摘 要：括号表示法是一种在形式语言中以括号来表示各种逻辑常项的符号表示方法。与已有的表示方法不同，它是一种整体表示法。以命题逻辑的形式语言为例，可以证明括号表示法的唯一性定理。在形式语言中，运用括号表示法表达的公式，其长度比用中置法表达的公式简短。运用括号表示法改写的一阶逻辑自然推理系统非常简洁。括号表示法为研究逻辑常项的推理结构提供了一个非常良好的分析工具。
关键词：括号表示法；逻辑常项；唯一性；公式长度；一阶逻辑系统；推理结构
一、括号表示法
根据张清宇先生的相关思想[注]张清宇：《不用联结词的经典命题逻辑系统》，《哲学研究》1995年第5期。张清宇：《不用联结词和量词的一阶逻辑系统》，《哲学研究》1996年第5期。张清宇：《哲学逻辑研究》，北京：社会科学文献出版社，1997年，第25～68页。，我们在《关于“不用联结词的逻辑系统”的注记》与《不用联结词的“舍生取义”型自然推演系统》[注]杜国平：《关于“不用联结词的逻辑系统”的注记》，《重庆理工大学学报(社会科学)》2019年第4期。杜国平：《不用联结词的“舍生取义”型自然推演系统》，《湖南科技大学学报(社会科学版)》2019年第3期。两篇文章中对“不用联结词”的相关思想进行了进一步的阐发并以此为基础做了一些推进性的研究工作。以这些工作为基础，我们在此明确提出逻辑符号的括号表示法。之所以在张清宇先生“不用(真值)联结词”提法的基础上，提出逻辑符号的“括号表示法”，是基于几点考虑：1.为了避免误解。联结词是逻辑研究的核心内容之一，例如命题逻辑主要研究的是“否定”“蕴涵”“合取”“析取”“等值”等联结词的推理性质，模态逻辑研究的是“必然”“可能”等联结词的推理性质，时态逻辑研究的是“曾经”“将来”“一直”“永远”等时态联结词的推理性质，直觉主义逻辑和弗协调逻辑研究的主要是基于独特哲学思考的“否定”“蕴涵”等联结词的推理性质，即使在以量词为核心研究内容之一的一阶逻辑中，联结词也是不可或缺的。对于不太了解张清宇先生“不用联结词”具体含义的人来说，在一个逻辑系统中不用联结词是令人费解的。实际上，张清宇先生“不用联结词”指的仅仅是在初始符号中不用联结词而已，是使用括号来代替某一个联结词的符号表示法，常用的联结词是可以通过定义而引入的(在公理系统中，张清宇先生使用了通过定义引入的联结词“”)[注]张清宇：《不用联结词的经典命题逻辑系统》，《哲学研究》1995年第5期。，并且在语义解释中，括号是可以被解释为“联结词”的。2.在初始符号中，符号仅仅是符号而已，我们常把小写字母“p、q、r”等称为“命题变元”，把箭头“→”和方框“□”称为联结词，这实际上是基于一个直觉的语义解释的背景，作为形式语言，“p、q、r、→、∧、∨、、、”都仅仅是不同的符号而已。同样，作为形式语言，括号“( )”也仅仅是符号而已，当其经过语义解释之后，它可以是具有结构功能的“括号”，也可以是真值运算的“联结词”，还可以做其他解释。有时我们称形式语言中的某类符号为“联结词符号”也仅仅是为了称呼方便而已。3.在括号表示法中，括号不仅可以用来承担“(真值)联结词”的功能，而且可以继续承担其区分层次、确立符号结合先后顺序的结构表达功能，还可以用来表示“量词”“模态词”“时态词”等等。4.在逻辑符号系统中，不同的符号标示系统是各个逻辑系统的特征标志之一，这些符号的使用情况有时甚至影响着相关逻辑系统和逻辑思想的传播和发展。如包含二维符号“a、、f(a)”的弗雷格符号系统，包含符号“p、p∩q、p∪q、p⊃q、pq”的皮亚诺符号系统，包含符号“p∨q、pq、p⊃q、pq”的罗素《数学原理》符号系统，包含符号“p∨q、p&q、p→q、p～q”的希尔伯特符号系统等，特别值得一提的是由卢卡西维茨等人发明的包含符号“Np、Cpq、Kpq、Apq”的波兰表示法系统。