——以“算术平方根”为例谈概念教学
(作者单位：浙江省仙居县第二中学317300)
摘要：概念教学最关键的部分就是概念的形成：打开蕴含在数学概念中的深层次的思维活动，以一些实际事例为载体，带领学生分析各个实际事例、抽象出概念的共同本质属性、归纳得出数学概念。数学概念的形成一般需要经过很长的时间，所以数学概念教学一定要注重引导学生体验概念的形成过程，启发学生抽象、概括出概念的本质属性，达到理解概念的本质。
关键词：概念形成；本质属性；算术平方根；教学
概念是思维的基本单位。数学学习的过程实际上是推理的过程，而推理又离不开判断，而判断却又是以概念为基础的。所以，理解概念是一切数学活动的基础，概念不清就无法进一步开展其他数学活动。因而，我们数学教师在进行概念教学时，以概念的形成过程为基础，以学生的实际水平为起点，让学生经历概念的形成过程，掌握概念的本质属性，学会概念形成的方法，为后续的学习积累概念学习的经验，更好地运用于实践中。
笔者现以人教版《义务教育教科书.数学》七年级下册第6章第一节“算术平方根”为例进行分析，请大家指导。
一、课例重现及设计意图
1.温故知新
教师通过提问：同学们，第一章我们学习了什么呀？
教师问：对于生产生活来说，有理数是否够用了呢？数的范围是否需要进一步的发展呢？
设计意图：引起学生思考，让学生回顾有理数的定义、性质、运算以及应用。学习是有用的，是一种需要。刺激学生深层次思考，接下去要学习什么新知识。
2.问题情境
教师点出：通过本章的学习我们会有深刻的体会，下面我们就从最简单的图形——正方形开始研究。
边长12345……
面积
如果已知一个正方形的边长是1，那么它的面积是……
设计意图：连续几个问题就是分化出本质属性：从数的角度看，就是求一个正数的平方等于多少？从形的角度看，就是已知一个正方形的边长求它面积的问题。
教师再次提出：但在实际生活中，我们可能会碰到反过来的问题，比如说，要你制作一个面积为4的正方形，你会怎么做？
要做一个正方形，首先要找到他的边长。很自然的提出问题：
边长
面积1491625……
如果已知面积是1，边长是多少？面积是4呢？……跟刚才的问题比较，我们现在的问题是求什么？
小结：从形的角度看，已知面积求边长；从数的角度看，已知一个正数的平方，求这个正数。
设计意图：引发学生深度思考，如何用已经掌握的知识来解决新的问题。
这种运算我们学过吗？（一种新的运算），这种新的运算与前面的平方运算有何联系？
3.形成概念
如果把这个正数的平方记为a，这个正数设为x，也就是说，已知，求，我们把这个正数就叫做的算术平方根（板书概念）比如说，，则2叫做4的算术平方根……
然后用新符号表示新概念。
为了简便表示正数的算术平方根，我们把它记作：，读作：根号，叫做被开方数。特殊的，当被开方数是0的时候，由于，我们规定，0的算术平方根是0。
设计意图：引进符号后，教师要及时的启发学生把数学符号和它所表示的内容对应，让他们能一看到符号就可以想到符号所表示的概念以及相应内容。数学中的推理，难点是如何能合理的、恰当的应用符号，这就要建立在学生对符号所表示本质内容的把握上。
所以下面安排了例题是非常及时有效的。
4.概念应用
例1.求下列各数的算术平方根：
(1)；(2)；(3)
教师：那么如何来求算术平方根？比如说100的算术平方根是多少？为什么？
回到定义，板书解题过程。
这个过程要求学生说教师写，规范书写格式。
然后小结：要利用平方运算来求算术平方根。
设计意图：通过这个过程，使新学的概念和学生以前学习的内容建立了联系，进而将新概念编入到已有知识体系，从而形成一个新的知识体系。数学的学习一定要有价值，能解决实际问题，最好有大家都关心的事情。下面用本章节引言的例子来体现价值是非常恰当的。
