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热力学一致相场模型的建立、分析及算法研究

2020-12-02阅读(668)

热力学一致相场模型的建立、分析及算法研究

论文摘要

自然界中广泛存在着非平衡态现象,如何对这些现象建立满足热力学定律的模型一直是一个重要的问题。除了满足热力学定律外,我们还希望建立的模型要尽可能地满足其它物理定律,比如体积守恒、质量守恒、原子守恒等。近年来,相场成为描述系统从非平衡态向平衡态动力学演化的一个重要方法,我们将满足热力学定律及其他物理定律的相场模型称为热力学一致相场模型。相变量可能代表系统内某组分的体积分数、质量分数、原子密度等物理量,如何在模型的构建中保证这些物理量在整个区域上的守恒性成为了建模的重点。Allen-Cahn模型及Cahn-Hillard模型是建模过程中比较常用的两种模型,Allen-Cahn模型不能保证相变量所描述的物理量在整个区域上积分后守恒（如体积守恒、质量守恒及原子数守恒等）,而Cahn-Hillard方程却可以严格地保证这一守恒性。但是Cahn-Hillard方程中空间算子的阶数要高于Allen-Cahn方程中空间算子的阶数,这导致数值求解Cahn-Hilard方程需要的时间成本要高于求解Allen-Cahn方程。在本文中,通过在经典的Allen-Cahn模型后添加非局部约束以使得修正后的Allen-Cahn模型满足某种守恒性,我们称之为带非局部约束的Allen-Cahn模型。我们设计了两种带非局部约束的Allen-Cahn模型,可以证明这两种带非局部约束的Allen-Cahn模型都是能量耗散的,并且能够保证守恒性。我们对这一模型在近平衡态的动力学进行了线性稳定性分析,并比较了它与Allen-Cahn模型及Cahn-Hillard模型失稳条件的异同。在算法设计部分,通过使用能量二次化方法（EQ）及标量辅助变量（SAV）方法对带非局部约束的Allen-Cahn模型设计了一系列线性的、二阶精度的、能量稳定的时间半离散的数值格式;之后,我们用差分方法进行空间离散以得到一个全离散的数值格式。我们证明了所有的时间半离散及全离散数值格式都满足无条件能量稳定性及解的存在唯一性。通过对这些数值格式的实现,我们对不互溶两相流问题,晶体生长问题以及聚合物溶液的相分离问题进行了数值模拟,并且设计了多个算例对数值格式进行了评估。针对大步长模拟,我们提供了一些提高精度的技巧。本文的另一个重点是探究溶液中化学反应对输运过程的影响。我们从热力学基本定律出发对多组分化学反应系统中的输运过程及化学反应过程进行了刻画,可以证明,在忽略界面效应、处于均匀状态的系统中,系统的Helmholtz自由能是耗散的;而在非均匀的化学反应系统中,在适当的边界条件及假设下,也可以保证相应的自由能是耗散的。应用广义Onsager原理,反应-输运方程可以写作为一个Allen-Cahn形式的方程和一个Cahn-Hillard形式方程的加和。最后我们以多组分的聚合物溶液为例通过数值模拟探究了化学反应对输运过程的影响。

论文目录

  • 摘要
  • Abstract
  • 第一章 绪论
  • 第二章 预备知识
  •   2.1 相场模型及热力学一致相场模型
  •   2.2 平衡态及非平衡态热力学简述
  •     2.2.1 热力学基本定律及基本方程
  •     2.2.2 平衡态热力学与非平衡态热力学简述
  •     2.2.3 平衡态判据
  •   2.3 Onsager倒易关系
  •   2.4 广义Onsager原理简介及其他表述
  •     2.4.1 广义Onsager原理
  •     2.4.2 Onsager-Machlup作用原理
  •     2.4.3 能量变分方法
  •     2.4.4 GENERIC程式
  •   2.5 能量二次化方法
  •   2.6 空间离散
  • 第三章 两相流系统中带非局部约束的Allen-Cahn模型的建立、分析及算法设计
  •   3.1 两相流系统相场模型的建立
  •   3.2 近平衡态线性稳定性分析
  •   3.3 数值格式及其性质
  •     3.3.1 Allen-Cahn模型的数值格式
  •     3.3.2 带惩罚势的Allen-Cahn模型的数值格式
  •     3.3.3 带Lagrange乘子的Allen-Cahn模型的数值格式
  •     3.3.4 Cahn-Hilliard模型的数值格式
  •     3.3.5 半离散意义下能量耗散及解的存在唯一性的证明
  •     3.3.6 全离散格式下的相关性质
  •   3.4 数值实验
  •     3.4.1 收敛阶测试
  •     3.4.2 数值格式的评估
  •   3.5 数值格式的实际应用
  •   3.6 本章小结
  • 第四章 晶体生长系统中带非局部约束的Allen-Cahn模型的建立、分析及算法设计
  •   4.1 相场模型的建立
  •     4.1.1 Allen-Cahn模型及Cahn-Hilliard模型
  •     4.1.2 非局部Allen-Cahn模型
  •   4.2 近平衡态线性稳定性分析
  •   4.3 数值格式及其性质
  •     4.3.1 Allen-Cahn模型的数值格式
  •     4.3.2 Cahn-Hilliard模型的数值格式
  •     4.3.3 带惩罚势的Allen-Cahn模型的数值格式
  •     4.3.4 带Lagrange乘子的Allen-Cahn模型的数值格式
  •     4.3.5 半离散意义下能量耗散及解的存在唯一性的证明
  •     4.3.6 全离散格式下的相关性质
  •   4.4 数值结果和讨论
  •     4.4.1 收敛阶测试
  •     4.4.2 数值格式的评估
  •   4.5 本章小结
  • 第五章 带非局部约束的Allen-Cahn模型在聚合物溶液相分离过程中的应用
  •   5.1 聚合物溶液及相分离简介
  •   5.2 数值格式及模拟
  •   5.3 本章小结
  • 第六章 广义Onsager原理在化学反应系统的应用
  •   6.1 等温等体系统的非平衡态热力学统计力学描述
  •   6.2 均匀系统中化学反应的动力学及热力学描述
  •   6.3 非均匀化学反应系统的动力学及热力学描述
  •   6.4 在三组分聚合物溶液系统中的应用
  •   6.5 本章小结
  • 第七章 总结与展望
  • 致谢
  • 参考文献
  • 附录A Sherman-Morrison公式
  • 附录B 攻读博士学位期间发表的论文

    • 文章来源

    类型: 博士论文

    作者: 景晓波

    导师: 王奇

    关键词: 相场模型,热力学一致模型,广义原理,带非局部约束的方程,能量二次型方法,标量辅助变量方法,反应输运方程

    来源: 中国工程物理研究院

    年度: 2019

    分类: 基础科学

    专业: 数学,数学,物理学

    单位: 中国工程物理研究院

    分类号: O414.1;O241.8

    总页数: 139

    文件大小: 7725K

    下载量: 295

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