其中，弗雷格的符号“虽然相当精确，但因为是二维的，因此很难掌握，也不便于应用，从历史上看，这就是造成弗雷格的《概念文字》在当时未能产生很大影响的重要原因之一。”[注]郑毓信：《现代逻辑的发展》，沈阳：辽宁教育出版社，1989年，第52～53页。《关于“不用联结词的逻辑系统”的注记》与《不用联结词的“舍生取义”型自然推演系统》两篇文章中提出的包括符号“(p)、(pq)、(x)”的括号表示法是与前述若干种符号表示法不同的一种新的标记方法。
在逻辑形式语言中，包括常项和变项。变项主要用来描述所要研究的特定范围内的语言对象；常项包括逻辑常项和非逻辑常项，其中逻辑常项是逻辑研究揭示特定范围内推理规律的核心要素。不同的符号表示法的区别主要体现在逻辑常项的区别上。
一般认为，常见的逻辑形式语言对于逻辑常项的表示方法主要有前置法、中置法和后置法。前置法指的是把运算符号或者联结词写在运算项或者变项之前的一种表示方法。20世纪20年代波兰逻辑学家卢卡西维兹提出的波兰表示法就是前置法。后置法也称逆波兰表示法，指的是把二元运算符号或者二元联结词写在两个运算项或者两个变项之间的一种表示方法，常见的数学运算如“+、-、×、÷”等采用的都是中置法。中置法的优点是直观，缺点是需要括号或者其他约定来确定运算的先后次序，而且不适用于一元运算，也难以适用于三元或者三元以上的运算。前置法和后置法的优点是运算的先后次序是明确的，不需要使用括号，公式简约，缺点是不够直观。
上述常见的三种符号表示法都是分离表示法。括号表示法不属于上述任何一种表示法，它是一种整体表示法，在设计思想上是一种完全不同的符号表示法。之所以称上述三种符号表示法为分离表示法，是因为中置法将运算符号或联结词左右的两个符号断开，当其作为一个单元形成更复杂的公式时(如p∨q→r)，需要括号或者其他规定来确定运算的先后顺序；前置法和后置法虽然运算顺序是明确的，但是因为相互临近的两个符号是分置的，当公式足够复杂时(如CKCNpCpqrs)，确立运算顺序也非易事。反之，括号表示法将其作用的符号作为一个整体连接在一起，结合顺序和运算顺序非常明确。并且，括号表示法也不受元数的限制，非常灵活，它可以作为一元联结词，如(p)；也可以作为二元联结词，如(pq)；还可以作为三元或者多元联结词，如(pqrs)；当然，也可以作为量词，如(x)。综上所述，括号表示法是一种在形式语言中以括号来表示各种逻辑常项的符号表示方法。
二、形式语言
因为括号表示法和其他表示法的区别主要是联结词符号表示的区别，所以下面我们在命题逻辑的形式语言中研究括号表示法的精确性(唯一性)问题。
※不拉肚子之后可以把其他药物停掉，但益生菌建议再吃几天。另外有研究证明，定期比如每周吃1次益生菌，有助于预防腹泻。
定义2.1 形式语言L(P)包括如下两类符号：
(1)命题符号：p1，p2，p3……；
(2)左右括号：(，)。
通常以p、q、r等表示任一命题符号。
那么对于任一公式Form(L(P))，都有()。
2.2 两组免疫功能比较 两组干预后CD3+、CD4+、CD4+/CD8+较干预前显著提高(P<0.05)。干预前组间CD3+、CD4+、CD4+/CD8+比较，差异无统计学意义(P>0.05)。观察组干预后CD3+、CD4+、CD4+/CD8+显著高于对照组(P<0.05)。见表2。
定义2.2 一个由形式语言L(P)中的符号构成的任意有穷序列称为一个表达式；一个表达式中依次出现的符号的数目，称为表达式的基数。
左括号、右括号、字母或者字母加下标算作一个符号。
我们使用大写字母X、Y、Z(或加下标)来表示任一表达式；所有表达式的集合记为Expr(L(P))。
