导读:本文包含了快速微分算法论文开题报告文献综述、选题提纲参考文献及外文文献翻译，主要关键词:微分,图像,方程,算法,分数,快速,边界。
快速微分算法论文文献综述
周立平[1]（2018）在《几类含非局部边界条件偏微分方程的高精度格式与快速算法》一文中研究指出含非局部边界条件的抛物方程初边值问题及其反问题和Laplace-Beltrami算子特征值问题广泛应用于弹性力学、热传导、图像处理等众多科学与工程领域.目前,虽然这些问题的数值算法、理论及其应用研究已经取得了很大的进展,但仍有许多问题需要进一步研究.本文对四类含非局部边界条件的PDE进行了系统的研究,其主要研究工作和创新点如下.针对一类含两空间变量积分条件的一维抛物方程,首先构造了一种向后Euler差分格式.接着,基于离散傅立叶变换引入了一些新的方法和技巧,在τ ≥ Ch2(C是不依赖网格尺寸的正常数)的一般条件下,证明了该格式在边界节点和内部节点处的误差在最大模意义下达到渐近饱和阶(分别为O(τ |ln h|)和O(τln2h)).进一步,给出了真解函数的两个偏导数的近似公式,并证明了时间方向偏导数ut的近似公式在边界节点和内部节点处分别具有O(τ|ln h|(1 +τ/h和O(τln2 h(1 + τ/h))的超逼近性,关于空间方向偏导数ux的近似公式在与边界节点保持一定距离的内节点处具有O(τln2h)的超逼近性.最后通过数值实验验证了理论分析结果的正确性.针对一类含非局部边界条件的二维抛物方程,首先构造了一种向后Euler差分格式.接着,基于抛物方程初边值问题的分离变量法所对应的本征函数构造了一种新的变换并结合离散傅立叶变换将叁维误差分析问题巧妙地转化为一维问题;在此基础上,证明了该格式在内部节点处的误差在最大模意义下达到O((τ + h2)|ln h|)的渐近饱和阶.进一步,给出了真解函数在空间方向的两个偏导数ux和uy的近似公式,并证明了这两个近似公式在内部节点处分别具有O((τ + h2)|lnh|)和O((τ + h2)ln2h)的超逼近性.最后通过数值实验验证了理论分析结果的正确性.针对边界条件含依赖时间变量未知函数的抛物方程反问题,首先构造了一种向后Euler格式,并证明了该格式在边界节点和内部节点处的误差在最大模意义下分别达到O(τ |ln|)和O(τIn2h)的渐近饱和阶.接着,给出了真解函数在空间方向偏导数ux的近似公式,并证明了该近似公式在与边界节点保持一定距离的内节点处具有O(τln2 h)的超逼近性.进一步,还给出并证明了未知函数φ(t)的近似公式在所有时间节点处都具有O(τln2h)的超逼近性.最后通过数值实验验证了理论分析结果的正确性.针对源于图像分割背景的一类含周期边界条件的二维Laplace-Beltrami算子特征值问题的线性有限元格式,首先在单层网格下研究了目标物体与边界的间距对利用最小特征值对应的特征函数进行图像分割的影响.接着,基于自适应biscetion粗化策略,设计了求解特征值问题离散系统的两网格快速算法.最后,通过数值实验验证了新算法的高效性和稳健性.(本文来源于《湘潭大学》期刊2018-05-30）
赵猛[2]（2018）在《时空分数阶偏微分方程的快速算法及其应用》一文中研究指出分数阶微积分理论在近些年来已成为一个迅速发展的研究领域,主要被用于描述力学;工程中的复杂现象,特别是复杂系统中反常扩散的描述。传统扩散模型描述了粒子运动遵从一个正态分布的随机游走过程,而具有反常扩散属性的分数阶方程可以刻画粒子的概率密度函数并遵循非对称、重尾、尖峰等非常规分布。反常扩散现象已经在实际生活中通过大量的真实数据被普遍地捕捉观测到,这些现象可能来源于地下水中的污染物;股票价格;声波;穿过细胞边界的蛋白质;或者入侵新生态系统的生物。反常扩散现象通常可分为次扩散现象和超扩散现象。当分数阶导数作用在空间扩散项时,描述的是运动粒子在空间上会有一个长程幂律跳跃特性,对应模拟的是超扩散现象。当分数阶导数作用在时间导数项时,描述的是运动粒子发生跳跃时需要一个较长等待时间,对应模拟的是次扩散现象。因此,分数阶模型可以更有效更准确地模拟一些复杂的传输扩散机制。但是由于分数阶算子具有的历史依赖性与非局部性质,也增加了分数阶模型求解和模拟的复杂性。