非周期离散非线性薛定谔方程同宿解的研究

论文摘要

近年来,作为一种有着深厚物理和生物背景的数学模型,离散非线性薛定谔方程的研究引起了国内外学者极大的关注。这种模型起源于物理学,是定义于无穷格点上的一种耦合差分系统,可以说是迄今为止最重要的固有离散模型之一。离散非线性薛定谔方程可以直接应用于各个领域当中。例如,在物理学中,人们可以用它来描述一类耦合非简谐振子的模型;在生物数学中,还被用来研究生物大分子链内的能量储存以及传输;在非线性光学中,离散非线性薛定谔方程可用来描述非线性耦合波导阵列中的光束,且该方程也可用来对一些特殊的光学现象进行解释,例如离散自聚焦,反常衍射等。另外随着计算机技术的发展,对连续方程进行离散化已经成为一种趋势。离散非线性薛定谔方程作为连续薛定谔方程离散化的形式,可以有效地克服利用计算机进行计算或者进行数值模拟时遇到的一些困难,从而对各学科应用计算机来模拟各种现实问题都十分有帮助。因此,对离散非线性薛定谔方程进行研究,有着十分重要的理论意义和现实意义。到目前为止,对离散非线性薛定谔方程的研究主要是针对周期的情况,关于非周期情况的研究还比较少。因此,本文将利用变分法和临界点理论,研究非周期离散非线性薛定谔方程同宿解的存在性与多重性。本文的主要研究内容如下:1)在非线性项原函数不变号的情形下,利用变分法、临界点理论,以及广义山路定理等工具,研究一类一维无穷格点上的非周期离散非线性薛定谔方程非平凡同宿解的存在性。2)在非线性项原函数不变号的情形下,运用变分法、临界点理论,以及喷泉定理等工具,研究一类一维无穷格点上的非周期离散非线性薛定谔方程非平凡同宿解的多重性。3)在非线性项原函数变号的情形下,利用变分法、临界点理论,以及山路定理等工具,研究一类m维无穷格点上的非周期离散非线性薛定谔方程非平凡同宿解的存在性。4)在非线性项原函数变号的情形下,利用变分法、临界点理论,以及对称山路定理等工具,研究一类m维无穷格点上的非周期离散非线性薛定谔方程非平凡同宿解的多重性。

论文目录

• 摘要
• abstract
• 第一章 绪论
•   1.1 研究背景
•   1.2 研究现状
•   1.3 研究内容
• 第二章 一维无穷格点上的非周期离散非线性薛定谔方程同宿解的存在性
•   2.1 研究内容和结果
•   2.2 变分设置和主要引理
•   2.3 主要结果的证明
• 第三章 一维无穷格点上的非周期离散非线性薛定谔方程同宿解的多重性
•   3.1 研究内容和结果
•   3.2 变分设置和主要引理
•   3.3 主要结果的证明
• 第四章 m维无穷格点上的非周期离散非线性薛定谔方程同宿解的存在性
•   4.1 研究内容和结果
•   4.2 变分设置和主要引理
•   4.3 主要结果的证明
• 第五章 m维无穷格点上的非周期离散非线性薛定谔方程同宿解的多重性
•   5.1 研究内容和结果
•   5.2 变分设置和主要引理
•   5.3 主要结果的证明
• 第六章 总结与展望
• 参考文献
• 致谢
• 附录

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 贾荔茜

导师: 陈观伟

关键词: 离散非线性薛定谔方程,非周期,同宿解,存在性,多重性

来源: 济南大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 济南大学

分类号: O175.29

DOI: 10.27166/d.cnki.gsdcc.2019.000376

总页数: 65

文件大小: 2014K

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