定义2.3 两个表达式X和Y是相等的(或相同的)，记作XY，当且仅当它们有相同的基数，并且依次出现的符号相同。
定义2.4 设X、Y、Z、Z1、Z2Expr(L(P))。如果XZ1YZ2，则称Y为X的段；如果XY，则称Y为X的真段；如果XYZ，则称Y为X的初始段，称Z为X的结尾段；如果XYZ，且Z不空，则称Y为X的真初始段；如果XYZ，且Y不空，则称Z为X的真结尾段。
定义2.5 称L(P)的一个表达式为原子公式当且仅当它是一个单独的命题符号(加下标)。
由L(P)中所有原子公式构成的集合记为Atom(L(P))，由L(P)中所有公式构成的集合记为Form(L(P))。
定义2.6Form(L(P))是满足以下(1)—(3)的表达式集合中的最小集：
(1)Atom(L(P))；
本文课题组前期分别利用阳离子表面活性剂、阴离子表面活性剂、酸溶液及其复合溶液浸泡煤样，结果表明阴离子表面活性剂和酸的复合溶液对煤样的破坏效果优于其他溶液，因此，本文以阜新长焰煤作为研究对象，采用有机/酸(SDS/HCl)复合溶液对煤样进行浸泡，研究煤样表观形貌、矿物质成分、微观孔隙结构随浸泡时间的变化规律，分析煤样在有机/酸复合溶液化学作用下破坏的微观机制，并通过单轴压缩实验测定煤样力学特性，以验证煤样微观破坏机理。
(2)若X，则(X)；
(3)若X，且Y，则(XY)。
为了进一步贴合实际工况，模型做了如下假定：岩体为各向同性体，所产生的变形为小变形，其变形值在弹性范围内，假设为平面应变问题，所施加的支护结构有拱架，喷射混凝土和管棚。
通常用字母、、等表示任一L(P)的公式；用~、、等表示任一公式集合。
定理2.1 设是关于表达式的一个性质。如果：
(1)对于任一公式Atom(L(P))，均有()；
(2)对于任一公式Form(L(P))，若()，则(())；
(3)对于任何公式、Form(L(P))，若()且()，则(())。
在建设施工过程中，安全问题极为重要，要不断地加强和完善建设施工的安全监督管理。目前，我国的水利工程建设的安全监督管理体系还不够完整，仍存在许多问题。如在水利工程长年不断的建设过程中，一些设备已经落后，并且老化，存在较大的安全隐患，如果没有对其进行严格的监督管理，不对其进行更换，将会出现一系列的安全质量问题，从而影响整个工程的建设。另外，如果没有对那些不良企业单位进行严格的质量安全监督管理，出现偷工减料的行为，导致严重的质量问题，从而埋下安全隐患，以后将会造成更严重的安全问题，严重的影响水利工程的建设。
证明：
令Form(L(P))且()，则满足定义2.6中的(1)—(3)，因此Form(L(P))。所以，对于任一公式Form(L(P))，都有()。
定理2.2 假设Form(L(P))，则中左括号数和右括号数相等。
((())(()()))
单因素试验就是在其中2个因素固定的前提下来改变第3个因素而进行的播种试验。在试验中为了减小试验误差，对于每个水平播种3盘，统计出总的空穴穴数、单粒穴数和重播穴数，计算空穴率、单粒率和重播率，利用空穴率、单粒率和重播率3个指标对各个因素对排种器性能的影响进行对比。
定理2.4 假设Form(L(P))，则在非空的真初始段中，左括号出现的次数比右括号多；在非空的真结尾段中，右括号出现的次数比左括号多。
以上计算适用于地级市指标的计算。如表2所示，长三角两省一市基本公共服务水平指标体系与各地级市不同，仅用人均财政支出表示公共服务水平，因此这是一项主要从投入来衡量各地区水平的指标。为了清晰体现地区间的差异，我们利用集中系数对比两省一市与全国基本公共服务水平差异，将省份i的j类公共服务的二级指标按人口平均与全国相应人均指标相比：