由于大部分分数阶偏微分方程找不到精确解的表达式,并且很多时候分数阶偏微分方程的精确解是用级数形式的特殊函数来表示的,因此,对分数阶偏微分方程数值方法的研究变得十分重要和必要。关于分数阶偏微分方程数值方法方面的研究已有大量成果涌现,其中比较多见的是有限差分方法[55-71];有限元方法[72-96];谱方法[97-113];无网格方法[114-116];有限体积方法[117-119];DG方法[120,121]。由于分数阶算子的非局部性质,导致了求解分数阶方程的计算耗时要比求解常规的整数阶方程大得多。具体表现为,对于求解空间分数阶方程,利用上述数值方法通常得到的刚度矩阵为稠密矩阵或是满阵。如果利用传统的直接求解方法进行求解,那么在每一个时间步上需要O(N3)的计算量以及O(N2)的存储量,N为网格节点数。对于求解时间分数阶方程,由于时间分数阶算子的历史记忆性,计算当前时间层的数值解必须要用到之前所有时间层的数值解信息。那么对于时空分数阶问题,综合时间与空间分数阶双重效应,采用传统方式进行求解,它的计算量会高达O(MN3 +M2N),存储量为O(N2+ MN),M为时间剖分步数。如此大的计算量及存储量要求对于高维问题是难以承受的。本文的主要内容如下:第一章,简单介绍分数阶微积分理论的发展历史以及正文需要用到的一些基本概念、基本算法、特殊矩阵;分析了分数阶方程数值方法的发展现状。第二章,内容主要来源于Meng Zhao,Hong Wang and Aijie Cheng,A Fast Finite Difference Method for Three-Dimensional Time-Dependent Space-Fractional Diffusion Equations with Fractional Derivative Boundary Conditions,Journal of Scientific Computing,2018,74(2):1009-1033.本章主要讨论叁维分数阶导数边界条件变系数空间分数阶扩散方程的一类无条件稳定的有限差分方法,并给出了格式的稳定性与收敛性证明。对于齐次Dirichlet边界问题,Wang等[122-126]给出了一维及多维空间分数阶扩散方程的有限差分快速算法,并发现Dirichlet边界问题的刚度矩阵具有Toeplitz或块Toeplitz循环块结构。当利用Krylov subspace迭代法求解时,这种快速方法最终将计算量和存储量减少为线性增长。但边界条件变为分数阶导数边界条件后,由于分数阶算子的非局部性质,使得叁维物理区域的内部节点与二维的边界节点强耦合在一起,破坏了 Dirichlet边界条件问题所产生的块Toeplitz刚度矩阵结构,从而使得现有问题刚度矩阵的结构变得非常复杂。假设我们取x、y和z方向具有相同的剖分节点数,那么边界节点的数目是O(N2/3),对于这些节点所形成的矩阵部分与相应的向量相乘,它的计算量也会达到O(NN2/3)= O(N5/3)!这甚至会超过已有快速算法对内部节点的计算量。通过对系数矩阵认真分析,精细地分解系数矩阵的内部结构,我们发展了相应的快速方法,该快速算法可将计算复杂度减少为O(N log N),存储量降低为O(N)。最后给出了常扩散系数光滑解;变系数光滑解;常系数非光滑解的数值算例,数值算例验证了方法的可行性与有效性。第叁章,主要研究叁维变系数时空分数阶扩散方程的一类有限差分方法,给出了格式的稳定性与收敛性证明。对于时间分数阶导数项,我们采用了传统的L1离散格式,对于空间分数阶导数项,我们采用平移的Grunwald差分格式进行离散,如果采用传统的Time-marching方式进行求解,计算量高达O(MN3+M2N,存储量为O(N2 + MN)。通过构造时空耦合系统,对耦合系统系数进行分析,我们发展了时空全局快速算法以及Divide-and-conquer(DAC)算法两种无压缩损耗的快速算法;又利用Jiang等[134]发展的一种利用指数求和方式近似Caputo时间分数阶导数中的卷积核t-1-μ快速算法思想,结合我们发展的相关空间分数阶快速算法,最终可将时空分数阶问题的计算量优化为O(MN log N+MN log M),而存储量降低为O(N log M)。最后通过数值算例验证了各算法的可行性与有效性。