不确定动力系统若干定解问题的研究

论文摘要

模糊微分方程是研究带有不确定性或主观信息数学模型的重要工具。通过求解模糊微分方程,可以解决来自物理、控制理论和神经网络等领域的具有不确定因素的实际问题,特别是许多物理现象都与模糊微分方程的周期解或倍周期解密切相关。由于模糊数上减法运算的特殊性,求解模糊微分方程有别于求解在实数域上的常微分方程。求解模糊微分方程的常用方法有:基于Zadeh扩张原理的方法,即通过将含有不确定参数或初值的微分方程的解,运用Zadeh扩张原理而得到模糊微分方程的解;基于H导数和由其推广的Bede广义导数的方法,即通过相应的导数求解模糊数空间中的常微分方程;基于微分包含理论的方法,即通过对模糊微分方程取水平集,转化为求解相应的微分包含问题,再将该微分包含问题的解集构成原模糊微分方程解的水平集。近年来,微分包含方法逐渐成为求解模糊微分方程的重要方法。运用Zadeh扩张原理求解模糊微分方程时,计算相对复杂。基于H导数求解模糊微分方程时,得到的解的支撑集会不断增大,导致模糊微分方程的两点边值问题常常没有解。特别是模糊微分方程的周期问题在H导数意义下没有解。基于Bede广义导数求解模糊微分方程时,得到的解往往成对出现,一个解的支撑集会不断增大,另一个解的支撑集逐渐减少。对于模糊微分方程的周期问题,运用Bede广义导数求解则需要用到转换点,得到的周期解在转换点两侧有不同微分性质的导数。这在实际工程应用中存在一定的局限性。而对于模糊微分方程的两点边值问题,特别是周期问题,运用微分包含方法研究非常有效。基于微分包含不仅可以讨论周期问题解的存在性,还可以讨论其解的稳定性等性质。本文研究了微分包含意义的模糊微分方程(DI型模糊微分方程,称为不确定动力系统)的若干问题:半线性不确定动力系统的周期问题和倍周期问题,以及一般振子不确定动力系统的相关问题。主要内容包含以下四个方面:第一部分研究了一维一阶半线性不确定动力系统的周期问题和倍周期问题。模糊微分方程在H导数意义下的解的支撑集会不断增大,导致周期问题无解。而在Bede广义导数下,成对出现的解也存在局限性。本文针对该问题,利用微分包含方法来研究不确定动力系统的周期问题和倍周期问题。本文基于微分包含方法,利用Green函数并引入大解的概念,研究了一阶半线性不确定动力系统的周期问题和倍周期问题解的相关性质。第二部分研究了一维一阶半线性不确定动力系统的结构稳定性问题。在H导数意义下无法研究周期问题解的存在性,进而无法继续讨论其结构稳定性。本文基于微分包含理论方法,研究了半线性不确定动力系统的结构稳定性。在该半线性不确定动力系统解与大解存在唯一的基础上,运用支撑函数定义的度量、Dini定理和微分包含理论中的收敛定理等,分情形讨论了当系数扰动、强制函数扰动以及系数和强制函数均扰动时,该问题解与大解的结构稳定性。第三部分研究了n维一阶半线性不确定动力系统的周期问题。半线性不确定动力系统周期问题在物理等领域有很多应用。n维模糊数无法用新参数法表示,因此无法利用大解来讨论解集有界性的问题。本文运用微分包含、泛函分析、Sobolev空间理论和集值分析等理论研究解集的有界性等问题,并讨论了半线性不确定动力系统周期解的存在唯一性。在强制函数存在特定扰动时,利用支撑函数、Dini定理和微分包含理论中的收敛定理等讨论了该周期解的结构稳定性问题。第四部分研究了一般振子不确定动力系统两点边值等问题。一般振子不确定动力系统广泛存在于含有不确定性的物理实际问题中,但运用H导数方法求解其两点边值问题常常没有解,本文利用微分包含方法来研究两点边值等问题。对于一般振子不确定动力系统,根据方程中系数的大小关系不同分为三类阻尼系统:欠阻尼不确定动力系统,临界阻尼不确定动力系统和过阻尼不确定动力系统。本文利用微分包含方法、Green函数以及边值限制条件,分别讨论了上述三种阻尼系统解的存在唯一性问题。在该系统强制函数不含阻尼项时,通过引入大解的概念,研究了该问题解的相关性质。总的来说,本文利用微分包含的方法,深入研究了几类不确定动力系统,讨论了几类半线性不确定动力系统的周期问题和倍周期问题,并分情形研究了一般振子不确定动力系统两点边值等问题。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
•   1.1 课题背景与意义
•   1.2 研究现状及分析
•     1.2.1 H导数与Bede广义导数
•     1.2.2 微分包含
•   1.3 本文的研究内容及章节安排
• 第2章 预备知识
•   2.1 模糊数空间
•   2.2 模糊数值函数的微积分
•   2.3 本章小结
• 第3章 连续模糊数空间中一类半线性不确定动力系统解的性质
•   3.1 引言
•   3.2 一阶半线性不确定动力系统
•     3.2.1 半线性问题的Green函数
•     3.2.2 半线性问题大解的存在唯一性
•     3.2.3 半线性问题解的存在唯一性
•   3.3 本章小结
• 第4章 一般模糊数空间中一类半线性不确定动力系统的结构稳定性
•   4.1 引言
•   4.2 解的存在唯一性问题
•   4.3 大解的结构稳定性
•   4.4 解的结构稳定性
•   4.5 本章小结
• 第5章 n维半线性不确定动力系统周期解的结构
•   5.1 引言
•   5.2 周期解的存在唯一性
•   5.3 周期解的结构稳定性
•   5.4 本章小结
• 第6章 一般振子不确定动力系统解的性质
•   6.1 引言
•   6.2 欠阻尼不确定动力系统
•     6.2.1 欠阻尼不确定动力系统的Green函数
•     6.2.2 欠阻尼不确定动力系统解的存在唯一性
•     6.2.3 临界情形
•   6.3 临界阻尼不确定动力系统
•     6.3.1 临界阻尼不确定动力系统的Green函数
•     6.3.2 临界阻尼不确定动力系统解的存在唯一性
•     6.3.3 特例
•   6.4 过阻尼不确定动力系统
•     6.4.1 过阻尼不确定动力系统的Green函数
•     6.4.2 过阻尼不确定动力系统解的存在唯一性
•     6.4.3 特殊情形
•   6.5 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表的论文及其他成果
• 致谢
• 个人简历

文章来源

类型: 博士论文

作者: 戴睿

导师: 陈明浩

关键词: 模糊微分方程,不确定动力系统,微分包含,周期解,结构稳定性

来源: 哈尔滨工业大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 哈尔滨工业大学

基金: 2018年01月-至今DI-型模糊微分方程若干定解问题的研究。国家自然科学基金(编号11771111),2018年01月-至今 几类变指数函数空间及其应用。国家自然科学基金(编号11771107),国家自然科学基金11271099,11471088,留学基金委(CSC)

分类号: O175

DOI: 10.27061/d.cnki.ghgdu.2019.000108

总页数: 110

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