摘 要：高考强化对数形结合思想方法的考查，是考查学生潜能的有效途径。本文从数形结合思想方法在求不等式最值、函数的零点、解析几何、三角函数、新定义问题等方面的应用进行浅析，渗透与强化数形结合的思想方法。
关键词：数形结合；等价转化；方法
一、 内容分析
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合。
数形结合思想解决的问题有以下几种：(1)构建函数模型并结合其函数图像求参数的取值范围、研究方程根的范围、研究量与量之间的大小关系、研究函数的最值问题和证明不等式；(2)构建立体几何模型研究代数问题；(3)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(4)构建方程模型，求根的个数；(5)研究图形的形状、位置关系、性质等。
1.1 一般资料 选取苏州市吴江区第一人民医院自2015年10月至2016年10月收治的经手术病理证实为复杂肾囊肿的30例患者作为研究对象。采用随机数字表分法将其分为常规组与观察组，每组各15例。其中，常规组患者通过常规CT检查；观察组通过双能量后处理软件Liver-VNC对皮髓交界期图像进行处理，测量感兴趣区碘值。常规组男性5例，女性10例；年龄31～63岁，平均年龄(43.3±7.1)岁。观察组男性8例，女性7例；年龄34～73岁，平均年龄(43.3±8.7)岁。两组患者一般资料比较，差异无统计学意义(P>0.05)，具有可比性。本研究经医院伦理委员会批准，患者均签署知情同意书。
数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用的方法与技巧，特别是在解填空题、选择题时发挥着奇特功效。应注意：(1)准确画出函数图像，注意函数的定义域；(2)用图像法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数，首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时要先作适当变形)，然后作出两个函数的图像，由图求解。(3)要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征、要恰当引参，合理用参，建立关系，做好转化、要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏、精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题解决。
海洋公园可作为一个研究实验对照区，具有科学研究价值。其最重要价值在于提供基础数据，通过控制人类开发利用活动的实验手段，与因人类活动而改变的区域进行比较，最终确定管理的有效性并解释最终变化产生的原因。而历史文化价值体现于保护传统利用方式、历史传承遗迹及其它文化属性等。
二、 复习要求
高考强化对数形结合思想方法的考查，是考查学生潜能的有效途径。试题以选择题或填空题的形式居多，涉及的内容包罗万象，题目难度大多在中等以上，同时也兼顾对函数与方程、等价转化思想方法的考查。复习中要对一些典型例题进行剖析，让学生体会图形在解题中的作用，然后辅以跟进练习进行训练，有助于学生更好地运用数形结合的思想方法，更好地运用图形解题。
三、 复习重点与难点
重点是引导学生善于联想、等价转化和准确规范地作出图形。难点是用代数的方法分析图形，深入探究图形的内在关系；通过图形直观，深刻理解代数式中的隐性关系。
四、 例题分析
(一) 运用数形结合思想方法解题时应注意作图的准确性
答案：(0，1)∪(9，+∞)
(2)定义在R上的奇函数f(x)，x>0时，则函数f(x)在R上的零点的个数为。
答案：(1)3，3，1 (2)5
简析：一般的，关于函数零点的个数问题，有三种处理方式：(1)作出函数y=f(x)的图像，考查其与x轴交点的个数；(2)转化为方程h(x)=g(x)的解的个数判断；(3)转化为h(x)=g(x)的形式，在同一坐标系中分别画出y=h(x)与y=g(x)的图像，考查它们交点的个数。本题是道易错题，会因为随意画图像而导致交点个数出错。第(1)题易错成2，1，3；第(2)题有两个地方容易忽略，一是定义在R上的奇函数f(x)，f(0)=0可能会遗漏；二是x>0时，转化为与的交点，其实它们有两个交点，均在y=x上，容易想当然画成一个。提醒学生借助图形解题一定要关注细节，避免图形失真。
3. 运用数形结合方法解题的关键：巧妙地结合、准确地作图。
(二) 数形结合思想方法在不等式求最值问题、求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用
【例2】若x，y满足约束条件则
常州人才公共服务职能有待加强，现有人才公共服务平台服务内容单一，尚未实现覆盖科技人才创新过程的全流程服务功能。常州科技服务业发展不快，存在重视不够、投入不足、管理不严等问题。其中人才中介、人才培训、人才评价等服务机构发展滞后。产权交易、技术成果转移转化等中介服务体系建设不健全，科技中介服务能力急需提升。