第四章,内容主要来源于Meng Zhao,Aijie Cheng and Hong Wang,A preconditioned fast Hermite fi-nite element method for space-fractional diffusion equations,Discrete and Con-tinuous Dynamical Systems-Series B,2017,22(9):3529-3545.本章主要讨论了一类稳态分数阶扩散方程的预处理快速Hermite元方法。通过对矩阵的分析,我们证明了刚度矩阵是块Toeplitz矩阵结构。但是由于刚度矩阵具有很强的病态性,随着自由度的增加,刚度矩阵的条件数会变得非常巨大,甚至会导致相应的迭代求解方法出现不收敛的现象。因此我们发展了相应的块循环预处理算子对上述的快速方法进行优化。最后通过数值算例验证了方法的可行性与有效性。第五章,内容主要来源于Meng Zhao,Shuai He,Hong Wang and Guan Qin,An integrated frac-tional partial differential equation and molecular dynamics model of anomalously diffusive transport in heterogeneous nano-pore structures,Journal of Compu-tational Physics,https://doi.org/10.1016/j.jcp.2018.01.002.页岩气的储层结构具有强烈的非均质性,在纳米基质中的页岩气主要由孔道中的游离气和有机质岩石中的吸附气共同组成,吸附气与游离气的分子扩散规律差异较大。根据分子动力学(MD)模拟结果显示,体系均方差位移(MSD)服从次线性增长,此传输过程整体是一个次扩散过程并可以被连续时间的随机游走模型描述,也就等价于时间分数阶偏微分方程。分子动力学(MD)模拟提供一种较为精确的研究页岩气纳米孔气体流动模拟方法,通过MD模拟可以有效地估算孔道与有机质岩石两种不同物性的扩散系数,但是对于复杂的非均质结构孔隙以及受限于对计算资源和计算时间的高要求,应用具有局限性。本章通过分数阶方程与MD模拟相结合的建模方式,可以更加快速有效地对非均质纳米孔结构页岩气的传输行为进行研究。这种新的建模方式不仅可以有效地弥补MD模拟在较大区域中计算成本昂贵的缺陷,而且能有效地回归出尺度提升后的系统传输的有效扩散系数,对页岩气经济开发具有重要的意义。(本文来源于《山东大学》期刊2018-03-06）
樊吕彬,刘亚红,张玮[3]（2018）在《基于微分控制策略的快速粒子群优化算法》一文中研究指出标准粒子群优化算法的速度更新机制为比例-积分(PI)控制策略,而由于其中固有积分项的存在,系统容易产生振荡,导致搜索速度慢。为此,根据比例-积分-微分(PID)控制特性,提出一种快速粒子群优化算法。在标准粒子群及其改进算法中加入微分控制来克服振荡,提高收敛速度,增加搜索过程的稳定性。仿真结果表明,与标准粒子群算法和全信息粒子群算法相比,该算法在保证寻优精度和可靠性的同时,大幅提高了寻优速度,具有较高的运算效率。(本文来源于《计算机工程》期刊2018年02期）
闫红杰[4]（2017）在《一类分数阶偏微分方程的紧致差分格式及快速算法》一文中研究指出本文主要研究内容是:紧致差分方法在拟线性分数阶可移动/不可移动的传输模型的应用[35]以及对于新定义分数阶导数的快速算法的研究,其模型如下:其中,非线性项f(u)满足下列条件[1]:A1:|f(u)| ≤ C|u|,A2:f(u)关于u连续且它的一阶偏导数有界,也就是说,存在一个正数C使得|f'(u)|≤C成立。上述模型中的分数阶导数采用由Caputo和Fabrizia提出的新定义[19]。定义0.1 如果u(·,t)∈H1(a,b),b>a,α ∈(0,1),则新的Caputo分数阶导数定义为:其中M(α)是一个标准化函数,且M(0)= M(1)=0.对于上述定义进行分析发现,新定义是利用exp[-αt-s/1-a]去替代原先Caputo定义分数阶导数中的核函数(t-s)-α,这样可以有效地消除原先定义中的奇性。