等几何分析中的闭锁问题与Nitsche方法研究

论文摘要

有限元法是20世纪力学领域最重大的成就之一。在五十多年的发展历程中,有限元法形成了深厚的数学力学基础,众多研究者构造了大批的各类单元,发展了成熟的静力学和动力学分析方法和软件,在各个领域得到了广泛的应用。在有限元方法中发展起来的各种单元列式中,拟协调元的基本思想对很多单元的构造具有启发性,该方法以“积分弱化”的方式放松了单元间协调性要求。拟协调单元构造方式简单,单元刚度阵显式表达,研究和构造拟协调单元有助于简便且快速地分析实际问题。针对有限元网格剖分引起的CAE和CAD系统融合的困难,作为新兴的有限元分析框架,等几何分析采用非均匀有理B样条（Non-Uniform Rational B-Spline,NURBS）作为基函数,致力于将设计和分析纳入统一表达,将计算机辅助设计（CAD）和计算机辅助工程（CAE）无缝融合,成为一个发展非常迅速的方向。因此,针对等几何分析的相关研究具有重要的理论意义和工程应用价值。拟协调元在构造高阶次单元时,计算单元域内积分通常使用的等参变换对单元形状敏感、且无法达到理论上的最大代数精度,所构造的单元性能受限。与传统有限元类似,等几何Timoshenko梁、Reissner-Mindlin板壳单元同样存在数值闭锁现象,针对闭锁问题的研究使得单元可以薄厚通用,在稀疏网格下就能得到高精度结果,节省计算资源。等几何分析中边界条件施加问题是热点问题,例如,结构位移边界条件难以直接施加,Kirchhoff-Love薄板单元中的转动边界条件不方便控制,关于多片复杂结构耦合边界条件的施加问题,这些列式及其影响都有待研究。NURBS可以精确描述结构边界,对求解接触问题具有独特的优势,因此,对接触边界条件施加的列式研究以及对结构接触问题的模拟,也是等几何分析中的重要课题。本文针对拟协调元和等几何分析中的上述问题,开展了如下研究工作:（1）拟协调高精度抗畸变单元开发。在开发拟协调高阶次单元时,拟协调单元构造通常使用的等参变换限制了单元整体精度和性能,需要寻求一种新的单元域内积分方法。针对这一问题,基于拟协调有限元列式、采用B网方法,开发了拟协调平面四边形八节点单元,该单元具有高精度、抗畸变的良好性质。单元构造时使用B网方法进行单元域内积分,节省计算量的同时保证了单元的二次精度。由于B网积分的良好性质,单元在网格畸变时仍可得到较为稳定的结果,在凹四边网格下同样能够计算。（2）基于等几何分析的梁板壳单元列式与闭锁问题研究。等几何框架下梁、板壳单元仍存在闭锁问题,当网格畸变与闭锁同时发生时单元计算精度进一步下降。对于平面Timoshenko曲梁单元和Reissner-Mindlin板壳单元,提出形函数降阶法将产生闭锁的应变进行降阶投影,解决了应变离散式中插值阶次不一致的问题。此外还讨论了降阶策略,通过在单元上使用不同阶次的降阶基函数有效地减少了计算量、提高了结果精度。对于空间曲梁单元和实体壳单元进行列式和闭锁方面的研究,采用减缩积分策略减轻了闭锁现象。（3）等几何分析中的位移、转动和耦合边界条件施加列式研究。施加位移和转动边界条件、计算多片复杂结构是结构分析中的常见问题。但等几何分析中直接施加边界条件困难,通常采用Nitsche方法将要施加的边界条件“积分弱化”后代入原问题弱形式。对不同的边界条件Nitsche方法列式各不相同。我们通过整合列式提出了统一的Nitsche列式框架,对Nitsche方法进行了有益补充。提出的斜对称Nitsche列式避免了稳定系数的求解,研究中同样将斜对称Nitsche列式纳入统一框架,并应用到各个问题当中。通过算例展现了 Nitsche列式的数值表现,表明了列式的有效性,此外还研究了 Nitsche耦合过程对结构力学响应的影响。（4）基于等几何分析的接触条件施加列式与接触问题模拟。针对小变形无摩擦接触,将接触条件等效转化为投影算子后,采用Nitsche方法施加接触边界条件。列式推导从弹性体与刚体的接触出发,后扩展至两个弹性体之间的主从接触和适用于自接触的无偏接触Nitsche列式。进一步将摩擦条件引入,基于实体壳大变形列式,采用Nitsche方法模拟大变形摩擦接触。此外还推导了接触列式的线性化过程,介绍了高效稳定的接触搜索方法。通过算例进行了对Nitsche接触列式的相关研究,结果表明Nitsche方法能够有效地施加接触条件、模拟接触问题。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 主要符号表
• 1 绪论
•   1.1 研究背景与意义
•   1.2 拟协调有限元研究现状
•     1.2.1 有限元列式理论和概况
•     1.2.2 拟协调元列式及相关应用
•   1.3 等几何分析研究现状
•     1.3.1 等几何分析的产生及其相关研究
•     1.3.2 基于等几何分析中的结构分析
•   1.4 等几何分析中存在的若干问题
•     1.4.1 闭锁现象研究现状
•     1.4.2 Nitsche方法及其在边界条件施加问题中的应用
•   1.5 本文研究内容与章节安排
• 2 有限元列式与等几何分析基础
•   2.1 引言
•   2.2 经典有限元列式
