沈阳市市场监管事务服务与行政执法中心（沈阳市检验检测中心）
摘要：本文采用轴对称的三节点三边形单元，利用几何方程、物理方程、平衡方程推导出有限元单元的刚度矩阵，通过对单元质量矩阵及刚度矩阵的组装建立了轴结构的整体模型，应用MATLAB对其求解得出特征值，对比ANSYS软件中的固有频率值，并仿真了前6阶固有振动特性，为进一步优化奠定了理论基础。
关键词：传动轴；模态分析；数学模型
0绪论
地下铲运机安装变矩器的车辆具有适应行驶阻力的变化，自动地、无极地变更其输出轴的扭矩和转矩，能吸收并减少来自发动机和外载荷的冲击、起步比较平稳等特点[1]。而变矩器传动轴固有频率和振型是结构固有的特性，因此本文运用有限元理论分析空心变矩器传动轴的固有振动特性，研究其低阶固有频率和对应的主振型，对结构的动态响应、动载荷的产生于传递以及整个系统振动的形式等都具有重要影响。
1单元模型建立
1.1单元节点描述
根据变矩器传动轴为空心轴对称结构，本文选用3节点三角形轴对称单元，该单元横截面为3节点三角形的360°环形单元，各个节点的位移分别为沿r方向和沿Z方向的和。
1.2单元位移场表达
考虑到简单性、完备性、连续性及待定系数的唯一性原则，由于有3个节点，在方向和沿方向上各有3个节点条件，因此分别选取单元中各个方向的位移模式为：
，（1）
由节点条件，在（，）处，有：
（2）
将（1）带入（2）中，可求得（1）中的待定系数，即：
（3）
（4）
（5）
（6）（7）
（8）
式中：
（9）
（10）
依次替换a1、b1、c1中的下角表可以得到：a2、b2、c2和a3、b3、c3。
将式（3）~（8）代入（1）式中，重写位移函数，并以节点位移形式表示有：
（11）
（12）
（13）
1.3单元应变场及应力场表达
由轴对称问题的几何方程可以推出相应的几何函数矩阵，即：
（14）
其中几何函数矩阵为：
（15）
由弹性力学中轴对阵问题的物理方程可以得到应力场的表达
（16）
其中D为轴对称问题的弹性系数矩阵，即：
1.4单元的刚度矩阵及质量矩阵
由单元的势能计算表达式有：其中单元刚度矩阵为：
（17）
质量矩阵，本文采用集中质量矩阵
（18）
2.结构有限元模型建立
将不同单元共用节点上的刚度和质量叠加组装成结构的刚度和质量矩阵。具体装配方法为[4]：
当两个单元取如图1所示的局部编码时，其单元刚度矩阵完全相同，即：
（19）
图1节点位移编号
建立两单元整体刚度矩阵为：
（20）
具体写出刚度矩阵的各个子块在刚度矩阵中的组装方法为：
（21）
组装后刚度矩阵和质量矩阵为：
（22）
（23）
变矩器传动轴进行模态分析，所以不计外加载荷影响，得到变矩器传动轴模态分析的有限元模型[5][6]：
（24）
3.轴有限元模型模态分析
应用MATLAB对有限元模型进行程序编制得出特征值解与ANSYS求得的前6阶固有频率见下表：
表1.前6阶固有频率值
根据有限元模拟得到的固有频率来计算变矩器传动轴的前几阶临界转速，分别计算4~6阶的临界转速为19351r/min、34183r/min、36834r/min。
变矩器传动轴的4-6阶固有振型如下图所示：
图2.第4阶固有振型
图3.第5阶固有振型
图4.第6阶固有振型
4.结论
本文通过对地下铲运机的变矩器传动轴进行理论和有限元模态计算，得出以下结论：
1）变矩器传动轴的前三阶固有频率为零，出现了刚体位移情况；
2）理论模型求解的特征值与ANSYS分析的结果，两者结果接近，证明ANSYS分析结果的正确性；
3）传动轴的第四阶固有频率对应的临界转速为19351r/min，远远大于地下铲运机变矩器传动轴的工况转速1480r/min，所以工作时不会发生共振。
参考文献
[1]田杨.地下铲运机变矩器传动轴的模糊优化设计[J].煤矿机械，2012.
[2]曾攀.有限元分析及应用[M].北京：清华大学出版社，2004.
[3]钟佩思，孙雪颜，苏超.基于ANSYS的鼓风机轴模态分析与仿真[J].煤矿机械，2007.
作者简介：
闫大鹏，男，1979年，工程师。工作单位：沈阳市市场监管事务服务与行政执法中心（沈阳市检验检测中心）。