摘 要：2019年全国三卷23题，此题“外貌平平”的背后，确是数学核心素养的“熠熠生辉”。高中解决多元最值的三大主流方向：函数观点、不等式观点、数形结合观点都能在此题“大展拳脚”。本文从这三个方向，通过六种解法来解题，以此对多元求最值的方法进行对比、串联，探寻此题目的背景以及教材对应的题根，多角度认识题目并体会其背后的核心素养要求。
关键词：不等式；数形结合；柯西不等式；多元最值
一、 真题分析
2019年全国三卷真题23题[选修4-5：不等式选讲](10分)
设x，y，z∈R，且x+y+z=1。
(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值；
处方剂量分布曲线包绕90%PTV，再次 CT 检查后Plan0较Plan1+2靶区缩小，相应设计计划时照射野缩小，计算的剂量分布曲线向内收，肺的受照射剂量减少。
(2)若成立，证明：a≤-3或a≥1。
(1)问与(2)问明显关联密切，若攻克第一问，第二问也就迎刃而解，所以本文只分析第一问。
(一) 题目初相见
制冷系统和配电系统是数据中心中能源消耗最大的两个系统，相对于这两个系统而言，其他系统或设备如消防、监控、环境照明等的耗电量几乎可忽略。因此，可推导出以下近似公式：
(二) 题目考点溯源
(1)问是一个多元限制条件下的最值问题，马上搜索高中最值问题处理的“武器库”。
一九三七年十二月二十一日下午四点发生的事，我姨妈孟书娟在脱险后把它记录下来。多年后，她又重写了一遍。我读到的，是她以成熟的文字重写的记述。我毕竟不是我姨妈那样的史学文豪，我是个写小说的，读到这样的记载就控制不住地要用小说的思维去想象它。现在，我根据我的想象以小说文字把事件还原。
从而4≤3(a2+b2+c2)，即当且仅当即时取等。
方向二：不等式方向：常见的工具有基本不等式、柯西不等式、不等式性质或是函数不等式放缩。
随着交通和建筑业的快速发展，髋臼骨折出现逐年多发的趋势。因髋臼位置深在，周围解剖关系复杂，累及四边体的髋臼骨折术中显露、复位、固定比较困难。如果髋臼骨折不能获得良好的复位，髋关节及伤侧下肢将出现永久的疼痛和难以纠正的功能障碍。本科于2016～2017年，共运用腹直肌外侧入路微创治疗8例骨盆髋臼骨折病例，获得良好疗效，现报告如下。
方向三：数形结合方向：以线性规划为典型代表，找寻代数式中隐藏的几何背景，如斜率、距离等，体现数学转化与化归思想。
②异类分析。这种分析方式一般都用来找寻某些普通模式，或者是有明显不同之处、不同规律的数据信息，经过对数据信息孤立点的分析通常会挖掘出特殊的价值信息，这样可以发现与普通规则不同的数据结果，这些都给计算机未知病毒的查找提供了关键的参考。
二、 第一剑：数形结合化距离
解：由题可知x-1=-(y+z)，所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2=(y+z)2+(y+1)2+(z+1)2=2[y2+(z+1)y+z2+z+1]
当然也可以由点P(x0，y0，z0)到面Ax+By+Cz+D=0的距离公式：得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值
三、 第二剑：换元化简寻题根
解：原式中令x-1=a，y+1=b，z+1=c，则a+b+c=x+y+c+1=2，(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2=a2+b2+c2。
现以第十期监测数据为例展开分析，此阶段所有的检测点均已布设完毕，其中21个监测点被破坏、遮挡或存在积水无法观测，其余98个测点数据均在平差后录入数据库，并生成相应图表。
于是题目转化为：已知a，b，c∈R，a+b+c=2，求a2+b2+c2的最小值。
由基本不等式可得所以(1)式当且仅当时取等。
显然，换元后的式子像是进行了一次“美容”，单从式子结构的简洁就能感觉我们的思路是正确的。
(一) 基本不等式视角解题
于是当cosθ=1即时，a2+b2+c2取最小值。
由基本不等式可知：2ab≤a2+b2，2ac≤a2+c2，2bc≤b2+c2
方向一：函数方向：常见的处理是消元化简，或者是整体换元，研究单调性是最终归宿。
(二) 题根探秘
在人教A版教材选修4-5，《不等式选讲》习题 3.2 的第2题，原题如下：
已知a，b，c，d∈R+，且a+b+c+d=1，求证：
对照换元转换的此题：已知a，b，c∈R，a+b+c=2，求a2+b2+c2的最小值。我们发现它们几乎是“一模一样”的。这进一步体现出高考题目来源于教材，所以如何整理、挖掘教材中习题的功能，是我们每位数学教师的“本分”，而不是一味地寄希望于“一轮复习参考书”。
四、 第三剑：消元化简立主元