的取值范围为；
的取值范围为。
答案：
简析：正确地作出不等式组表示的平面区域，第(1)题，将目标表达式变形为联想到区域内的动点(x，y)与定点(2，-1)连线的斜率；第(2)题将目标表达式变形为的形式，再换元令结合斜率与耐克函数图像求解。
(三) 数形结合思想方法在解决与函数有关的问题、方程根的相关问题中的应用
【例3】若方程lg(-x2+3x-m)=lg(3-x)在x∈(0，3)内有唯一解，求实数m的取值范围。
【例6】且集合A⊆B，其中求实数C1的取值范围。
简析：方程lg(-x2+3x-m)=lg(3-x)在x∈(0，3)内有唯一解等价于混合组有唯一解，等价于有唯一解，作出二次函数y=-x2+4x-3在(0，3)上的图像，考查直线y=m与它的交点情况。
本题在考查数形结合的思想方法的同时，更多地考查了等价转化的数学思想方法。
【例4】(1)已知函数若关于x的方程[f(x)]2+a·f(x)+b=0(a、b∈R)有且只有7个不同实数根的充要条件是。
(2)已知则M的取值范围是；
答案：a<0且b=0
简析：先作出y=f(x)图像，再换元令f(x)=t，方程转化为t2+at+b=0，考查二次方程的根以及y=f(x)与y=t的交点情况。
(2)已知函数f(x)=x|x-a|-2有三个零点，则实数a的取值范围是。
答案：
简析：方法一：作出函数的图像，需要对参数a分类讨论，a>0，a=0，a<0三种情况，考查y=f(x)的图像与x轴的交点；
方法二：转化为x|x-a|-2=0，即研究y=|x-a|与的公共点；
方法三：在方法二的基础上继续等价转化等价于即和解的情况，再作与y=a的图像，考察交点。
【例5】若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时若对任意的x∈R，都有f(x-1)≤f(x)，求实数a的取值范围。
答案：
简析：函数f(x)的图像如下图所示，
若对任意的x∈R，都有f(x-1)≤f(x)等价于将函数f(x)的图像向右平移1个单位后，图像在函数f(x)的图像的下方，即只要1-3a2≥3a2即可。
(四) 数形结合思想方法在解析几何中的应用
答案：(-3，0]∪{1}
京剧虽是国粹，但也不是人人都喜欢，不过受老陈每日熏陶，我对京剧唱腔也略知一二。老陈耳朵沉，他听京戏，总是把音量放到最大，这样几乎整栋楼的人都跟着他一起听。刚搬来时，我被吵得睡不着觉，就下楼找老陈。老陈耳朵沉，你说话，他总是指着自己的耳朵，说他听不见，耳朵有毛病。他一把年纪了，又不能和他吵，我只好悻悻地回去了。
测量刻度为1～5分的李克特量表得分均值在1～2.4代表反对态度，2.5～3.4代表中立态度，3.5～5代表赞同态度[39]。通过表3各题项的得分均值可以看出，除了“昆明饮食很好”1项为3.47以外，其余项得分均值在3.6～4.38，经计算，校园尺度量表的总均值为3.9，城市尺度量表的总均值为3.89，故总体来看，留学生对云南大学和对昆明的感觉比较好，对学校比对城市的感知评价更高。
答案：a≥2
简析：先换元，令|x-2016|=u，|y-2017|=v，则转化为与u+v≤a的关系。
【例7】已知常数x1，x2，y1，y2满足：则的最大值为。
答案：
简析：记知知向量a，b的夹角为∠MON=60°，又的几何意义是点M、N到直线x+y=1的距离之和，结合图像，知的最大值为
课后作业是教学活动中重要的一环，教师要善于挖掘生活中的数学素材，布置生活化的作业，有利于在学生的现实生活中引入数学知识，引导学生把在课堂上所学的知识运用到实际中去，这样能够让学生通过解决现实问题获得一定的成就感，发现数学知识的价值，同时，还能够反过来加深学生对所学知识的理解，巩固教学的成果。
(五) 数形结合思想方法在三角函数问题中的应用
【例8】设试证明：sinα<α<tanα。
阿里成长到现在，也遇到许多批评指责。不少批评是中肯的，但是有的指责则是恶意的。船大了，风就来了嘛，我们“借假修真”，修出自己的真材实料。就拿我的脾气来说，过去一点就爆，现在也好多了。
简析：构造单位圆，利用三角函数线。因为S△POA<S扇形POA<S△OAT，所以即sinα<α<tanα。
【例9】(1)函数的值域是；
答案：3
马克思说：“人所奋斗争取的一切，都同他们的利益有关。”[3]82 在中国深刻的社会变革中，会不可避免地出现各方面利益的矛盾问题。 在经济利益和文化利益面前，有人会因经济利益见效快、收益明显而选择经济利益放弃文化利益。 习近平意识到在文化遗产保护中“我们保管不好，就是罪人，就会愧对后人”，一定要坚持把社会效益放在首位，实现社会效益和经济效益相统一。
(3)若锐角α、β、γ满足cos2α+cos2β+cos2γ=1，则tanαtanβtanγ的最小值为。
答案：
简析：(1)sinx=1时，f(x)=0；sinx≠1时，令联想斜率求解。(2)变形为令或t≤-2)，联想动点(t，t)与动点(cosθ，sinθ)连线斜率的变化范围；(3)构造长方体求解。
