摘 要：随着广义量词理论的兴起和发展，逻辑学家们开始研究比传统三段论更为复杂的广义三段论及其有效性。在广义量词单调性的基础上，给出十二个有效的广义三段论推理模式及其相应的有效的广义三段论实例，重点研究可以表征这十二个有效的广义三段论推理模式之间的可化归关系的四个推论。研究不仅说明了利用广义量词的单调性等语义性质可判定广义三段论的有效性，而且还说明了广义三段论的有效性，也表征了广义量词的单调性质等语义性质。
关键词：广义量词；单调性；广义三段论；有效性
一、引言
在自然语言中有很多量化现象。两千多年前，亚里士多德就已经研究了all、some、no和not all这四个亚里士多德量词（简称亚氏量词）的量化现象，即它们在自然语言中的语义性质和推理性质。但这四个亚氏量词具有自身局限性，所涵盖的自然语言现象太狭窄，而且基于四个亚氏量词的传统三段论推理也远远不能够囊括自然语言中的三段论推理。为了能够处理传统三段论以外的三段论推理，提升逻辑处理现实世界的能力，提高计算机处理自然语言的能力，就必须引入广义量词（generalized quantifiers）。[1]
在自然语言中绝大多数量词是广义量词，而不是亚氏量词，因此自然语言中的很多三段论推理不是传统三段论推理，而是广义三段论推理。由于传统三段论的研究已经非常成熟，本文致力于广义三段论推理的研究。正如亚氏量词是广义量词的特例一样，亚氏三段论是广义三段论的特例。
二十世纪以来，默弗里（Murphree，1991）[2]、彼得森（Peterson，2000）[3]、萨默斯（Sommers，2000）和布雷特森（Englebretsen，2000）[4]等人运用不同的方法，从不同的角度对广义三段论的有效性进行了研究，国内张晓君和郝一江（2010）[5]、张晓君和林胜强（2013[6]）、张晓君（2014[7]、2018[8]）、吴宝祥和李晟（2016）[9]等人利用广义量词的语义性质对广义三段论的有效性也进行了研究。本文将在这些学者研究的基础之上，在广义量词单调性和两个命题演算规则的基础上来研究广义三段论的有效性。
若无特别说明，本文中的广义量词用其对应的英语来表示；本文中的符号将才采用标准的集合论记法，A、B、C是直言命题主项或谓项所表示个体组成的集合，E为任意的论域；在不引起混淆的情况下，本文将省略论域E。
二、相关知识准备
广义量词除了包括一阶逻辑中的全称量词（）、特称量词（）以外，还包括限定词a、an、the或其他量化关系指称所形成的所有名词短语NP。例如：“这个、那个、我的、他的书、至少五分之一的、两者都”这些都是广义量词。在自然语言中，广义量词最为普遍的量词是<1>类型量词和<1,1>类型量词，对<1>类型量词的研究可以转化为对其<1,1>类型的亲缘量词的研究。[1]141<1,1>类型量词可以通过真值定义来解释其左论元与右论元组成的集合之间的关系，从而描述广义量词的语义性质和推理性质。例如：“所有的国家都主权独立”中的量词all的真值定义为：all(A,B)⇔A⊆B；“大部分地区都是炎热的”中的量词most的真值定义为：most(A,B)⇔|A∩B|>|A－B|。
广义量词具有单调性、对称性、驻留性、同构闭包性、扩展性、相交性和逻辑性等语义性质，其中最重要的语义性质是单调性。[7]121
第一，Q是右单调递增的（记为Mon↑），当且仅当，若B⊆X，则Q(A,B)⇒Q(A,X)；
定义一：对任意的<1,1>类型的量词Q和任意的论域E而言，令A、B⊆E，
第一，(¬Q)E(A,B)⇔并非QE(A,B)；
第二，(Q¬)E(A,B)⇔QE(A,E－B)；
第三，QδE(A,B)⇔¬(Q¬)E(A,B)⇔((¬Q)¬)E(A,B)。
根据定义1可知：¬no=some、¬some=no、¬all=not all、¬not all=all。
定义二：四个亚氏量词的真值定义如下：
在生态保护和社会经济发展双重压力下，乌江风情廊道产业转型升级需以旅游产业为主导，以旅游主导资源配置方式，实现区域产业的生态化升级和集群式发展，实现在全国生态功能区优质生态产品与文化旅游产品的并行发展。
allE(A,B)⇔A⊆B not allE(A,B)⇔A⊈B