在《不用联结词的经典命题逻辑系统》中，张清宇先生指出他建立的系统包含命题常项，即零元联结词，“因此利用它们建立的不用联结词的系统还不能算是十分严格的不用联结词的系统”[注]张清宇：《不用联结词的经典命题逻辑系统》，《哲学研究》1995年第5期。。对此他提出了以括号代替舍弗函数的策略，这当然是一个非常巧妙的可行策略。
1.若是原子公式，则不存在的非空真初始段，也不存在的非空真结尾段。
梁伟江等[14]采用半枫荷的提取物，用SD大鼠开展持续力竭游泳血瘀试验，发现不同极性半枫荷提取物均能改善大鼠的血瘀状态、液流变学及凝血相关指标，其中以水部位的作用最强，且水部位的作用表现出明显的量效关系，因此认为半枫荷的提取物(水部位)具有显著的活血化瘀的功能。但半枫荷活血化瘀的具体作用机制及其有效成分尚不清楚，有待进一步的研究。
2.若形如()。假设定理对于成立，则非空的真初始段只能是：(1) (；(2) ((是的非空真初始段)；(3) (。显然其中左括号比右括号出现的次数多。
非空的真结尾段只能是：(1))；(2))(是的非空真结尾段)；(3) )。显然其中右括号比左括号出现的次数多。
3.若形如()。假设定理对于、成立，则非空的真初始段只能是：(1) (；(2) ((是的非空真初始段)；(3) (；(4) ((是的非空真初始段)；(5) (。显然其中左括号比右括号出现的次数多。
非空的真结尾段只能是：(1))；(2))(是的非空真结尾段)；(3))；(4))(是的非空真结尾段)；(5) )。显然其中右括号比左括号出现的次数多。
根据定理2.2和定理2.4可得：
定理2.5 假设Form(L(P))，则的非空真初始段和非空真结尾段都不是公式。
命题2.1 形式语言L(P)中的任一公式恰好具有以下三种形式之一：原子公式、()或者()；并且在各种情形下公式所具有的那种形式是唯一的。
证明：
1.显然，形式语言L(P)中的任一公式所具有的形式必定为原子公式、()或者()这三种形式之一。
2.这三种形式中的任何两种都不相同，即形式语言L(P)中的任一公式所具有的形式至多为这三种形式之一。
首先，原子公式的基数为1，而其他两种公式的基数至少为3，因此原子公式和其他两种公式的形式不同。
(())(()())
()()
等式两边均去掉最外层的左括号和右括号，得到：
由此可得，公式是公式的非空真初始段，公式是公式的非空真结尾段，这与定理2.5矛盾。
3.如果()()，则显然有。
同时，食堂管理严格实行“五常法”管理，“五常法”，即“常组织”、“常整顿”、“常清洁”、“常规范”、“常自律”，涵盖了食堂总体环境管理的方方面面，使食堂后台管理焕然一新，从前厅到厨房、从主食到副食、从毛菜到净菜、从半成品到成品、从物品到食品、从荤食到素食，均标识明显、摆放有序、整齐划一，一系列标准化建设为食品安全筑起了安全防线。
4.如果()()，则，且。因为由
()()
等式两边均去掉最外层的左括号，可得
))
假定对于()最外层的一对括号( )在中存在辖域1和2，1、2Form(L(P))，根据定义2.8可知，(1)和(2)都是的段，并且(1)和(2)左方是中的同一个左括号，如果12，则其中一个必定是另一个的不空真初始段，这与定理2.5矛盾。所以，12。即对于()最外层的一对括号( )在中有唯一的辖域。
定义2.7 称()为的否定式；称()为和的合成式，为()的前件，为()的后件。
定义2.8 假设、、Form(L(P))。如果()为的段，则称公式为()最外层的一对括号( )在中的辖域；如果()为的段，则分别称公式、为()最外层的一对括号( )在中的左辖域和右辖域。
命题2.2 假设、、Form(L(P))。如果()是的段，则对于()最外层的一对括号( )在中有唯一的辖域；如果()是的段，则对于()最外层的一对括号( )在中有唯一的左辖域和右辖域。