这种没有奇性的分数阶导数新定义在描述材料的异构性问题、波的多尺度问题上,与先前分数阶定义相比有着自己的优势。我们的目标是给出一种求解拟线性分数阶传输模型的二阶紧致差分格式以及快速算法。为了得到更高的数值精度,在时间分数阶模型离散的同时,我们在空间采用了紧致差分方法,并且对于该方法计算的稳定性和误差估计进行了相应的分析,使之在计算精度上得以大大提高,达到了 O(τ2 + h4)。其次,我们在计算的过程中发现对分数阶导数新定义有一种有效的快速算法,该快速算法不仅能够节约时间成本还能减少储存空间。本文主要是针对上述分数阶新定义下模型的算法研究和分析。全文共分为四章:第一章:简单介绍一下研究背景及主要研究模型,介绍国内外相关文献和研究意义。第二章:给出分数阶的新定义以及紧致差分算子,推导出模型的数值格式,并导出新定义分数阶导数的快速算法。第叁章:证明了紧致差分格式的稳定性和收敛性,证明了算法的误差达到了 O(τ2+h4)。第四章:给出数值实验,通过数值结果验证结论。(本文来源于《山东大学》期刊2017-05-04）
解坤[5]（2017）在《基于提升隐式积分器的微分代数系统最优控制快速求解算法》一文中研究指出随着现代社会生产及科学技术的快速发展,人们研究的系统对象的规模在逐渐增大、结构也愈加复杂。许多动态系统的状态运动受到限制,采用常微分方程对它们进行建模并不是最为方便的。本论文采用微分代数方程代替常微分方程对受限动态系统进行建模。在此基础上,讨论指标-1微分代数方程初值问题的快速求解,以及这类系统最优控制问题的高效序列式求解算法。首先,基于时间尺度变换技术,将控制变量描述为幅值和切换时间可变的分段连续函数。与等间隔分段的控制参数化相比,增加的这一切换时刻自由度扩大了问题解的可行域。其次,对于控制参数化得到的非线性规划问题,文中提出了一种基于隐式龙格库塔积分的函数评价算法,利用隐函数理论和算法微分技术进行高效的敏感性计算。在此基础上,通过引入一种预测校正策略,使得改进的函数评价算法的牛顿迭代次数大大减少。最后,本文将该算法与非线性规划问题求解软件Ipopt结合,设计实现了最优控制问题的求解器,并以Delta机器人点对点最优控制问题为例对求解器的高效性进行了验证。数值仿真和理论分析表明该算法可以有效提高求解速度。(本文来源于《合肥工业大学》期刊2017-03-01）
周晨[6]（2016）在《基于变分偏微分方程的图像着色及其快速算法》一文中研究指出图像着色(image colorization),又被称为灰度图像彩色化,是将色彩添加到静态图像或视频序列的计算机辅助过程。目前在影视、医疗、太空探索及工业、科学研究等领域有着广泛的应用,同时图像着色方法的研究一直是图像处理和应用数学领域一个活跃、有挑战性的研究课题。本文关注的是基于变分偏微分方程的图像着色方法。主要研究内容及创新点如下:(1)在已有图像着色模型基础上,结合YCbCr色彩空间和目标灰度图像的梯度信息,给出一基于耦合全变差的图像着色模型。(2)结合交替方向乘子法(ADMM),给出耦合全变差的图像着色模型的快速数值求解算法,并证明该算法的收敛性。最后,数值实验结果表明,该模型在快速着色的同时,能有效的防止颜色越界。(3)通过引入曲率约束来控制着色过程,提出一基于曲率驱动的耦合全变差着色模型,并给出相应能量泛函极小解的存在性以及该模型的快速数值求解算法。数值实验结果表明该模型的着色效果较好。(本文来源于《南京邮电大学》期刊2016-11-18）
赵键,鲁敏,张军[7]（2015）在《基于恒定动量矢量的快速大形变微分同胚非刚体标记点集匹配算法》一文中研究指出目前经典的基于微分同胚非刚体变换的标记点匹配算法虽然克服了以往非微分同胚变换方法不能处理大形变非刚体变换的问题,但是普遍存在时空复杂度较高,算法收敛速度较慢以及匹配精确性和变换光滑性不能兼顾等问题.针对这些问题,本文提出了一种新的基于恒定动量矢量的快速大形变微分同胚非刚体标记点集匹配算法,该方法利用拉格朗日坐标系下的恒定动量矢量以及时间依赖的多尺度再生核来构造速度矢量场,然后采用基于规则化控制参数的确定性退火机制来搜索最优动量矢量,从而得到最终的微分同胚变换形变场.最后实验验证了本文所提新算法能使匹配的精确性和变换的光滑性达到较好的平衡兼顾,而且也较大程度地降低了算法的时间复杂度以及空间复杂度.(本文来源于《电子学报》期刊2015年09期）