•     2.2.1 问题描述
•     2.2.2 弱形式
•     2.2.3 有限单元、形函数与分片近似
•     2.2.4 Jacobi转换矩阵
•     2.2.5 有限元离散列式
•     2.2.6 数值积分
•     2.2.7 误差计算
•   2.3 等几何分析基础
•     2.3.1 节点矢量与B样条
•     2.3.2 控制点与B样条曲线曲面
•     2.3.3 非均匀有理B样条（NURBS）
•     2.3.4 h加密,p加密,k加密
•   2.4 本章小结
• 3 高精度抗畸变拟协调单元列式研究
•   3.1 引言
•   3.2 拟协调单元一般列式
•   3.3 拟协调平面四节点单元构造
•     3.3.1 单元局部坐标与单元列式
•     3.3.2 单元边界积分计算
•     3.3.3 算例:分片实验
•     3.3.4 算例:Cook梁
•   3.4 基于B网积分的平面八节点抗畸变拟协调单元
•     3.4.1 拟协调平面八节点单元列式
•     3.4.2 基于B网方法的三角形单元域内积分
•     3.4.3 基于B网方法的四边形单元域内积分
•     3.4.4 算例:二阶分片实验
•     3.4.5 算例:剪切梁网格畸变
•     3.4.6 算例:Cook梁网格畸变
•   3.5 拟协调思想
•   3.6 本章小结
• 4 等几何梁板壳结构分析及闭锁问题研究
•   4.1 引言
•   4.2 等几何平面Timoshenko曲梁单元
•     4.2.1 平面Timoshenko曲梁单元列式
•     4.2.2 形函数降阶法列式与原理
•     4.2.3 降阶法讨论
•     4.2.4 算例:降阶法原理
•     4.2.5 算例:常曲率曲梁
•   4.3 等几何Reissner-Mindlin板壳单元
•     4.3.1 Reissner-Mindlin板壳单元列式
•     4.3.2 列式讨论
•     4.3.3 形函数降阶策略
•     4.3.4 算例:简支方板
•     4.3.5 算例:受压圆筒
•   4.4 等几何空间曲梁单元
•     4.4.1 空间曲梁单元列式
•     4.4.2 列式讨论
•     4.4.3 算例:弹簧模型
•   4.5 等几何实体壳单元
•     4.5.1 由壳中面构造3D几何模型
•     4.5.2 实体壳单元列式
•     4.5.3 条件数测试、闭锁现象与减缩积分方案
•     4.5.4 算例:Scordelis-Lo roof
•   4.6 本章小结
• 5 Nitsche方法及其在等几何分析中的应用
•   5.1 Nitsche方法一般列式
•   5.2 无参数（parameter-free）列式与稳定系数
•   5.3 Nitsche方法在施加位移边界条件中的应用
•     5.3.1 基于Nitsche方法的施加位移边界条件列式
•     5.3.2 算例:分片实验测试
•   5.4 Nitsche方法在施加转动边界条件中的应用
•     5.4.1 基于Nitsche方法的施加转动边界条件列式
•     5.4.2 算例:薄板对称边界条件
•   5.5 Nitsche方法在多片耦合中的应用
•     5.5.1 基于Nitsche方法的施加耦合边界条件列式
•     5.5.2 算例:简支方板
•     5.5.3 算例:固支杆自由振动
•     5.5.4 算例:环形板
•   5.6 Nitsche方法在接触问题中的应用
•     5.6.1 基于Nitsche方法的小变形无摩擦接触列式
•     5.6.2 小变形接触列式线性化
•     5.6.3 基于Nitsche方法的大变形摩擦接触列式
•     5.6.4 大变形接触列式线性化
•     5.6.5 基于层次包围盒的二叉树接触搜索
•     5.6.6 算例:Hertz接触
•     5.6.7 算例:泰勒接触实验
•     5.6.8 算例:3D自接触
•     5.6.9 算例:交叉圆筒大变形自接触
•   5.7 本章小结
• 6 结论与展望
•   6.1 结论
•   6.2 创新点
•   6.3 展望
• 参考文献
• 附录A 基于Nitsche方法的大变形自接触列式各项导数
•   A.1 PK1应力方向导数
•   A.2 接触列式中各算子偏导数
•   A.3 接触列式中各项方向导数
• 攻读博士学位期间科研项目及科研成果
• 致谢
• 作者简介

文章来源

类型: 博士论文

作者: 胡清元

导师: 程耿东

关键词: 等几何,拟协调,网格畸变,闭锁,接触问题

来源: 大连理工大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学,力学

单位: 大连理工大学

分类号: O241.82;O342

总页数: 177

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