证明：
如果，则或者是的不空真初始段，或者是的不空真初始段，这均与定理2.5矛盾。所以，。进而可得：。
假定对于()最外层的一对括号( )在中存在左辖域1和2，存在右辖域1和2，1、2、1、2Form(L(P))，根据定义2.8可知，(11)和(22)都是的段，并且(11)和(22)的左方是中的同一个左括号，如果12，则其中一个必定是另一个的不空真初始段，这与定理2.5矛盾。所以，12。进而可得：12。即对于()最外层的一对括号( )在中有唯一的左辖域和右辖域。
以上完成了公式结构唯一性的证明。这说明括号表示法的语言是无歧义的，公式结构具有唯一性、精确性。
三、公式的长度
因为在形式语言中，左右括号一般都是成对使用，不单独使用，因此，正如将一个字母及其下标视为一个符号一样，将左右括号视为一个符号也是合理的。
定义3.1 公式中依次出现的命题符号数、联结词数和左右括号的对数之和，称为表达式的长度，记为()。
在最常见的以“”“”作为初始联结词的命题逻辑系统中有如下3条中置法公理(按照通常的约定均省去最外层括号)：
()
其次，其他两种公式的形式也不相同。因为，假设其他两种形式的公式并非不相同，则存在公式、、，使得
(())((()()))[注]杜国平：《经典逻辑与非经典逻辑基础》，北京：高等教育出版社，2006年，第16～17页。
在波兰表示法中，这3条公理表示为：
CC
CCCCCC
CCNCCNN
在括号表示法中，这3条公理可表示为：
1.4 数据处理 调查数据采用Excel、SPSS统计软件进行数据的录入、管理与统计分析。统计分析采用描述性统计分析[11]。
(())
定理2.3 假设Form(L(P))，若不是原子公式，则以左括号开始，以右括号结束。
((())((()())))
在进行轮滑运动时，应该对于轮滑场地进行检查，避免场地中有坑洼现象，要保证轮滑场地的视野开阔，在转弯的地方注意有没有障碍物，以此来降低学生进行轮滑运动时的受伤几率，同时，对于轮滑教学用的教学设施进行定期检查，避免出现损坏的轮滑设施，对于不合格或者损坏的轮滑设施进行更换，要在轮滑运动教学中保证学生的身体安全，从而进行下一步的轮滑教育。
这3条公理在中置法中的长度为278()5()2()；在波兰表示法中的长度为158()5()2()；在括号表示法中的长度亦为158()5()2()。
一个下午，我都在琢磨于丹教授的话，伟翔说他做了我的奴隶，母亲说伟翔并不欠我的，难道我真的做错了什么吗？
对比中置法、前置法(波兰表示法)、后置法(逆波兰表示法)和括号表示法可以看出，括号表示法和波兰表示法同样简洁，比中置法简短许多。这是因为中置法比括号表示法多联结词，比波兰表示法多括号。另外，因为括号表示法总是从最里层的括号开始并按照由内而外的结合顺序进行，因此顺序关系的辨识也比波兰表示法清晰、容易。
四、一阶逻辑系统
证明：
其实，还有一个比较简单直观的策略，就是使用括号表示法直接对已有的系统进行改写，这样一方面可以发挥括号标记法的简明优势，另一方面也可利用现成的推理系统。下面我们简要地对此加以阐述：
单一的技术能力不能够满足企业用人需求，例如：java方向、不仅有java的教学内容，还需要前端开发技术、数据库、设计模式与架构、高并发与分布式技术、数据结构域算法。无经验的开发者都没有任何竞争优势，因此教师课堂教学有必要让企业中的项目案例，让学生在学校就满足企业要求的项目实战经验。再者，学生多元化的学习需求倒逼单一讲授教学模式的淘汰，教师应从教学方法进行改革，探索提高“教”与“学”效率的教学模式，如探索MOOC新型在线教学模式。
定义4.1 形式语言L(Q)包括如下符号：
(1)个体符号：c1，c2，c3……(常元)；u1，u2，u3……(自由变元)；x1，x2，x3……(约束变元)；
