6000][0.4750,0.5781][0.6333,0.6917][0.3625,0.4563][0.4050,0.5750]0.8[0.4729,0.6143][0.4813,0.5812][0.6444,0.7000][0.3688,0.4625][0.4075,0.5875]0.9[0.4829,0.6286][0.4875,0.5844][0.6556,0.7083][0.3750,0.4688][0.4100,0.6000]1[0.4929,0.6429][0.4937,0.5875][0.6667,0.7167][0.3812,0.4750][0.4125,0.6125]
[参 考 文 献]
[1] ZADEH L A. Fuzzy sets[J].Information & Control, 1965, 8(3):338-353.
[2] SMARANDACHE F. A unifying field in logics: Neutrosophic logic[J].Multiple-Valued Logic, 1999, 8(3):489-503.
[3] WANG H, SMARANDACHE F, ZHANG Y, et al. Single-valued neutrosophic sets[J].Multispace and Multistructure, 2010, 4: 410-413.
[4] EL-HEFENAWY N, METWALLY M A, AHMED
Z M, et al. A review on the applications of neutrosophic sets[J].Journal of Computational and Theoretical Nanoscience, 2016, 13(1): 936-944.
[5] OTAY I, KAHRAMAN C. A state-of-the-art review of neutrosophic sets and theory[M]//Fuzzy Multi-criteria Decision-Making Using Neutrosophic Sets. Cham: Springer, 2019: 3-24.
[6] DELIⅰ. A novel defuzzification method of SV-trapezoidal neutrosophic numbers and multi-attribute decision making: a comparative analysis[J].Soft Computing, 2019, 23(23): 12529-12545.
[7] PRAMANIK S, MALLICK R. TODIM strategy for multi-attribute group decision making in trapezoidal neutrosophic number environment[J].Complex & Intelligent Systems, 2019, 5(4): 379-389.
[8] XU D, HONG Y, XIANG K. A method of determining multi-attribute weights based on single-valued neutrosophic numbers and its application in TODIM[J].Symmetry, 2019, 11(4): 506-517.
[9] PENG J, WANG J Q, YANG L J, et al. A novel multi-criteria group decision-making approach using simplified neutrosophic information[J].International Journal for Uncertainty Quantification, 2017, 7(4):355-376.
[10] ABDEL-BASSET M, MANOGARAN G, GAMAL A, et al. A group decision making framework based on neutrosophic TOPSIS approach for smart medical device selection[J].Journal of medical systems, 2019, 43(2): 38-50.
[11] GIRI B C, MOLLA M U, BISWAS P. TOPSIS method for MADM based on interval trapezoidal neutrosophic number[J].Neutrosophic Sets and Systems, 2018, 22: 151-167.
[12] PRAMANIK S, MALLICK R. VIKOR based M-AGDM Strategy with trapezoidal neutrosophic numbers[J].Neutrosophic Sets and Systems, 2018, 22: 118-129.
[13] WANG J, WEI G, LU M. An extended VIKOR method for multiple criteria group decision making with triangular fuzzy neutrosophic numbers[J].Symmetry, 2018, 10(10): 497-511.
[14] ZHANG H, WANG J, CHEN X. An outranking approach for multi-criteria decision-making problems with interval-valued neutrosophic sets[J].Neural Computing and Applications, 2016, 27(3):615-627.
[15] YE J. Trapezoidal neutrosophic set and its application to multiple attribute decision-making[J].Neural Computing and Applications, 2015, 26(5):1157-1166.
[16] DELI I, UBAY. A ranking method of single valued neutrosophic numbers and its applications to multi-attribute decision making problems[J].International Journal of Machine Learning and Cybernetics, 2017, 8(4): 1309-1322.
[17] BISWAS P, PRAMANIK S, GIRI B C. Value and ambiguity index based ranking method of single-valued trapezoidal neutrosophic numbers and its application to multi-attribute decision making[J].Neutrosophic Sets and Systems, 2016, 12: 127-138.
[18] TAN R, ZHANG W. Multiple attribute group decision making methods based on trapezoidal fuzzy neutrosophic numbers[J].Journal of Intelligent & Fuzzy Systems, 2017, 33(4): 2547-2564.
[19] CHEN C B, KLEIN C M. A simple approach to ranking a group of aggregated fuzzy utilities[J].IEEE Transactions on Systems Man & Cybernetics, Part B: Cyberent, 1997, 27(1):26-35.
ANovelMethodfortheUncertainMultipleCriteriaDecisionMakingwiththeNeutrosophicNumbersBasedontheCutSets
Yu Shengping, Zhou Qing, Duan Liuzhi
(SchoolofMathematicsandStatistics,HubeiEngineeringUniversity,Xiaogan,Hubei432000,China)
Abstract：A new method is proposed to solve the uncertain multi-criteria decision-making problems， where the attribute values of alternatives are expressed by the trapezoidal neutrosophic numbers. Firstly， the method integrates all attribute values under different criteria according to the aggregated operator of trapezoidal neutrosophic numbers， and then converts the aggregated trapezoidal neutrosophic numbers into interval numbers by using the α-cut set， β-cut set and γ-cut set of trapezoidal neutrosophic numbers， which retains the uncertain information of trapezoidal neutrosophic numbers to the greatest extent. Secondly， a ranking index is constructed for comparing the trapezoidal neutrosophic numbers according to these interval numbers， and then the ranking is obtained for all the trapezoidal neutrosophic numbers. Finally， an example in the literature is used to illustrate the effectiveness and practicability of the proposed method．
KeyWords：multiple criteria decision making; trapezoidal neutrosophic number; cut set; ranking
收稿日期：2019-08-29
基金项目：湖北省教育厅科学研究计划项目(B2017168)
作者简介：余胜平(1980- )，女，湖北襄阳人，湖北工程学院数学与统计学院副教授，硕士。
中图分类号：C934
文献标志码：A
文章编号：2095-4824(2019)06-0073-07
(责任编辑：邹礼平)
标签：梯形论文; 中智论文; 准则论文; 定义论文; 方案论文; 社会科学总论论文; 管理学论文; 决策学论文; 《湖北工程学院学报》2019年第6期论文; 湖北省教育厅科学研究计划项目(B2017168)论文; 湖北工程学院数学与统计学院论文;