径向对称自由边值问题的理论分析与数值方法

论文摘要

自由边界问题是描述新生物种或入侵物种传播的经典问题,它可以更加准确地描述物种在区域内的传播状态和传播速度,因此一直是数学生物学领域的一个重要研究点.然而由于自由边界的不确定性,从数学角度准确求解这一问题存在较大难度,近年来国内外学者也只对一维空间的自由边界问题进行了大量的研究,偶尔涉及到了高维空间下的分析.本文针对高维径向对称环境下的自由边界问题,研究了其解的存在性和唯一性,提出了一种有限差分格式,并在此基础上,对具有自由边界的KPP模型进行了数值模拟.具体研究内容和相应的研究结果如下:首先,建立了径向对称环境下自由边界问题的数学模型,利用前沿固定法将模型的自由边界转化为了固定边界,然后利用压缩映射原理证明了局部解的存在性和唯一性,并采用比较原理、最大值原理以及泊松公式等将局部解推广到了全局解,并基于Bessel函数推导出了径向对称环境下自由边界问题的特征值公式.其次,给出了自由边界问题的有限差分格式,利用半点位移法规避了模型在某些点处解的奇异性,借助Taylor展式计算出局部顶端误差从而证明了数值解的一致性,采用数学归纳法得到了自由边界以及数值解的正性,通过分析有限差分格式的参数得到了数值解的稳定性以及利用Lax定理证明了数值解的收敛性,从而验证了差分格式的有效性.最后,以KPP模型为例,根据建立的自由边界问题的差分格式进行数值模拟,估计出了扩展前沿的传播速度以及Stefan条件中参数的取值范围,并与国外相关文献的理论结果进行了对比,验证了该数值方法的合理性。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
•   1.1 研究背景与研究现状
•   1.2 本文的主要工作
•   1.3 预备知识
• 第2章 自由边界问题解的存在唯一性
•   2.1 问题的转化
•   2.2 局部解的存在唯一性
•   2.3 全局解的存在唯一性
•   2.4 径向对称环境下的特征值问题
• 第3章 自由边界问题的数值分析
•   3.1 问题（1.2.1）的有限差分格式
•   3.2 有限差分格式的一致性
•   3.3 有限差分格式解的正性
•   3.4 有限差分格式的稳定性与收敛性
•   3.5 数值模拟
• 总结
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士学位期间的研究成果

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 楚天舒

导师: 吴建华

关键词: 自由边界,压缩映射原理,存在唯一性,数值分析,数值模拟

来源: 陕西师范大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 陕西师范大学

分类号: O175.8

DOI: 10.27292/d.cnki.gsxfu.2019.000609

总页数: 49

文件大小: 1796K

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