闫德勤,刘彩凤,刘胜蓝,刘德山[8]（2015）在《大形变微分同胚图像配准快速算法》一文中研究指出本文提出一种研究大形变图像配准算法.大形变使得图像信息和拓扑结构有较大的改变,目前该方面的研究仍然是一个难点.基于严密数学理论的微分同胚Demons算法是图像配准的着名算法,为解决大形变配准问题提供了重要基础.基于对微分同胚Demons算法的研究结合流形学习的思想提出一种大形变图像配准的新算法(MRL算法).新算法通过挖掘图像的局部和全局流形信息改进微分同胚Demons速度场的更新,更好地保持图像的拓扑结构.对比实验结果表明,本文所提出的算法能够快速高精度地实现大形变图像的配准.(本文来源于《自动化学报》期刊2015年08期）
刘芳芳[9]（2015）在《基于偏微分方程的图像修复及其快速算法》一文中研究指出数字图像处理技术在现实生活中具有广泛的应用,图像修复是其重要的研究内容之一。随着相关方法、技术的发展和引入,图像修复方法的研究也取得了很大进步。图像修复是指对受到某种程度缺失或者损坏的图像,根据受损地方周围的有效信息,通过一定的修复规则自动进行修复的过程,直到最后呈现的视觉效果接近或达到原始图。当前图像修复方法主要分为两类:一类是结构图像修复方法,另外一类是纹理合成的方法。传统的图像修复算法一般在修复效果和耗时上不能兼顾,本文基于全变差(TV)图像修复模型研究基础上,引入交替方向乘子法(ADMM),给出两类图像修复模型的快速数值求解算法。本文主要内容和创新点如下:(1)介绍叁个最经典的基于偏微分方程的图像修复模型,找出每个修复模型优缺点产生的数学机理及其相应解决办法。(2)将TV修复模型和ADMM快速算法结合起来,给出TV修复模型改进的快速数值求解方法。(3)针对TV修复模型在保纹理细节方面的不足,本文提出?-TV修复模型,并结合ADMM算法,给出该修复模型的快速数值求解算法(这里称之为?-ADMM算法)。最后,通过仿真实验来验证本论文改进的效果,实验结果表明本论文的研究取得了较好的效果。(本文来源于《南京邮电大学》期刊2015-03-01）
杨燕[10]（2015）在《基于变分偏微分方程的图像去噪及其快速算法》一文中研究指出图像中的噪声不仅严重恶化了图像的质量,损害了图像中一些重要的细节特征,甚至使图像变得十分模糊,这些问题都为后续图像处理工作带来很大的挑战。然而,传统的图像去噪方法已经不能满足人们获取高质量、高清晰图像的要求。在图像去噪中,偏微分方程的方法经过二十多年的不断发展,现已成为现代应用数学研究热点之一。本文关注的是基于变分法和偏微分方程方法的图像去噪及其快速数值求解方法。主要研究内容及创新点如下:(1)介绍几种常见的基于变分偏微分方程的去噪方法(如:PM模型、TV模型、自适应TV模型以及四阶YK模型),并简要分析上述模型的优缺点。另外,还介绍一些快速算法(如:对偶算法、Split Bregman算法和ADMM算法)。(2)利用直接变分法,得到泊松去噪模型(Le模型)解的一重要框式约束。然后,结合ADMM算法给出Le模型带框式约束的快速数值求解方法(这里称之为CADMM算法),并分析所提算法的收敛性。最后,数值仿真实验验证该算法的有效性与可行性。(3)结合自适应TV去噪模型,提出自适应的图像泊松去噪模型(?-Le模型)。然后,利用ADMM算法,给出?-Le模型的一快速算法。最后,数值仿真实验验证该算法的有效性与可行性。(本文来源于《南京邮电大学》期刊2015-03-01）
快速微分算法论文开题报告
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