例2.同学们，你们知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度在什么范围内吗？它既要大于第一宇宙速度(单位：)又小于第二宇宙速度(单位)。，,，R是地球半径，。如何求，呢？
速度要大于，小于，也就是说算术平方根是有大小的。
追问：比如的和哪个大？从数的角度看，被开方数越大，它的算术平方根也就越大。从形的角度看，面积为4的正方形明显要比1的正方形大，那么正方形的面积越大，则边长越大。
设计意图：再次利用本节课开始提到的问题，起到了首尾呼应的作用，再次让学生分别从数和形两方面体会算术平方根的概念。
我们再来仔细观察一下表格中的数据，算术平方根是连续的整数，而被开方数……，1和4之间还有整数2和3，是否存在面积是2的正方形？从形的角度看，可能存在，从数的角度看，就是求2的算术平方根，
从数的角度看，究竟有多大？从形的角度看，究竟有多长？有兴趣的同学可以通过正方形的折叠或借助计算机等多角度进行研究。
设计意图：再次激发学生的学习兴趣，引出下节课要学习的内容，无理数也是有大小的，本节课结束。
二、课例评析——如何进行概念教学
1.提出问题
很多教师在进行“算术平方根”教学时，没有从概念形成的过程和本质出发，以前怎么学的现在就怎么教，不给学生深入理解的时间和表达自己见解的机会，而是一开始就直接给出概念，然后让学生花大量的时间进行重复性解题训练。这样的概念课教学是否合理呢？学生看起来会说会写，是否真的理解了“算术平方根”的概念呢？
2.理论背景
认识论原理指出，人们对事物本质的认识不可能一次性完成，需要经历一个由感性到理性的循环往复过程；同时，由于事物不可能孤立地存在，因此必须用联系的观点才能真正认清事物本质。同样的，对于概念教学的规律，我们也应该从过程和联系两个角度进行考察。也就是要把概念放到相应的概念体系中去，考查它的来龙去脉，即不仅要知道学习这一概念需要怎样的基础，还要知道掌握它以后能干什么。
3.概念形成过程
本章要学习算术平方根、平方根、立方根等概念。在学习本章之前，学生们已经学习了有理数的有关知识，其中有平方运算，这是算术平方根概念形成的前提条件。平方与算术平方根是互逆的关系，是概念的本质属性。学习算术平方根，这就可以使用到被开方数都可以表示成有理数的平方。
数学来源于生活，运用于生活。一切的学习都是为了解决实际问题。所以课本从实际问题开始，分析抽象各个事例的共同属性，概括形成概念。课本中的“探究”栏目，让学生将两个面积为1的小正方形剪拼成一个面积为2的大正方形，再求出这个大正方形的边长。这也是一个要用算术平方根的实际问题，接着，用有理数夹逼的方法来估计的大小，通过估计，得到的近似值，再指出是一个无限不循环小数，通过推广可以知道，，等也是这类数，为后面学习无理数的概念做了铺垫。用有理数估计无理数的大小，要让学生细细体会的。“探究”分别从数和形两方面揭示了算术平方根的本质，能帮助学生更好的理解算术平方根这个概念，体会到它的应用价值。
综上所述，在没有真正把握数学概念的本质属性时就进行概念应用只能是一种无效的应用，这时学生的思维活动也会是无序的、低效的。这样会给学生的学习带来负担，而且也会使学生的思维训练受到阻碍。我们要在新概念与已有认知结构中有关概念的联系上花费时间，而不仅仅是让学生大声齐读概念几遍。因为，如果学生没有经历这个概念形成的全过程，他们就无法真正理解这个概念，更谈不上应用。因此，教师在进行概念教学时，一定立足在了解概念丰富的形成过程基础上，以学生已有的知识储备为起点，引导学生经历概念的形成过程得到新概念。只有这样，才能促进学生真正理解概念的本质属性，学会概念形成的方法，为后续的学习积累概念学习的经验，更好地运用于实践中。
参考文献：
[1]曹才翰，章建跃.数学教育心理学(3版)[M].北京：北京师范大学出版社，2014.
[2]曹才翰，章建跃.中学数学教学概论(3版)[M].北京：北京师范大学出版社，2014.