(2)函数符号：f1，f2，f3……；
(3)谓词符号：1，2，3……；
(4)左右括号：(，)。
通常以、、等表示任一个体常元符号，以、、等表示任一个体自由变元符号，、、等表示任一个体约束变元符号，、、等表示任一函数符号，、、、、、等表示任一谓词符号。
定义4.2 一个由形式语言L(Q)中符号构成的任意有穷序列称为一个表达式。
一般使用大写字母X、Y、Z来表示任一表达式。
形式语言L(Q)中的项、原子公式和公式的集合分别记为Term(L(Q))、Atom(L(Q))和Form(L(Q))；一般用小写字母及其下标、、等来表示任一项，用大写字母、、、等来表示任一公式，用~、等表示任一公式集。
定义4.3 一个表达式X称为项，当且仅当X能有限次使用下面的规则生成：
(1)、Term(L(Q))；
(2)如果1、2……nTerm(L(Q))，并且是元函数符号，则(12……n)Term(L(Q))。
定义4.4 一个表达式XAtom(L(Q))，当且仅当X形如(12……n)，其中是元谓词符号，1、2……nTerm(L(Q))。
定义4.5 表达式XForm(L(Q))，当且仅当X能有限次使用下面的规则生成：
(1)Atom(L(Q))Form(L(Q))；
(2)若XForm(L(Q))，则(X)Form(L(Q))；
(3)若X、YForm(L(Q))，则(XY)Form(L(Q))；
(4)若()Form(L(Q))，且不在()中出现，则()()Form(L(Q))。
定义4.6 基于括号表示法的一阶逻辑自然推演系统QZ2包括如下7条推理规则：
规则1。简记为(Ref)。
规则2 如果~，那么~，。简记为()。
规则3 如果~，()，并且~，()()，那么~。简记为(1)。
规则4 如果~()，并且~，那么~。简记为(2)。
规则5 如果~，，那么~()。简记为(2)。
规则6 如果~()()，那么~()。其中的()是将()中的均替换为而得。简记为()。
规则7 如果~()，其中的自由变元不在~中出现，那么~()()。简记为()。
定义4.7 公式在命题逻辑系统QZ2中由公式集~形式可推演，符号记为~，当且仅当~能由有限次使用上述7条推理规则生成。
在QZ2中不难证明：
(())((())(()()))
((())((()())))((()())())
(()(()())(()()()()))
(()(()())(()()()))，不在中出现
等等。
定义4.8 假设、Form(L(Q))，给定一个模型(D, I)和中的一个指派，
(1) ((12……n))I,1当且仅当((1)I,(2)I,…… (n)I,)I，否则((12……n))I,0；
(2) ()I,1当且仅当I,0；
(3) ()I,0当且仅当I,1且I,0；
(4) ((x)(x))I,1当且仅当，对的任一x-变异，((u))I,1。
定义4.9 假设Form(L(Q))，~Form(L(Q))。如果对于任一模型(D, I)和中的任一指派，若~I,1则有I,1，则称是~的语义后承，记为~。
对于系统QZ2，不难证明：
命题4.1 假设Form(L(Q))，~Form(L(Q))。~当且仅当~。
五、推理结构
结构推理是一种非常直观的逻辑形式系统的构建方法。它从结构规则和逻辑联结词的推理规则两个方面来研究逻辑，并且尤其关注各种结构规则所体现的推理行为，展示不同逻辑形式系统的推理特征[注]具体可参见冯棉《结构推理》，桂林：广西师范大学出版社，2015年。。与之相类似的是可以由此深入细致地分析基于各种联结词的联系和区别的推理特性，而括号表示法为研究联结词(或逻辑常项)的推理结构提供了一个非常良好的分析工具。下面我们来概要地说明这一点。