高校轮滑课程的开设,一方面是积极响应国家的号召加强身体健康教育，另一方面也为学生枯燥乏味的学习生活营造了不少乐趣。同时，对于学生因轮滑活动学习而导致的磕碰、扭伤、摔伤等情况时，学校应该认真处理，并制定出相应的预防措施，避免因加强学生体育素质而让受伤学生心理受到影响，违背体育素质教育初衷。本文通过对轮滑活动课程学生受伤情况进行调查分析，并据此提出有效性防范措施。
通过对表2中薏米鸡肉饼亮度、红度、黄度试验数据的分析可得，薏米鸡肉饼的色差数据均是呈现先变大后变小的趋势。而且试验产品的色泽也是在薏米添加量为20.0%时，达到最佳。薏米本身为淡绿色，它对薏米鸡肉饼的光泽影响很大，因此薏米添加量为20.0%左右时，鸡肉饼色泽最佳。
noE(A,B)⇔A∩B=Ø someE(A,B)⇔A∩B≠Ø
定义三：令Q是任意的<1,1>类型的广义量词，B和X都是论域E的子集，
一个广义量词Q存在三种否定量词，即：内否定Q¬、外否定¬Q和对偶否定Qδ。
第二，Q是右单调递减的（记为Mon↓），当且仅当，若X⊆B，则Q(A,B)⇒Q(A,X)；
第三，Q是左单调递增的（记为↑Mon），当且仅当，若A⊆X，则Q(A,B)⇒Q(X,B)；
第四，Q是左单调递减的（记为↓Mon），当且仅当，若X⊆A，则Q(A,B)⇒Q(X,B)。
例如：
随角异色光子晶体薄膜的制备与FDTD模拟······················沈春夏 张方方 黄 璐 孟庆飞 杨伟光 史伟民 (3,422)
（1）所有的孩子正睡得很香⇒所有的孩子正在睡。因此，all是Mon↑的。
（2）并非大多数男人有车⇒并非大多数男人有豪车。因此，most是Mon↓的。
（3）有些男孩正在睡觉⇒有些孩子正在睡觉。因此，some是↑Mon的。
进化团是中国早期话剧的第一个职业剧团，1910年冬成立于上海，1912年秋解散。虽然时间短暂，但在中国话剧演出职业化的演剧道路上做出了最初的尝试。
（4）没有学生吃了午饭⇒没有男学生吃了午饭。因此，no是↓Mon的。
一个广义量词究竟具有怎样的单调性，可以像这里的例子一样用实例加以说明，也可以参见张晓君（2014）。[7]84-111
本文的证明还将应用到如下两个命题变形规则，即：
规则一：从(p˄q)→ r可以推出(¬r˄p)→¬q；
7）用于腹腔或消化道出血血管介入治疗使用微钢圈属于弱铁磁性，与MRI兼容。但MRI检查，在植入部位及附近行可能产生伪影，影响图像质量。
令所有香烟组成的集合用A表示，所有能够导致患癌的东西组成的集合用B表示，所有含有致癌物的个体组成的集合用X表示，则广义三段论实例1可形式化为all(B,X)˄most(A,B)⇒most(A,X)，根据定理一可知，此三段论推理是有效的。
（1）要在完善农村家庭承包土地和林业用地确权颁证登记工作的基础上，加快农业经营主体承包以及租赁国有荒地、荒碱地、海滩和水域等确权登记颁证工作，探索建立农业经营主体流转农户承包土地使用权颁证办法。
证明：首先证明规则 1。因为((p˄q)→r)↔(¬r→¬(p˄q))↔(¬r→(¬p˅¬q))↔(¬r→ (p→¬q))↔((¬r˄p)→¬q)，因此(p˄q)→ r可以推出(¬r˄p)→¬q。
规则二可以类似证明。
证毕。
三、广义三段论的有效性判断
推论一说明了这三个广义三段论推理模式之间具有可化归性。
亚氏量词是广义量词的特例，因此广义三段论包括亚氏三段论。下面将利用广义量词的单调性语义性质和以上的定义，以及两个命题变形规则来判断和解释广义三段论的有效性。
定理一：对于一个<1,1>类型的量词Q而言，Q是右单调递增（Mon↑）的，当且仅当，广义三段论推理模式all(B,X)˄Q(A,B)⇒Q(A,X)是有效推理。
证明：先证明从左到右方向，令Q是一个<1,1>类型量词。假设Q是Mon↑的，根据定义三可知：若B⊆X，则Q(A,B)⇒Q(A,X)；根据定义二的真值定义可知：all(B,X)⇔B⊆X，因此，若all(B,X)，则Q(A,B)⇒Q(A,X)，所以all(B,X)˄Q(A,B)⇒Q(A,X)是有效推理。再证明从右到左方向，令Q是一个<1，1>类型量词。假设all(B,X)˄Q(A,B)⇒Q(A,X)是有效的，根据定义二的真值定义可知：all(A,B)⇔B⊆X，因此，若B⊆X，则Q(A,B)⇒Q(A,X)，根据定义三的单调性定义可知：Q是右单调递增（Mon↑）。证毕。
