约束动力系统最优控制的保辛算法

论文摘要

最优控制是现代控制理论的核心,在工业生产制造方面为增加经济效益、减小能量损耗以及提高生产效率等起到了重要作用。最优控制理论广泛应用于航空航天、复杂多体系统、机器人以及车辆制造等领域。在大部分复杂的工程问题中,系统的状态变量或控制变量都含有约束,所以在动力学建模过程中需要引入约束条件,因此针对约束动力系统最优控制问题的数值算法研究引起大量科研人员的关注。由于传统的数值算法主要看重所得到的解的精确程度,却很少考虑到所求解的最优控制问题本身的物理性质。与传统算法相比较,辛算法将计算结构力学中的理论应用于最优控制问题的求解中,这样数值解的精确程度和计算效率不仅能得到保证,同时也可以保持原系统固有的物理性质,因此针对约束系统最优控制问题的保辛算法的研究具有重要意义。本文研究完整约束动力系统最优控制的保辛算法。主要研究内容包括:（1）基于对偶变量建立了约束动力系统最优控制问题的变分原理,在变分原理的基础上构造了约束动力系统最优控制问题的高阶保辛算法。基于对偶变量和性能指标,利用拉格朗日乘子将动力学方程和约束引入性能指标,得到拓展的性能指标,通过最小作用量原理推导出哈密顿正则方程。通过选取初始时刻的协态变量和终端时刻的状态变量作为混合独立变量,基于生成函数理论和正则变换构造了求解约束动力系统最优控制问题的高精度的保辛算法。对求解时域进行离散,采用拉格朗日多项式分别近似系统的状态变量、协态变量以及拉格朗日乘子,通过正则变换将求解约束动力系统最优控制问题转化为求解一组非线性方程组。最后对哈密顿函数守恒和算法的保辛性质进行了证明。（2）应用本文构造的约束动力系统最优控制问题的保辛算法,通过对大量算例的数值分析,讨论了在终端状态固定和终端状态自由两种情况下,选取不同的时间步长和插值参数对本文算法的精度、阶数和性能指标的收敛性的影响。结果表明,增大插值参数的取值或减小时间步长可以提高本文保辛算法的精度。算法精度的阶数s与插值参数m的关系满足s=m+1。性能指标会随时间步长的减小和插值参数的增大而收敛。该算法能精确地满足完整约束条件,并能保持系统的辛几何结构,具有较好的收敛性。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
•   1.1 研究背景与意义
•   1.2 国内外研究进展
•     1.2.1 约束系统数值积分算法研究进展
•     1.2.2 非线性系统的最优控制问题研究进展
•     1.2.3 约束系统的最优控制问题研究进展
•   1.3 本文主要研究内容
• 2 最优控制问题及辛数学方法的基础理论
•   2.1 最优控制问题的理论基础
•     2.1.1 终端状态自由
•     2.1.2 终端状态固定
•   2.2 哈密顿系统及其辛性质
•   2.3 正则变换与生成函数
• 3 约束动力系统最优控制保辛算法
•   3.1 约束动力系统最优控制问题的描述
•   3.2 约束动力系统最优控制问题变分原理的构造
• 0和右端状态变量x_η作为混合独立变量的保辛算法'>  3.3 以左端协态变量λ₀和右端状态变量x_η作为混合独立变量的保辛算法
•   3.4 哈密顿函数守恒证明
•   3.5 保辛证明
•   3.6 算例
•     3.6.1 约束单摆最优控制问题
•     3.6.2 约束三摆最优控制问题
•     3.6.3 双连杆机械臂最优控制问题
•     3.6.4 球面摆最优控制问题
•     3.6.5 曲柄滑块最优控制问题
•   3.7 总结
• 4 结论与展望
•   4.1 本文主要工作与结论
•   4.2 后续工作展望
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间发表学术论文情况
• 致谢

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 张馨元

导师: 高强

关键词: 最优控制,完整约束,保辛,对偶变量变分原理,生成函数

来源: 大连理工大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 大连理工大学

分类号: O232

DOI: 10.26991/d.cnki.gdllu.2019.001144

总页数: 81

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