(六) 数形结合思想方法在新定义问题中的应用
【例10】在平面直角坐标系中，定义d(A，B)=max{|x1-x2|，|y1-y2|}为两点A(x1，y1)、B(x2，y2)的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任意一点Q，称d(P，Q)的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d(P，l)，给出下列两个命题：
①已知点P(3，1)和直线l：2x-y-1=0，则
②定点F1(-c，0)、F2(c，0)，动点P(x，y)满足|d(P，F1)-d(P，F2)|=2a(2c>2a>0)，则点P的轨迹与直线y=k(k为常数)有且仅有2个公共点。
其中真命题的序号是。
答案：①②
五、 提炼总结
1. 梳理了数形结合思想方法在函数的零点(方程的根)、不等式(与线性规划有关)、参变量的取值范围、解析几何、三角函数、新定义等方面问题中的应用，进一步渗透了数形结合的数学思想。
之后一番交涉，胖子和老道一边套着近乎，一边相互吹捧。两边虚与委蛇，阳奉阴违地一阵讨价还价，最终胖子图吉利愿意用1 8万买走王祥大概三分之二的玉器。之所以没有一次买完，胖子是怕效力太强，买回去引发什么骚动。胖子还约定，如果有成效，他日定再回来买下剩下的玉器，并且给老道和王祥重金答谢。
2. 渗透了函数与方程、等价转化、分类讨论的数学思想方法。
思考题：函数y=f(x)在定义域内单调递增，若y=f(x)与y=f-1(x)图像有公共点，证明公共点一定在y=x上；若函数y=f(x)在定义域内单调递减呢？
有限温存，无限辛酸——道出了诸多人情的真相。犹如月盈则亏，犹如盛极而衰，犹如一切生命的终点无非死亡，万事万物阴暗或者说令人悲哀的一面，亦是人生谜底中令人无法回避、逃避的答案之一。
4. 温馨提示：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合无限好，二者分家万事休”。
六、 跟进练习
1. 若实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个实根，一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，求：(1)点(a，b)对应的区域的面积；的取值范围；(3)(a-1)2+(b-2)2的取值范围。
答案：
2. 已知若y=2f2(x)+2bf(x)+1有8个零点，则实数b的取值范围。
答案：
3. 已知函数f(x)=|x2+3x|，x∈R，若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为。
【例1】(1)函数f(x)=2x-x2零点的个数为；函数g(x)=sinx-lgx零点的个数为；函数零点的个数为；
4. 已知a1、a2、a3与b1、b2、b3是6个不同的实数，若关于x的方程|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|=|x-b1|+|x-b2|+|x-b3|的解集A是有限集，则集合A中最多有个元素。
另外，各高校不同的专业对大学计算机课程的培养目标和专业需求不尽相同，每个专业要求学生掌握计算机的程度不同，这就要求每个专业计算机课程的配置不同，如果所有专业的教学大纲一样，那么，学生会认为学的内容和自己本专业无关，学生会产生厌倦心里，对学习内容不感兴趣，从而影响教学效果。文科专业的学生计算机侧重点应该是计算机的使用能力，而理科专业不仅仅要求学生会熟练的使用计算机，而且还要求学生具有一定程度的计算机软件开发与创新能力。
由于颗粒燃料直径较小，环模压缩比较大，对原料的含水率要求较高， 一般含水率在12%～15%之间、原料粒径在1～5 mm 之间时适合成型[19-21]。
5. 已知函数若|f(x)|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是。
答案：[-2，0]
6. 已知圆C：x2+(y-2)2=1，P(x，y)为圆C上任意一点，则的取值范围是
( )
答案：B
7. 函数的最大值为。
答案：1
8. 求y=(cosθ-cosα+3)2+(sinθ-sinα-2)2的最值。
答案：最大值为最小值是
9. 定义：min{a1，a2，a3，…，an}表示a1，a2，a3，…，an中的最小值，若f(x)=min{x，5-x，x2-2x-1}，对于任意的n∈N*，均有f(1)+f(2)+…+f(2n-1)+f(2n)≤kf(n)成立，则常数k的取值范围是。
我与同伴定在那里，动弹不得。只听见心口噗地一下，也蹿起火苗，随之一阵痉挛，像一个很久没有进食的人面对盛宴，有几乎晕眩的饥饿感，然而又是幸福的。
答案：
10. 对a，b∈R，记则函数f(x)=min{|x-2|，-x2+4}的最大值。
答案：3
作者简介：方长林，上海市，上海市复兴高级中学。