3）皮带机系统：皮带机系统由传动滚筒和改向滚筒、托辊、输送胶带、清扫装置、安全保护装置、张紧装置及金属结构架等部分构成。
由于“大多数学生都跑得很快⇒大多数学生都跑得快”，而“跑得很快的个体”都是包含在“跑得快的个体”中，所以most是右单调递增（Mon↑）的量词，根据定理一可知，如下包含most的广义三段论实例是有效的。
广义三段论实例1：
大前提：所有能够导致患癌的东西都是含致癌物的。
小前提：大多数香烟都是能够导致患癌的东西。
结论：大多数香烟都是含致癌物的。
规则二：从(p˄q)→ r)可以推出((¬r˄q)→¬p。
定理二：对于一个<1,1>类型的量词Q而言，Q是右单调递增（Mon↑）的，当且仅当，广义三段论推理模式¬Q(A,X)˄all(B,X)⇒¬Q(A,B)是有效推理。
证明：先证明从左到右方向，对于<1,1>类型的量词Q而言，Q是右单调递增（Mon↑）的，根据定理1可知，all(B，C)˄Q(A,B)⇒Q(A,X)，根据前面的命题演算规则1“从((p˄q)→ r)可以推出((¬r˄p)→¬q)”可知：¬Q(A,X)˄all(B,X)⇒¬Q(A,B)。
综上所述，医护人员需要密切关注气管插管患者的病情，给与科学合理精心的护理，注意基础护理、气管插管之后的湿化，感染的预防，以及各种并发症的护理等等。同时需要关注患者的饮食，根据患者情况给与鼻饲、喂养和自理等，一切依照不同患者的情况选择不同的方案。应该遵循从流食到普食的原则。患者的心理状态作为新时代的医护人员液应关注，加强同患者的沟通，对于患者和亲属可给与一定适度的相关知识教育，对于其疑问应耐心科学的解答以及建立随访制度。如此多方面综合的给与患者关怀，减轻患者痛苦，减轻家庭社会负担，提高其生存率以及生存质量。
然后证明从右到左方向，假设¬Q(A,X)˄all(B,X)⇒¬Q(A,B)，根据前面的命题演算规则2“从((p˄q)→ r)可以推出((¬r˄q)→¬p)”可知：¬¬Q(A,B)˄all(B,X)⇒¬¬Q(A,X)，又因为¬¬Q(A,B)=Q(A,B)且¬¬Q(A,X)=Q(A,X)，所以all(B,X)˄Q(A,B)⇒Q(A,X)，再根据定理1可知，Q是右单调递增（Mon↑）的。证毕。
定理三：对于一个<1,1>类型的量词Q而言，Q是右单调递增（Mon↑）的，当且仅当，广义三段论推理模式¬Q(A,X)˄Q(A,B)⇒νot all(B，C)是有效推理。
定理三的证明与定理2的证明类似。
根据定理一、二和三可直接得到下面的推论一：
推论一：all(B,X)˄Q(A,B)⇒Q(A,X)是有效的，当且仅当，¬Q(A,X)˄all(B,X)⇒¬Q(A,B)是有效的，当且仅当，¬Q(A,X)˄Q(A,B)⇒not all(B,X)是有效的。
这里淡水渔业资源丰富，年水产品总量近20万吨，罗氏沼虾产值突破30亿元，是国家级罗氏沼虾标准化养殖示范区，江苏省无公害水产品产地认证整体推进示范县（市）。
广义量词理论已经成为语言学家和逻辑学家研究自然语言常用的工具。这不仅是因为它处理问题简洁明了，而且还在于它具有广泛的用途。下面我们将主要运用广义量词理论的单调性语义性质来研究和判断广义三段论的有效性。
定理四：对一个<1,1>类型量词Q而言，Q是右单调递减（Mon↓）的，当且仅当，广义三段论推理模式all(X,B)˄Q(A,B)⇒Q(A,X)是有效推理。
定理四的证明与定理一的证明类似。
根据定理四可判断一些含右单调递减的广义量词的三段论推理的有效性。例如，neither Peter’s nor Bob’s是Mon↓，根据定理四可知，all(C，B)˄neither Peter’s nor Bob’s(A，B)⇒neither Peter’s nor Bob’s(A，C)是有效推理。
finitely many是Mon↓，根据定理四可知，all(C，B)˄φinitely many(A,B)⇒finitely many(A,X)是有效推理。
式中:cp=1 005 J·kg-1·K-1表示干空气的定压比热;ρ为干空气密度;在高原地区取平均密度0.85g/cm3;CH为热力输送系数;V0为地面10 m风速;Ta为2 m气温;Ts为地表温度。
