非线性波方程行波解在奇异摄动下的持续性问题

论文摘要

行波解是一种广泛存在于各类非线性方程中的相似解,其典型特征是在空间传播中能够保持平移不变,许多物理、化学、生物现象都可以用非线性方程来描述,例如:流体动力学中的浅水波的运动、等离子体中的粒子声波、交通流等。认识和发现这些非线性方程所蕴含的内在机理成为当今非线性研究领域中理论研究与数值分析的重要课题。在当今的非线性科学研究中,动力系统理论和方法由于其理论的深刻性和应用的广泛性已经成为非线性科学中非常活跃的前沿问题之一,因此,将动力系统理论与方法应用于非线性波方程的研究具有非常广阔的前景。近年来,国内外几何奇异摄动理论与应用的研究有了很大的进展,成为众多学者关注的热点问题和研究方向。迄今为止,奇异摄动理论仍是力学、声学、大气、海洋和工程中中解决弱非线性问题的有效理论方法。本文研究的是扰动BBM方程和Zakharov-Rubenchik方程的行波解。对于扰动BBM方程,我们首先对其做行波变换和积分,将其转化为三阶奇异扰动的常微分方程,然后讨论当小参数ε为零时方程的分支和相图以及精确行波解,以及当ε>0时方程行波解的存在性。具体来说:首先,将ε=0时的方程等价为平面动力系统;再利用动力系统和分支理论讨论当积分常数取不同值时,系统的分支和相图,并利用数学软件给出相应的相图;然后我们利用椭圆积分函数的方法求出当ε=0时方程的精确解表达式;最后,我们利用几何奇异摄动理论将扰动BBM方程约化为正则摄动系统,并利用后继函数的方法讨论同宿轨和周期轨的存在性。对于Zakharov-Rubenchik方程,我们先对其做行波变换并积分一次,将方程转化为常微分方程,求出常微分方程等价的平面动力系统:然后讨论参当系数取不同值时方程的平衡点类型并给出相图;最后,我们给出部分精确行波解。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
•   1.1 研究背景
•   1.2 研究现状
•   1.3 非线性波方程的研究方法概述
•   1.4 本文主要工作
• 2 预备知识
•   2.1 动力系统理论
•   2.2 几何奇异摄动理论
•   2.3 后继函数的方法
• 3 Zakharov-Rubenchik方程的行波解
•   3.1 引言
•   3.2 一维Zakharov-Rubenchik方程的行波约化
•   3.3 系统（3.13）的分支
•     3.3.1 当b=0时（3.13）的分支与相图
• 0时（3.13）的分支与相图'>    3.3.2 当b>0时（3.13）的分支与相图
•   3.4 Zakharov-Rubenchik方程的有界解及其精确行波解
•     3.4.1 当b=0时（3.12）的有界解
• 0时（3.12）的有界解'>    3.4.2 当b>0时（3.12）的有界解
•   3.5 小结
• 4 扰动BBM方程的行波解
•   4.1 引言
•   4.2 BBM方程的行波解
•     4.2.1 BBM方程的分支与相图
•     4.2.2 BBM方程的精确行波解
•   4.3 扰动BBM方程的行波解
•     4.3.1 扰动BBM方程的奇异扰动分析
•     4.3.2 系统（4.29）的同宿轨和周期轨分支
•   4.4 小结
• 5 总结与展望
• 参考文献
• 附录
• 致谢

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 原培英

导师: 傅景礼

关键词: 非线性波方程,行波解,动力系统,分支理论,奇异摄动理论

来源: 浙江理工大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 浙江理工大学

基金: 国家自然科学基金(批准号11672270,11872335)

分类号: O175

DOI: 10.27786/d.cnki.gzjlg.2019.000329

总页数: 53

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