n元集合划分格的符号计算

论文摘要

集合划分在组合数学领域中有着广泛应用,Van der waerden,Kasraoui和Zeng等人在集合划分问题上做了很多探索,集合划分现已成为组合数学领域最为活跃的研究方向之一。集合划分不仅自身具有丰富的组合性质,同时在其他领域也发挥着重要作用,比如有限群理论、代数拓扑。通常人们对集合划分的研究采用组合的方法,本文从代数的角度来探讨集合划分问题。具体来讲,在有限域F2上构造一个从集合划分到零维仿射代数的映射,通过对该映射的代数性质研究,比如将零维仿射代数进行直和分解,从而将集合划分的一些组合性质以代数方式呈现,比如集合划分的秩生成函数和特征多项式可以使用符号计算的方法导出首先,介绍一些集合划分与Bell数的基础知识,其中包括Bell数和Stirling数的一些基本推导公式、相关定理、性质等。关于Bell数的研究,通过引入一类特殊多项式集Pn,借助Grobner基计算Bell数,并利用符号计算的方法来研究集合划分。此外,借助Pn的零点,通过计算特征多项式来讨论集合划分的类型。同时,将集合ZeroF2（Pn）视为矩阵环Mn（F2）的子集来探讨集合划分的一些其他代数性质。比如,集合划分和ZeroF2（Pn）的Sn-集同构性。接着,介绍集合划分格的基础知识,包括偏序集、格、秩生成函数以及特征多项式的一些基本理论、相关性质。其次,介绍本论文的主要研究工作。第一,构造从集合划分到零维仿射代数F2（xi,j）n×n]/JPn的一个映射,并研究该映射在集合划分上的行为,比如将集合划分的并运算转化为相应像的积运算。第二,讨论了集合划分格的秩的计算。借助构造的映射的特性,给出F2（xi,j）n×n]/JPn的一种直和分解,将集合划分的秩转化为相应零点的矩阵的秩,从而得到集合划分格的秩生成函数的一种符号计算方法第三,将偏序集集合划分上从最小元到每个集合划分的链区间表示为该集合划分对应的直和,从而得到该链区间的秩生成函数的符号计算方法。进一步,利用Macaulay基得到集合划分格的特征多项式的计算方法。第四,给出了F2（xi,j）n×n]/JPn的另一种直和分解,从而给出了Bell数基本递推公式的一种代数解释。

论文目录

• 摘要
• abstract
• 第一章 绪论
•   1.1 研究工作的背景与意义
•   1.2 集合划分的研究现状
•   1.3 本文的创新点
•   1.4 本文的结构安排
• 第二章 集合划分与Bell数
•   2.1 集合划分与等价关系
•   2.2 Bell数与Stirling数
•   2.3 Bell数的符号计算方法
•     2.3.1 一类特殊的多项式集
•     2.3.2 多项式集零点的类型
•   2.4 本章小结
• 第三章 符号计算方法在集合划分格上的应用
•   3.1 集合划分格的基础知识
•   3.2 零维仿射代数
•   3.3 秩生成函数
•   3.4 特征多项式
•   3.5 商代数的直和分解
•   3.6 本章小结
• 第四章 总结与展望
•   4.1 全文总结
•   4.2 研究展望
• 致谢
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间取得的成果

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 付秋菊

导师: 王也洲

关键词: 集合划分,秩生成函数,符号计算

来源: 电子科技大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 电子科技大学

分类号: O144

总页数: 49

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