根据定理四，下面含有“这八个中……最多五个……”这一右单调递减的广义量词的广义三段论实例是有效的。
广义三段论实例2：
大前提：所有搞房地产开发的老板都资产上亿。
小前提：这八个老板中最多五个老板资产上亿。
结论：这八个老板中最多五个老板在搞房地产开发。
定理五：对于<1,1>类型的量词Q而言，Q是右单调递减（Mon↓）的，当且仅当,广义三段论推理模式¬Q(A,X)˄all(X,B)⇒¬Q(A,X)是有效推理。
定理六：对于<1,1>类型的量词Q而言，Q是右单调递减（Mon↓）的，当且仅当，广义三段论推理模式¬Q(A,X)˄Q(A,B)⇒not all(X,B)是有效推理。
(1)矿石矿物成分：原生矿物有黄铁矿、黄铜矿、磁铁矿、辉钼矿等，次生矿物主要有孔雀石、褐铁矿、钼华等；脉石矿物主要为斜长石、钾长石、石英、少量黑云母等。
定理五和定理六的证明与定理二的证明类似。
利用定理五和定理六可以判断一些含右单调递减的广义量词的推理的有效性。由于no是Mon↓的且¬no=some，根据定理六可知，亚氏三段论EIO-3是有效的，即：some(A,X)˄no(A,B)⇒not all(X,B)是有效推理。
根据定理四、五和六可直接得到下面的推论二：
推论二：all(C，B)˄Q(A,B)⇒Q(A,X)是有效的，当且仅当，¬Q(A,X)˄all(X,B)⇒¬Q(A,X)是有效的，当且仅当，¬Q(A,X)˄Q(A,B)⇒not all(X,B)是有效的。
定理七：对于<1,1>类型的量词Q而言，Q是左单调递增（↑Mon）的，当且仅当，广义三段论推理模式all(A,B)˄Q(A,X)⇒Q(X,B)是有效推理。
定理七的证明与定理一的证明类似。
由于infinitely many是↑Mon的，根据定理七可知，infinitely many(A,B)˄all(A，C)⇒ιnfinitely many(C，B)是有效推理。
广义三段论实例3：
大前提：至少十二个足球队是欧美球队。
小前提：所有的足球队都是想拿世界杯冠军的。
孙湛认为，中山医院的MDT发展到今天，既是偶然也是必然。其偶然性就在于，中山医院作为行业中的“排头兵”，“最初的想法是，这些疑难病，我们不看谁看？转到其他医院也是耽误患者救治时间。所以，我们尽可能去尝试，甚至一开始抱着‘啃骨头’的想法去做，是无心插柳的一个行为，好像也没决定要往哪个方向发展。目的很单纯，让原本很难诊治的患者再次得到诊疗的机会，同时又提高了医生的诊疗水平。但结果吸引了大量的首诊患者，首诊患者怎么来的？就是社会声誉来的，是因为我们让更多疑难危重症病例又获得了救治的机会。当初大家并没有意识到最后会达到这样的效果。”
结论：至少十二个想拿世界杯冠军的足球队是欧美球队。
因为at least twelve是左单调递增的，根据定理七可知，可以形式化为all(A，C)˄at least twelve(A,B)⇒at least twelve(X,B)的广义三段论实例3是有效推理。
定理八：对于<1,1>类型的量词Q而言，Q是左单调递增（↑Mon）的，当且仅当，广义三段论推理模式¬Q(X,B)˄all(A,B)⇒¬Q(A,X)是有效推理。
定理九：对于<1,1>类型的量词Q而言，Q是左单调递增（↑Mon）的，当且仅当，广义三段论推理模式¬Q(X,B)˄Q(A,X)⇒not all(A,B)是有效推理。
定理八和定理九的证明与定理二的证明类似。
根据定理七、八和九可直接得到下面的推论三：
推论三：all(A，B)˄Q(A,X)⇒Q(X,B)是有效的，当且仅当，¬Q(X,B)˄all(A,B)⇒¬Q(A,X)是有效的，当且仅当，¬Q(X,B)˄Q(A,X)⇒not all(A,B)是有效的。
定理十：对一个<1,1>类型量词Q而言，Q是左单调递减（↓Mon）的，当且仅当，广义三段论推理模式all(X,A)˄Q(A,B)⇒Q(X,B)是有效推理。
定理十的证明与定理一的证明类似。
利用定理十可判断一些含左单调递减的广义量词的三段论推理的有效性。例如：由于all but at most three是↓Mon的，根据定理十可知，all(X,A)˄all but at most three(A，B)⇒all but at most three(C，B)是有效推理。由于fewer than eight是↓Mon的，根据定理十可知，all(C，A)˄fewer than eight(A,B)⇒fewer than eight(X,B)是有效推理。
