论文摘要
多复变函数论源于单复变函数论,但两者又有着本质的不同.双全纯映照是多复变函数论中主要的研究对象之一.为了实现单复变函数理论在高维复空间中的推广,我们需要讨论具有特殊几何性质的双全纯映照,例如星形映照和凸映照等.我们已经有了很多关于星形映照和凸映照的研究成果,但却仅仅知道为数不多的星形映照或凸映照的子族和扩充.并且,当所讨论的空间或区域发生变化时,也会对双全纯映照各类子族的性质产生影响.所以我们很有必要研究具有一些特殊几何性质的双全纯映照的性质.在高维复空间中构造具有特殊几何性质的双全纯映照是多复变几何函数论中的一个重要的课题.Roper-Suffridge算子的引入,架起了单复变几何函数论与多复变函数论之间的桥梁,使得我们可以通过单复变中具有某些特殊几何性质的双全纯函数构造出多复变数中相应的双全纯映照,然而已有的推广的Roper-Suffridge算子可能仅仅保持部分双全纯映照的子族与扩充,并且随着各类具有不同几何性质的双全纯映照子族的不断涌现,我们需要在不同的区域上亦或更广泛的区域上研究Roper-Suffridge算子的推广及其保持双全纯映照各类子族的性质.全纯函数理论除了应用于数学的其它领域之外,也是研究力学、物理学等学科的一个很重要的工具.在应用的过程中人们发现有些情况下我们需要讨论更为广泛的函数类,例如多全纯函数.在单复变函数论中多全纯函数的研究成果已经非常丰富和广泛,然而在多复变数空间中对于多全纯函数的研究成果相对很少,因此本文对于高维复空间中的k全纯函数进行了研究.柯西积分公式及相关柯西型奇异积分在解析函数的边值问题中有着很重要的应用.在单复变中关于Riemann-Hilbert边值问题的研究已经有了比较完善的结果,然而在多复变数空间中对于相关边值问题的研究结果相对较少.本文讨论了具有k全纯核的柯西型奇异积分算子的性质并研究了多复变数空间中k全纯函数的相关边值问题.本论文共有四章内容,绪论部分列出了多复变函数论中与本文内容相关的研究背景、研究现状和本文的主要结果.第一章,从圆锥型域的几何性质出发,定义了星形函数（螺形函数）的新子族α阶-圆锥星形函数（α阶β型k圆锥螺形函数）,并将α阶k圆锥星形函数的概念推广到多复变数空间中,定义了星形映照的新子族-α阶k圆锥星形映照.应用从属原理讨论了单位圆盘上的α阶k圆锥星形函数、α阶β型k圆锥螺形函数及有界星形圆形域上α阶k圆锥星形映照的系数估计问题、Fekete-Szego不等式及在Cn中单位球Bn上的增长、掩盖及偏差定理.第二章,在推广的Hartogs域上将Rop er-Suffridge算子进行了更进一步的推广,应用各类双全纯映照子族的几何特征,详细研究了推广后的Roper-Suffridge延拓算子在Hartogs域上分别在不同的条件下保持SΩ*（β,A,B）、强α次殆β型螺形映照、ρ次抛物型β型螺形映照的几何不变性,并由此得到Cn中的单位球Bn上相应的延拓算子的性质.第三章,从单复变数空间中的kk全纯函数出发定义了多复变数空间中的k全纯函数,给出了 Cn中k全纯函数的一些简单性质,得到了与全纯函数的性质相平行的一些结论.主要讨论了Cn中k全纯函数的柯西积分定理、柯西积分公式及其一系列推论:平均值定理、柯西不等式、唯一性定理、泰勒定理、洛朗定理、刘维尔定理、威尔斯特拉斯定理等.第四章,从双圆柱上的柯西积分公式出发定义了双圆柱上具有kk全纯核的柯西型奇异积分及其柯西主值.然后讨论了关于k全纯函数的柯西型奇异积分算子的性质,得到了具有k全纯核的柯西型奇异积分的Plemelj公式.借助Plemelj公式和柯西型奇异积分的边界性质研究了双圆柱上和广义双圆柱上k全纯函数的边值问题,讨论了边值问题解的存在性,并给出了解的积分表达式.
论文目录
文章来源
类型: 博士论文
作者: 崔艳艳
导师: 乔玉英
关键词: 双全纯映照,星形映照,延拓算子,有界星形圆形域,柯西积分公式,柯西型奇异积分
来源: 河北师范大学
年度: 2019
分类: 基础科学
专业: 数学
单位: 河北师范大学
分类号: O174.5
总页数: 124
文件大小: 1905K
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