对于一元联结词，可以列出如下一些推理规则：
推理规则1 若，则()()
推理规则2 若()，则()
推理规则3 若()，则()
推理规则4 若()()，则
推理规则5 若(())
推理规则6 若(())
推理规则7 若((()))
推理规则8 若((()))
推理规则9 若，则(()(()))(()(()))
推理规则10 若()()，则((()))((()))
推理规则11 若 (())(())，则(())(())
在适当的共同的结构规则之上加上推理规则1至推理规则6的不同组合可以用来表述不同类型的二值否定，如经典否定、某种直觉主义否定或者某种弗协调否定等等[注]杜国平：《哲思逻辑——一个形而上学内容的公理体系》，《东南大学学报(哲学社会科学版)》2007年第4期。；推理规则7至推理规则11的不同组合则可以用来表述某种类型的三值否定等等。
对于二元联结词，可以列出如下一些推理规则：
推理规则1，()
推理规则2 ()，()()
推理规则3 ()()
推理规则4 ()
推理规则5()
推理规则6若，则()()
推理规则7()
推理规则8 ()
推理规则9若，则(())(())
推理规则10(())
推理规则11((())(()()))
推理规则12((()))
在适当的共同的结构规则之上加上推理规则1至推理规则11的不同组合可以用来表述不同类型的二值二元联结词。如推理规则1加推理规则3至6的组合可以用来描述二值析取，推理规则1、2、3加上推理规则7、8、9的组合可以用来描述二值合取，推理规则1、2加上推理规则10、11、12的组合可以用来描述二值蕴含等等[注] Elliott Mendelson, IntroductiontoMathematicalLogic, Boca Raton: CRC Press, 2010, p. 39.。
其实，推理规则1、3中的括号还具有二元函子的特征，因为其中的括号可以是合取，也可以是析取，还可以是等值等等[注]卢卡西维茨：《亚里士多德的三段论》，李真、李先焜译，北京：商务印书馆，1981年，第197～204页。。
由此可见，使用括号表示法可以彰显各种逻辑联结词在推理行为上的区别和联系，括号表示法可以作为分析联结词推理行为的良好工具。
此外，通过引入不同括号如“( )”“”“”“【】”“”“”等或对括号加上下标如“”来表示不同元数的不同联结词，还可以进一步增强括号表示法的描述能力。
综上，括号表示法作为一项形式语言的符号处理技术，以括号来表示命题联结词、量词、模态词等各种逻辑常项，其语言表达是精确而无歧义的。它与以往的符号表示法不同，是一种整体性符号表示法。运用括号表示法表达的公式，其长度比中置法表达的公式简短，比波兰表示法表达的公式清晰。运用括号表示法改写的一阶逻辑自然推理系统非常简洁。括号表示法为研究逻辑常项的推理结构提供了一个非常良好的技术工具。
中图分类号：B81
文献标识码：A
文章编号：1001-5019(2019)03-0035-07
基金项目：国家社会科学基金重点项目(13AZX019)；国家社会科学基金重大招标项目(14ZDB014)
作者简介：杜国平，中国社会科学院哲学研究所教授，博士生导师(北京 100732)。
DOI：10.13796/j.cnki.1001-5019.2019.03.005
责任编校：余 沉
标签：括号论文; 符号论文; 公式论文; 逻辑论文; 规则论文; 哲学论文; 宗教论文; 逻辑学(论理学)论文; 形式逻辑(名学论文; 辩学)论文; 《安徽大学学报(哲学社会科学版)》2019年第3期论文; 国家社会科学基金重点项目(13AZX019)国家社会科学基金重大招标项目(14ZDB014)论文; 中国社会科学院哲学研究所论文;