定理十一：对一个<1,1>类型量词Q而言，Q是左单调递减（↓Mon）的，当且仅当，广义三段论推理模式¬Q(X,B)˄Q(A,B)⇒not all(C，A)是有效推理。
利用定理十一可以判断一些含左单调递减的广义量词的推理的有效性。例如：由于at most n（n为自然数）是↓Mon的且¬at most n=more than n，根据定理十一可知，more than n(X,B)˄at most n(A，B)˄⇒not all(C，A)是有效推理。
定理十二：对一个<1,1>类型量词Q而言，Q是左单调递减（↓Mon）的，当且仅当，广义三段论推理模式¬Q(X,B)˄all(X,A)⇒¬Q(A,B)是有效推理。
定理十一和定理十二的证明与定理二的证明类似。
根据定理十、十一和十二可直接得到下面的推论四：
推论四：all(X,A)˄Q(A,B)⇒Q(X,B)是有效的，当且仅当，¬Q(X,B)˄Q(A,B)⇒not all(X,A)是有效的，当且仅当，¬Q(X,B)˄all(X,A)⇒¬Q(A,B)是有效的。
综上，从在广义量词单调性的基础上，十二个有效的广义三段论推理模式及其相应的有效的广义三段论实例得以证明，在此基础上也可给出十二有效的广义三段论推理模式之间的可化归关系的四个推论。这不仅说明了利用广义量词的单调性等语义性质可判定广义三段论的有效性，而且还说明了广义三段论的有效性也表征了广义量词的单调性质等语义性质。
四、结束语
从定理一至定理十二可以看出，广义三段论的有效性的实质是表征了相关量词的单调性等语义性质。从推论一至推论四可以看出，有效广义三段论之间具有可化归性。综上所述，根据广义量词的相关语义性质，尤其是单调性的定义及其相关定理，不仅能判断含两个语句之间的单调性推理，还能判断（包括亚氏三段论在内的）广义三段论的推理及其有效性。
可见，广义量词理论具有较为强大而简洁地描述自然语言推理的能力，它不仅可以清晰地表示自然语言中无处不在的广义量词理论的普遍语义特征和集合论性质，还可以解释或判断传统三段论以外的大量的有效的广义三段论的推理。
但是，由于自然语言中广义量词数量过于庞大，在此基础上形成的广义三段论更是复杂多变，但本文只通过广义量词的单调性这一语义性质，对复杂自然语言中较基础和简单的广义三段论推理做了研究，所以对广义三段论的有效性研究远不如对传统三段论的研究那样成熟。比如，广义三段论的有效性、可化归性及其公理化系统的建立等问题还值得进一步研究，甚至可以研究利用广义量词理论的语义性质去判断亚里士多德模态三段论的有效性，这些研究不仅可以扩大广义量词理论的应用范围，还可以进一步丰富和完善对广义三段论理论的研究，有利于计算机科学中的知识表示和知识推理，也有利于进一步提升计算机对自然语言信息化处理的能力。但是广义量词理论的诸多成果还没有引起计算机界足够重视，而且广义量词理论及其相关成果也在丰富和完善的过程中，广义量词理论的潜能也有待更进一步挖掘。
参考文献：
[1]Peters，S，and Westerståhl，D．，Quantifers in Language and Logic[M]．Oxford:Claredon Press，2006．
[2]Murphree，W．A．，Numerically Exceptive Logic:A Reduction of the Classical Syllogism[M]．NewYork:P．Lang，1991．
[3]Peterson，P．L．，Intermediate Quantifiers:Logic，Linguistics，and Aristotelian Semantics[M]．Aldershot:Ashgate，2000．
[4]Sommers，F．，and Englebretsen，G．，An Invitation to Formal Reasoning:The logic of Terms[M]．Aldershot:Ashgate，2000．
[5]张晓君，郝一江．广义量词的单调性与数字三角形[J]．重庆理工大学学报(社会科学版)，2010(3):18-24．
