基于插值系数有限元的外推多网格法研究

论文摘要

非线性椭圆偏微分方程在自然科学、技术科学工程科学等领域广泛出现,由于其非线性,Newton法和它的变体是求解非线性问题的经典方法,具有二阶收敛性,但收敛结果严重依赖于初值。因此,好的初值和加速收敛对非线性问题的求解至关重要。本文讨论了基于插值系数有限元的外推瀑布型多重网格法求解半线性椭圆问题。首先,本文用线性插值系数有限元离散半线性椭圆方程。其离散方程组可以写成一个与未知数无关的数值矩阵乘向量函数的形式,该数值矩阵可以一次性算好,与未知数无关。这样,离散方程组的求解工作就只集中在向量函数的节点值上的迭代!从而节省大量时间。论文还给出了线性插值系数有限元在2范数下的收敛性证明。其次,对线性插值系数有限元离散得到的非线性代数方程组,设计了加速求解的算法――Newton外推瀑布型多重网格法（Newton-EXCMG算法）。并讨论了基新算法的收敛性。最后,将新算法Newton-EXCMG应用到求解四类模型问题:常系数半线性椭圆问题、变系数半线性椭圆问题、泊松-波尔兹曼方程和sine-Gordon方程,数值结果表明EXCMG提供的初值与对应网格层上的准确有限元解之间的误差在离散L2范数意义下达到了3阶收敛。由于EXCMG提供了好的迭代初值,离散方程组的求解仅需牛顿迭代一次（即计算一次牛顿切矩阵）,相当于求解一个线性问题,计算量大大减少。数值试验结果证实了算法的高效性。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 1.绪论
•   1.1 物理背景及意义
•   1.2 文章结构
• 2.预备知识
•   2.1 Sobolev空间及其范数
•   2.2 基本引理
•   2.3 插值系数有限元简介
•   2.4 基本记号
• 3.基于插值系数有限元的新外推瀑布型多网格算法
•   3.1 多网格法简介
•   3.2 半线性椭圆问题的新外推瀑布型多重网格法
• 4.收敛性分析
•   4.1 插值系数有限元误差估计
•   4.2 新外推瀑布型多网格法误差估计
• 5.数值试验
•   5.1 算例一
•   5.2 算例二
•   5.3 算例三
•   5.4 算例四
• 总结和未来工作展望
• 参考文献
• 致谢

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 高申维

导师: 胡宏伶

关键词: 插值系数有限元,非线性,外推,瀑布型多重网格法,牛顿迭代

来源: 湖南师范大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 湖南师范大学

分类号: O241.82

总页数: 46

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