几类非局部椭圆问题解的存在性研究

论文摘要

变分法是非线性泛函分析中重要的基本方法之一.它的基本思想是把微分方程解的问题归结为相应泛函的临界点问题.本文利用变分法主要研究了带平面校准场的非线性Schrodinger方程基态解和极小能量解的存在性,带贝塞尔算子的分数阶Schrodinger-Poisson方程组解的存在性,带陡阱位势的分数阶Schrodinger-Poisson方程组的多解性及其集中性,和分数阶Schrodinger-Poisson方程组极小能量解的存在性.这几类非局部问题都有着广泛的物理背景,例如,数学物理以及量子力学等.本文内容共分为五章.在第一章中,我们概述本文所研究问题的背景及国内外研究现状,并简要介绍本文的主要工作及相关的预备知识和一些记号.在第二章中,我们主要考虑带有平面校准场的次临界和临界指数增长的Schrodinger方程（?）的基态解和极小能量解,其中ω>0,λ>0是表示位势相互作用强度的常数,（?）.利用变分法,我们分别证明了带有临界指数增长和次临界指数增长问题（E1）的基态解和极小能量解的存在性.上述结果推广和改进了文献Byeon-Huh-Seok（J.Funct.Anal.2012）及Ji-Fang（J.Math.Anal.Appl.2017）中的部分结果.在第三章中,我们将研究分数阶Schrodinger-Poisson系统（?）的非平凡解的存在性,其中（I-△）s和（-△）t是分别关于s ∈（3/4,1）和t∈（0,1）的贝塞尔算子和拉普拉斯算子.通过利用变分法和摄动法,我们分别证明问题（E2）的非平凡解的存在性,推广了文献Liu-Wang（J.Differential Equations,2014）中的部分结果.本章的主要结果已发表于（Comput.Math.Appl.2018）.在第四章中,我们将研究带有贝塞尔算子的分数阶半线性椭圆系统（?）的多解性和解的集中性,其中参数λ>0,1<q<2,（I-△）s和（-△）t分别是关于s ∈（3/4,1）和t∈（0:1）的贝塞尔算子和拉普拉斯算子,V∈C（R3,R）是一个势阱位势.我们利用山路定理和Ekeland变分法则证明了问题（E2）的多解性和集中性,推广了文献Secchi（Compl.Var.Elliptic Equations,2016）中的主要结果.本章的主要结果已发表于（Math.Method Appl.Sci.2018）.在第五章中,我们将研究分数阶Schrodinger-Poisson系统（?）的极小能量解,这里（-△）α是关于α=s,t∈（0,1）的分数阶拉普拉斯算子,其中s<t,2s+>3且2<p<2s*-1=（3+2s）/（3-2s）.当位势V∈ C（R3,R）满足某些给定的条件时,我们运用变分法,单调性技巧证明了问题（E4）极小能量解的存在性,推广了文献Teng（J.Differential Equations,2016）中的主要结果.本章的主要结果已发表于（J.Math.Phys.2018）.

论文目录

• 内容摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
•   1.1 问题的背景及研究现状
•   1.2 本文的记号
•   1.3 定义及引理
•   1.4 本文的主要工作
•   1.5 结构安排
• 第二章 平面上带校准场的次临界和临界指数增长的Schr（?）dinger方程基态解的存在性
•   2.1 问题的提出及主要结果
•   2.2 预备知识
•   2.3 问题（2.1.1）的临界指数增长情形
•   2.4 问题（2.1.1）的次临界指数增长情形
• 第三章 不带Ambrosetti-Rabinowitz条件的分数阶贝塞尔Schr（?）dinger-Poisson系统的存在性
•   3.1 问题的提出及主要结果
•   3.2 预备知识
•   3.3 主要结果的证明
• 第四章 带贝塞尔算子的分数阶Schr（?）dinger-Poisson系统的多解性及其集中性
•   4.1 问题的提出及主要结果
•   4.2 预备知识
•   4.3 主要结果的证明
• 第五章 一类分数阶Schr（?）dinger-Poisson系统的极小能量解
•   5.1 问题的提出及主要结果
•   5.2 一些预备知识
•   5.3 主要结果的证明
• 进一步的结果和问题
• 参考文献
• 攻读博士学位期间已发表和待发表的论文
• 致谢

文章来源

类型: 博士论文

作者: 沈烈军

导师: 尧小华

关键词: 变分法,极小能量解,基态解,贝塞尔算子

来源: 华中师范大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 华中师范大学

基金: 国家自然科学基金项目NSFC No:11371158,11771165,华中师范大学优秀博士学位论文培育计划资助项目No:2018YBZZ068

分类号: O176

总页数: 112

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