[6]张晓君，林胜强．如何利用广义量词的语义性质判断扩展三段论的有效性[J]．逻辑学研究，2013(2):42-56．
[7]张晓君．广义量词理论研究[M]．厦门：厦门大学出版社，2014．
[8]张晓君．汉语指代消解及其推理模式研究[M]．北京：人民出版，2018．
[9]吴宝祥，李晟．关于居间量词few的广义三段论的有效性[J]．重庆理工大学学报(社会科学版)．2016(7):12-16．
The Validity of Generalized Syllogism Based on the Monotonicity of Generalized Quantifiers
YUAN Jiao-jiao,ZHANG Xiao-jun
(1.Institute of Logic and Information,2.Marxist College,Sichuan Normal University,Chengdu Sichuan 610068 China)
Abstract:With thedevelopment of generalized quantifier theory,logicians began to study the validity of generalized syllogisms,which are more complex than traditional syllogisms.Based on the monotonicity of generalized quantifiers and two propositional transformation rules,this paperfirstly gives 12 valid generalized syllogistic reasoning modes and their corresponding valid examples of generalized syllogisms,and then presents four corollaries that can characterize the reducibility relationship between these 12 valid generalized syllogistic reasoning modes.It not only shows that the validity ofgeneralized syllogisms can be judged by the monotonicity of generalized quantifiers,but also shows that the validity of generalized syllogisms is characterized by its semantic properties such as the monotonicity of generalized quantifiers.
Key words:Generalized Quantifiers;Monotonicity;Generalized Syllogism;Validity
中图分类号：B81
文献标识码：A
文章编号：2096-0239（2019）04-0067-06
收稿日期：2019-03-23
基金项目：国家社科基金项目“面向中文信息处理的汉语语篇的逻辑语义及其推理模式研究”，项目编号：16BZX081。
作者简介：
袁娇娇（1995- ）女，四川自贡人，四川师范大学马克思主义学院硕士研究生。研究方向：自然语言逻辑。
张晓君（1970- ），女，四川南充人，逻辑学博士，四川师范大学马克思主义学院研究员。研究方向：自然语言逻辑、人工智能逻辑。
（责编：彭麟淋 责校：明茂修）
标签：量词论文; 广义论文; 三段论文; 定理论文; 单调论文; 哲学论文; 宗教论文; 逻辑学(论理学)论文; 形式逻辑(名学论文; 辩学)论文; 《贵州工程应用技术学院学报》2019年第4期论文; 国家社科基金项目“面向中文信息处理的汉语语篇的逻辑语义及其推理模式研究”; 项目编号:16BZX081论文; 四川师范大学逻辑与信息研究所论文; 四川师范大学马克思主义学院论文;