分数阶微积分理论在近些年来已成为一个迅速发展的研究领域,主要被用于描述力学;工程中的复杂现象,特别是复杂系统中反常扩散的描述。传统扩散模型描述了粒子运动遵从一个正态分布的随机游走过程,而具有反常扩散属性的分数阶方程可以刻画粒子的概率密度函数并遵循非对称、重尾、尖峰等非常规分布。反常扩散现象已经在实际生活中通过大量的真实数据被普遍地捕捉观测到,这些现象可能来源于地下水中的污染物;股票价格;声波;穿过细胞边界的蛋白质;或者入侵新生态系统的生物。反常扩散现象通常可分为次扩散现象和超扩散现象。当分数阶导数作用在空间扩散项时,描述的是运动粒子在空间上会有一个长程幂律跳跃特性,对应模拟的是超扩散现象。当分数阶导数作用在时间导数项时,描述的是运动粒子发生跳跃时需要一个较长等待时间,对应模拟的是次扩散现象。因此,分数阶模型可以更有效更准确地模拟一些复杂的传输扩散机制。但是由于分数阶算子具有的历史依赖性与非局部性质,也增加了分数阶模型求解和模拟的复杂性。由于大部分分数阶偏微分方程找不到精确解的表达式,并且很多时候分数阶偏微分方程的精确解是用级数形式的特殊函数来表示的,因此,对分数阶偏微分方程数值方法的研究变得十分重要和必要。关于分数阶偏微分方程数值方法方面的研究已有大量成果涌现,其中比较多见的是有限差分方法[55-71];有限元方法[72-96];谱方法[97-113];无网格方法[114-116];有限体积方法[117-119];DG方法[120,121]。由于分数阶算子的非局部性质,导致了求解分数阶方程的计算耗时要比求解常规的整数阶方程大得多。具体表现为,对于求解空间分数阶方程,利用上述数值方法通常得到的刚度矩阵为稠密矩阵或是满阵。如果利用传统的直接求解方法进行求解,那么在每一个时间步上需要O(N3)的计算量以及O(N2)的存储量,N为网格节点数。对于求解时间分数阶方程,由于时间分数阶算子的历史记忆性,计算当前时间层的数值解必须要用到之前所有时间层的数值解信息。那么对于时空分数阶问题,综合时间与空间分数阶双重效应,采用传统方式进行求解,它的计算量会高达O(MN3 +M2N),存储量为O(N2+ MN),M为时间剖分步数。如此大的计算量及存储量要求对于高维问题是难以承受的。本文的主要内容如下:第一章,简单介绍分数阶微积分理论的发展历史以及正文需要用到的一些基本概念、基本算法、特殊矩阵;分析了分数阶方程数值方法的发展现状。第二章,内容主要来源于Meng Zhao,Hong Wang and Aijie Cheng,A Fast Finite Difference Method for Three-Dimensional Time-Dependent Space-Fractional Diffusion Equations with Fractional Derivative Boundary Conditions,Journal of Scientific Computing,2018,74(2):1009-1033.本章主要讨论叁维分数阶导数边界条件变系数空间分数阶扩散方程的一类无条件稳定的有限差分方法,并给出了格式的稳定性与收敛性证明。对于齐次Dirichlet边界问题,Wang等[122-126]给出了一维及多维空间分数阶扩散方程的有限差分快速算法,并发现Dirichlet边界问题的刚度矩阵具有Toeplitz或块Toeplitz循环块结构。当利用Krylov subspace迭代法求解时,这种快速方法最终将计算量和存储量减少为线性增长。但边界条件变为分数阶导数边界条件后,由于分数阶算子的非局部性质,使得叁维物理区域的内部节点与二维的边界节点强耦合在一起,破坏了 Dirichlet边界条件问题所产生的块Toeplitz刚度矩阵结构,从而使得现有问题刚度矩阵的结构变得非常复杂。假设我们取x、y和z方向具有相同的剖分节点数,那么边界节点的数目是O(N2/3),对于这些节点所形成的矩阵部分与相应的向量相乘,它的计算量也会达到O(NN2/3)= O(N5/3)!这甚至会超过已有快速算法对内部节点的计算量。通过对系数矩阵认真分析,精细地分解系数矩阵的内部结构,我们发展了相应的快速方法,该快速算法可将计算复杂度减少为O(N log N),存储量降低为O(N)。最后给出了常扩散系数光滑解;变系数光滑解;常系数非光滑解的数值算例,数值算例验证了方法的可行性与有效性。第叁章,主要研究叁维变系数时空分数阶扩散方程的一类有限差分方法,给出了格式的稳定性与收敛性证明。对于时间分数阶导数项,我们采用了传统的L1离散格式,对于空间分数阶导数项,我们采用平移的Grunwald差分格式进行离散,如果采用传统的Time-marching方式进行求解,计算量高达O(MN3+M2N,存储量为O(N2 + MN)。