若干非线性偏微分方程的精确解和微分不变量

论文摘要

非线性偏微分方程是现代数学的一个重要分支,无论在理论还是实际应用中都是一个十分重要的概念.本课题主要研究非线性偏微分方程三个方面的知识:首先研究的是精确解,主要利用Riccati方程的Backlund变换和非线性叠加原理得到方程的无穷序列精确解;其次研究的是守恒定律,通过证明方程是非线性自伴随的,构造了一般的守恒定律公式;最后运用等价无穷小和等价活动标架法来研究微分不变量.本文主要包括以下五个内容:第一章首先论述了非线性偏微分方程的发展以及求解精确解的几种方法.其次论述了李群的发展.然后论述了微分不变量的发展以及在其他领域中的应用.最后简要说明了此课题的主要工作.第二章主要运用变量变换的方法和首次积分法将一类非线性偏微分方程约化成Ric-cati方程,利用Riccati方程的Backlund变换和非线性叠加原理得到该方程的无穷序列孤立波解和周期解.第三章以广义的变系数Hirota-Sastsuma方程组为例,运用经典李对称分析法得到了方程的对称,并证明此方程组是非线性自伴随的,从而构造了一般的守恒定律公式.第四章主要介绍了两种求解非线性偏微分方程微分不变量的方法:一是利用等价无穷小的方法,通过方程的等价代数可以得到微分不变量和相应的不变方程;二是利用Olver提出的等价活动标架法,构造合适的活动标架得到微分不变量以及相应的代数.第五章主要总结了全文,并对非线性偏微分方程的精确解、守恒定律以及微分不变量等相关内容以后可能研究的方向进行了展望.

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
•   1.1 引言
•   1.2 主要工作
• 第二章 非线性偏微分方程的无穷序列精确解
•   2.1 预备知识
•   2.2 Riccati方程的Backlund变换和无穷序列精确解
•   2.3 （2+1）维Gross-Pitaevskii方程的精确解
• 第三章 非线性偏微分方程的李对称和守恒定律
•   3.1 预备知识
•   3.2 Hirota-Satsuma方程组的李对称和非线性自伴随
•   3.3 Hirota-Satsuma方程组的守恒定律
• 第四章 非线性偏微分方程的微分不变量
•   4.1 预备知识
•   4.2 基于等价无穷小方法的微分不变量
•   4.3 基于等价活动标架法的微分不变量
• 第五章 总结和展望
• 参考文献
• 致谢
• 读研期间科研情况

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 程爱芳

导师: 陆斌

关键词: 非线性偏微分方程,精确解,李对称,守恒定律,等价活动标架,微分不变量

来源: 安徽大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 安徽大学

分类号: O175.29

总页数: 55

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