关键词：新课标；导数；切线；最值；不等式
随着人们对导数认识的深入，导数在中学教学和学习中的地位越来越显赫，学生和教师都对导数产生了浓厚的兴趣，也正因此，在教学中发现了更多的困惑，学生在学习中也出现了更多的困难，那么，教师在教学中就应着重关注这些困惑和难点。
一、导数概念的教学
一般地，导数概念的起点是极限，即从数列的极限→函数的极限→导数。这种概念建立方式有严密的逻辑性和系统性，但是就高中学生的认知水平而言，他们很难理解极限形式的定义。由此产生的困难也影响了对导数本质的理解。而新课标导数概念是怎样讲呢？教科书(北师大版)没有介绍形式化的极限定义及相关知识，而是从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。这种概念建立方式当然就没有严密的逻辑性和系统性了。在一系列问题的引导下，学生经历从平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，从代数和几何两个方面理解导数的含义，一方面，通过求瞬时速度方法而引入导数的概念，这是牛顿创立导数的基础；另一方面，再讲清导数的几何意义——导数是曲线上某点处切线的斜率，这是莱布尼茨创立导数的基础。这样处理的意义有三：其一，体现数学是自然的，不是强加给人的这一根本思想，避免学生认识水平和知识学习间的矛盾；其二，将更多精力用于导数本质的理解上；其三，学生对逼近思想有了丰富的直观理解。
教师在这部分的教学时要注意：第一，要让学生理解清楚变化量和变化率的区别与联系；第二，一定要明确从平均变化率到瞬时变化率的渐变过程；第三，分清平均变化率和瞬时变化率的区别与联系；第四，让学生清楚函数在一点处的导数正是函数在次点的瞬时变化率，这是导数的代数意义；第五，有必要让学生理解导数的极限计算方法。学生在此的还有一个难点是：不同的实际问题中，对瞬时变化率的实际意义的理解。对于这点，可以从实际问题的某一段的平均变化率入手去理解，用平均变化率渐变到瞬时变化率，特别是注意单位的理解也会对瞬时变化率的理解有很大帮助。
二、导数几何意义的教学及在函数中的应用
导数f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处切线的斜率，利用这一点，解析几何中曲线的许多有关切线问题都可以用导数来处理。导数在此的作用可谓是大显神通，而在此处的教学却是“暗礁”随现。
第一，曲线y=f(x)在某一点处的切线的定义理解很慎重。在北师大版高中数学选修2-2导数的几何意义这一节首先就给出了切线的定义(见北师大版高中数学选修2-2课本34页图2-4)：设函数y=f(x)的图像是一条光滑的曲线，从图像上可以看出：当Δx取不同值时，可以得到不同的割线；当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y=f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动，最后趋于直线l。直线l和曲线y=f(x)在点A处“相切”，称直线l为曲线y=f(x)在点A处的切线。
这种定义采用了割线逼近法，将割线渐变趋于确定位置的直线定义为曲线的切线，不仅直观反映了切线的本质，而且这种逼近思想又跟导数联系起来，很自然地把导数跟切线的关系拉近了。但是这种定义来得比较突然，以前我们的学生只接触过特殊圆锥曲线的切线，它是用直线和曲线公共点的个数定义的。显然，这样的切线定义并不适用于一般曲线的切线，因此我们得慢慢过渡，设计问题情境把圆锥曲线的切线推广到一般曲线的切线。特别注意两点：①点B可以在点A的右边，也可以在左边，即割线可以顺时针转动，也可以逆时针转动，相应的Δx也可正可负；②曲线的切线除了和曲线有一个公共的切点外，还可以与曲线有更多的交点。
第二，导数的几何意义的理解。要从割线的斜率就是平均变化率来理解，割线渐变成为切线，其斜率从平均变化率渐变成为瞬时变化率，因此，函数y=f(x)在x=x0处的导数，是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率。在讲完几何意义后，可以根据情况让学生试着研究：如果y=f(x)在x=x0处的切线斜率不存在，这时的切线和导数是什么情况？
第三，用导数的几何意义解决函数问题。和切线有关的问题要把握一个关键点，就是切点是切线和原曲线的“连接纽带”，学生要牢记切点既在切线上又在原曲线上。另外，要首先判断问题中的点是否是切点。
例(2006高考全国II)：过点(－1，0)作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为()。
A.2x+y+2=0B.3x-y+3=0C.x+y+1=0D.x-y+1=0
思路解析：y`=2x+1，要判断点(-1，0)不在抛物线上，所以设切点坐标为(x0,y0)，则切线的斜率为2x0+1，由切点在抛物线上可得y0=x02+x0+1，于是切线方程为：y-x20-x0-1=(2xo+1)(x-xo)，又因为点(-1，0)在切线上，可解得xo=0或－4，代入可验正D正确，选D。
第四，上两题中就重点利用了切点既在切线上又在抛物线上。我们再来看导数的几何意义在求最值方面的价值及要点。求简单高次函数在闭区间内的最值问题分两类，一是函数导数为零的点都不在给定区间内，就要用函数在区间上的单调性解题；二是函数导数为零的点都(或一部分)在给定区间内，那么比较导数为零的点、不可导的点、区间端点这三类点的函数值，可得最值。对于开区间要注意无最值的情况。在优化问题的讲解中，要重点分析讲解函数模型的构造过程。要让学生彻底理解题意，找到并设出变量，列出函数关系。
三、利用导数处理不等式问题
第一，我们知道函数在某个区间上的导数值大于(或小于)0时，则该函数在该区间上单调递增(或递减)。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性，然后再用函数单调性达到证明不等式的目的，即把证明不等式转化为证明函数的单调性。
第二，导数的另一个作用是求函数的最值，因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大(或最小)值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题。利用导数求出函数的值域，再证明不等式。
第三，不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为m>f(x)(或m<f(x))恒成立，于是m大于f(x)的最大值(或m小于f(x)的最小值)，从而把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题。因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法。
新课程改革后，导数是新增内容，高中阶段也没过多的铺垫知识，所以给教学提出了新的挑战。在教学时，只有正确把握大纲要求，合理设计教学和正确完美地呈现概念的内涵，才能促进学生对导数相关概念的正确理解与应用。总之，导数作为一种工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性、极值、最值以及切线问题。在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维、简化解题过程的目的，更在于使学生掌握一种科学的语言和工具，进一步加深对函数的深刻理解和直观认识。
参考文献：
[1]严士健，王尚志.普通高中课程标准实验教科书数学(选修2-2)[M].北京：北京师范大学出版社，2008.
[2]梁国顺.状元之路?数学[M].北京：教育出版社，2003.
作者简介：张海国，男，2000年毕业至今工作在高中教学一线。《教师应与时俱进》等多篇论文曾获省级二等奖；曾被评为“韩城市青年岗位能手”；2011年被评为“经发高中优秀教研组长”。
作者单位：陕西省西安经发高级中学
邮政编码：710000