通过构造时空耦合系统,对耦合系统系数进行分析,我们发展了时空全局快速算法以及Divide-and-conquer(DAC)算法两种无压缩损耗的快速算法;又利用Jiang等[134]发展的一种利用指数求和方式近似Caputo时间分数阶导数中的卷积核t-1-μ快速算法思想,结合我们发展的相关空间分数阶快速算法,最终可将时空分数阶问题的计算量优化为O(MN log N+MN log M),而存储量降低为O(N log M)。最后通过数值算例验证了各算法的可行性与有效性。第四章,内容主要来源于Meng Zhao,Aijie Cheng and Hong Wang,A preconditioned fast Hermite fi-nite element method for space-fractional diffusion equations,Discrete and Con-tinuous Dynamical Systems-Series B,2017,22(9):3529-3545.本章主要讨论了一类稳态分数阶扩散方程的预处理快速Hermite元方法。通过对矩阵的分析,我们证明了刚度矩阵是块Toeplitz矩阵结构。但是由于刚度矩阵具有很强的病态性,随着自由度的增加,刚度矩阵的条件数会变得非常巨大,甚至会导致相应的迭代求解方法出现不收敛的现象。因此我们发展了相应的块循环预处理算子对上述的快速方法进行优化。最后通过数值算例验证了方法的可行性与有效性。第五章,内容主要来源于Meng Zhao,Shuai He,Hong Wang and Guan Qin,An integrated frac-tional partial differential equation and molecular dynamics model of anomalously diffusive transport in heterogeneous nano-pore structures,Journal of Compu-tational Physics,https://doi.org/10.1016/j.jcp.2018.01.002.页岩气的储层结构具有强烈的非均质性,在纳米基质中的页岩气主要由孔道中的游离气和有机质岩石中的吸附气共同组成,吸附气与游离气的分子扩散规律差异较大。根据分子动力学(MD)模拟结果显示,体系均方差位移(MSD)服从次线性增长,此传输过程整体是一个次扩散过程并可以被连续时间的随机游走模型描述,也就等价于时间分数阶偏微分方程。分子动力学(MD)模拟提供一种较为精确的研究页岩气纳米孔气体流动模拟方法,通过MD模拟可以有效地估算孔道与有机质岩石两种不同物性的扩散系数,但是对于复杂的非均质结构孔隙以及受限于对计算资源和计算时间的高要求,应用具有局限性。本章通过分数阶方程与MD模拟相结合的建模方式,可以更加快速有效地对非均质纳米孔结构页岩气的传输行为进行研究。这种新的建模方式不仅可以有效地弥补MD模拟在较大区域中计算成本昂贵的缺陷,而且能有效地回归出尺度提升后的系统传输的有效扩散系数,对页岩气经济开发具有重要的意义。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
快速微分算法论文参考文献
[1].周立平.几类含非局部边界条件偏微分方程的高精度格式与快速算法[D].湘潭大学.2018
[2].赵猛.时空分数阶偏微分方程的快速算法及其应用[D].山东大学.2018
[3].樊吕彬,刘亚红,张玮.基于微分控制策略的快速粒子群优化算法[J].计算机工程.2018
[4].闫红杰.一类分数阶偏微分方程的紧致差分格式及快速算法[D].山东大学.2017
[5].解坤.基于提升隐式积分器的微分代数系统最优控制快速求解算法[D].合肥工业大学.2017
[6].周晨.基于变分偏微分方程的图像着色及其快速算法[D].南京邮电大学.2016
[7].赵键,鲁敏,张军.基于恒定动量矢量的快速大形变微分同胚非刚体标记点集匹配算法[J].电子学报.2015
[8].闫德勤,刘彩凤,刘胜蓝,刘德山.大形变微分同胚图像配准快速算法[J].自动化学报.2015
[9].刘芳芳.基于偏微分方程的图像修复及其快速算法[D].南京邮电大学.2015
[10].杨燕.基于变分偏微分方程的图像去噪及其快速算法[D].南京邮电大学.2015
论文知识图
