几类Schr?dinger-Poisson系统解的存在性

论文摘要

随着非线性科学的发展,非线性偏微分方程将数学理论与实际应用紧密联系起来.另外,非线性偏微分方程在物理学、化学、力学等领域大量涌现,比如Schr?dinger-Poisson系统.该系统在量子力学模型和半导体理论中都有出现,它是用来描述与静电场相互作用的Schr?dinger方程孤波解的模型.Schr?dinger-Poisson系统解的存在性和多重性一直是学者们关注的问题.本文利用Hardy不等式,对数Sobolev不等式,山路定理,集中紧性原理以及对称山路定理等变分方法讨论了 Schr?dinger-Poisson问题在不同假设条件下解的存在情况.本文分为三章.第一章,考虑如下带有Hardy项和对数非线性项的Schr?dinger-Poisson系统其中Ω是R3中的有界光滑区域,0 ≤μ<μ:=1/4,μ是最佳Hardy常数.主要目的是研究当非线性项f满足适当的假设条件下,上述系统非平凡解的存在性.具体的说,非线性项f满足（f1）函数f∈C（R,R）,而且f（0）=0;（f2）limt→0 f（t）/t=0;（f3）存在C>0及p∈（2,6）使得对于任意的t∈R,|f（t）|≤C（|t|+|t|p-1）;（f4）limt→∞F（t）/t4=∞,这里F（t）=∫0t f（s）ds,t ∈ R;（f5）存在σ（0,4）,及C1,C2>0使得对于任意的t∈R,f（t）t-4F（t）≥C1|t|2+σ≥-C2t2.我们将利用Hardy不等式,对数Sobolev不等式以及山路定理来证明上述系统有一个非平凡解.第二章,利用集中紧性原理和对称山路定理考虑如下带有临界指数的Schr?dinger-Poisson 系统解的多重性,其中Ω（?）R3是一个有界光滑区域,q ∈[4,6),入,δ是正参数.第三章,考虑如下带有临界和超临界非线性项的Schr?dinger-Poisson系统其中p ∈（4,6）,q ∈（6,+∞）,b ∈ C（R3,]R+）是一个径向势函数且满足如下条件:（Bi）存在r>0使得lim|x|→0b（x）/|x|r=b0≥0;（B2）b∞O=lim|x|→∞b（x）<∞.根据势函数在零点的性质,我们得到一个紧嵌入结果,再结合山路能量水平的估计,山路定理以及Nehari流形方法,获得了上述系统基态解的存在性.

论文目录

• 中文摘要
• Abstract
• 第一章 一类带有Hardy项的Schr?dinger-Poisson系统非平凡解的存在性
•   §1.1 引言
•   §1.2 准备知识
•   §1.3 定理的证明
• 第二章 带有临界指数的Schr?dinger-Poisson系统解的多重性
•   §2.1 引言
•   §2.2 准备知识
•   §2.3 定理的证明
• 第三章 带有临界和超临界非线性项的Schr?dinger-Poisson系统基态解的存在性
•   §3.1 引言
•   §3.2 准备知识
•   §3.3 山路能量水平的估计
•   §3.4 定理的证明
• 结束语
• 参考文献
• 研究成果
• 致谢
• 个人简况及联系方式

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 谷花

导师: 李宇华

关键词: 系统,不等式,对数不等式,集中紧性原理,对称山路定理,临界和超临界,变分方法

来源: 山西大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 山西大学

分类号: O175.29

DOI: 10.27284/d.cnki.gsxiu.2019.001505

总页数: 50

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