观察(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2，我们很容易想到其几何意义，也就是动点(x，y，z)与定点(1，-1，-1)的距离的平方。由高等几何知识可知x+y+z=1表示一个平面，于是这里可以在空间直角坐标系中作出x+y+z=1所表示的平面，然后由立体几何知识求得距离。
此处，变量y与z相互独立，且没有限制范围，故不妨以y为主元。
记f(y)=2[y2+(z+1)y+z2+z+1]，知当时取最小，
记则
5.5规定“编目应准确、详细、便于检索”。编制归档文件目录，该目录是检索档案的基本工具，编目准确、详细是提高检索效率的必然需求。5.5.2规定“归档文件目录设置序号、档号、文号、责任者、题名、日期、密级、页数、备注等项目”。将旧规则中“件号”改为“序号”，增加“档号”、“密级”两个项目，使得档案标识更为详细；增加密级，突出强调部分文件材料具有保密性，与文件实际标注的密级相对应。
此时，
两个胡人牵着马走过来，用长矛把草堆捅倒，马儿吃草，不时打着响鼻。农夫紧张死了，草堆离山芋窖子不过几尺远，窖口用树枝遮着，再铺上干草，要是马儿来吃草，或胡人来这里扯一把草，他就藏不住了。突然，胡人不知什么原因跨上马走了，农夫悬着的心放下一半。
五、 第四剑：整体换元寻函数
解：仍然采用换元转换：已知a，b，c∈R，a+b+c=2，求a2+b2+c2的最小值。
首先由c=2-(a+b)，得a2+b2+c2=a2+b2+(2-(a+b))2=2(a+b)2-4(a+b)-2ab+4……。(1)
注意到(1)式中出现了两种结构a+b和ab，而这两个结构是可以进行放缩转换的。
称取5.0 g绝干质量的玉米芯残渣原料于100 mL的锥形瓶内，加入50 mL HAc-NaAc缓冲液(pH值 4.8)。向瓶内加入一定体积的纤维素酶液，纤维素酶的用量为11 FPU/g底物。然后向锥形瓶内补加蒸馏水至水解液总体积为100 mL。用保鲜膜封住瓶口，并置于50℃的恒温培养震荡箱内反应，转速180 r/min，水解96 h。在水解过程中，每隔一定时间取0.5 mL的水解液于小离心管内，并用热水煮沸5 min使纤维素酶失活。样品经离心后，用0.45 μm孔径的微孔滤膜过滤，并采用高效液相色谱仪检测水解液中葡萄糖的含量。
六、 第五剑：向量转化拨千斤
仍然采用换元转换：已知a，b，c∈R，a+b+c=2，求a2+b2+c2的最小值。
构造向量m=(a，b，c)，n=(1，1，1)，记m，n的夹角为θ，则m·n=|m||n|·cosθ=a+b+c=2
1)预制式智能控制柜至预制舱式二次组合设备及预制式组合二次设备的光缆连接，包括各智能终端、合并单元至保护装置和对时装置的光缆均采用预制光缆。
由已知得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4
七、 第六剑：不等式观点回本源
应用1：柯西不等式
本文将要探究的池莉新写实小说中的幸福观，从池莉新写实小说的具象和抽象的幸福观两个维度来描绘。对此论题，研究成果寥寥，只有於可训《在升腾和坠落之间》等文谈到了池莉新写实作品哲学深度的研究，提出了池莉通过知足顺应的态度是想获得一种冯友兰先生所提出的“相对幸福的人生哲学”[4]。本文想通过池莉小说幸福观的研究，发现池莉新写实小说中的诗意，丰富池莉小说的研究成果。
解：由柯西不等式可知：((x-1)2+(y+1)2+(z+1)2)(12+12+12)≥(x-1+y+1+z+1)2=4，
得
当且仅当即时取等。
应用2：权方和不等式
权方和不等式：(x，y，z，a，b，c都为正实数)，当且仅当时等号成立。
解：当且仅当即
时取等。
“我国目前已掌握世界上全部钾肥生产技术，钾盐综合利用率由最初的27%提升至80%以上，钾盐自给率由完全依赖进口上升至58%，在提升中国国际钾肥市场话语权的同时，中国已成为世界钾肥贸易价格凹地。盐湖钾肥、盐湖循环产业已经成为青海在国家乃至世界的品牌。”青海盐湖工业股份有限公司总裁谢康民在8月22日召开的“2018钾盐钾肥大会暨格尔木盐湖论坛”上表示。
注：此处的权方和不等式也可以换成(平方平均数与算数平均数的不等关系)。权方和不等式由于形式结构的对称性与美感，可以说是一个让人“过目难忘”的不等式，可以由柯西不等式推导，在高中应用也比较广泛。
八、 品题感悟
六脉神剑能够成功使出的关键全在于“内力”，这份内力即为学生的核心素养积淀。
本题的漂亮之处就在于以上三种思路方向都可以成功得解，在知识点的交汇处命题，问题解决体现了通性通法的特点。方法不同，难易程度也不同，展现出不同学生的思维能力和品质，具有很强的区别功能。
参考文献：
[1]刘起鹏.追根溯源挖掘本质——由2016年江苏卷第14题所想到的[J].数教学研究，2017(1)：65-67.
[2]王淼生.透过现象追根溯源看清本质[J].中学数学，2015(23)：88-91.
作者简介：
胡嘉苇，四川省成都市，四川省成都市成都石室中学。
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