刘慧群
摘要：数学教学是一种思维教育、素质教育，它的灵魂和核心就是培养学生的数学思维能力。本文从多方面对如何培养学生的数学思维能力进行了具体阐述。
关键词：数学思维；创新能力；数学教学
作者简介：刘慧群，任教于广西来宾市忻城县中学。
人们在工作、学习、生活中遇到问题，总要"想一想"，这种"想"，就是思维。它是通过分析、综合、概括、抽象、比较、具体化和系统化等一系列过程，对感性材料进行加工并转化为理性认识及解决问题的。我们常说的概念、判断和推理是思维的基本形式。无论是学生的学习活动，还是人类的一切发明创造活动，都离不开思维，思维能力是学习能力的核心。
数学教学是一种思维教育、素质教育，它的灵魂和核心就是培养学生的数学思维能力。在数学教学过程中，教师不仅要传授知识，还要有计划、有目的地启发引导学生积极思维，以数学知识为载体，提高学生的思维能力。那么数学教学中如何有效地培养学生的数学思维能力呢？笔者从以下几点谈谈个人的一些看法。
一、培养学生思维的敏捷性
数学思维的敏捷性，主要反映正确前提下的速度问题。因此，教学中，一方面可以考虑训练学生的运算速度，另一方面要尽量使学生掌握数学概念、原理的本质，提高所掌握的数学知识的抽象程度。因为所掌握的知识越本质、抽象程度越高，其适应的范围就越广泛，检索的速度也就越快。因此，教学中，应当时刻
向学生提出速度方面的要求，另外还要使学生掌握速算的要领。例如每次上课时都可以选择一些数学习题，让学生计时演算；结合教学内容教给学生一定的速算要领和方法；常用的数字，如特殊角的三角函数值、无理数、的近似值都要做到“一口清”；常用的数学公式要做到应用自如。
教学中教师还可以设计一些导向式问题，培养学生数学思维的敏捷性。导向式问题就是教师根据教学目标的要求把教学内容编设为一个个、一组组彼此关联的问题。如果设计的这些导向式问题符合绝大多数学生的认知水平和规律的话，就会激发学生学习兴趣，诱发学习动机，教师辅之适时的启发点拨，随着教学的深入，学生的思维就越来越敏捷。
二、培养学生思维的灵活性
思维的灵活性是指能够根据客观条件的发展与变化，及时改变先前的思维过程，寻找解决问题的新途径，也是指具有超脱常规处理方法的约束力，重新安排已学会的知识。所以我们在精选习题时要注意培养学生思维的灵活性。
例如：|2X-Y-3|+√2Y-X+2=0，则X+Y=。
一般解法是联列方程组，分别求X、Y的值代入得解，运算量大，思维上没有难度，另一种方法是让学生观察本题中代数式的特征，发现他们的和等于X+Y-1，则设X+Y=1。
教学中还可通过数形结合，培养思维的灵活性。数形结合是指数与形相互结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形直观描述有机结合，从而使几何问题代数化，代数问题几何化，进而使抽象思维和形象思维结合起来。因此运用数形结合的教学方法，能开辟思路的途径，培养思维的灵活性。
例如：如果f（x）=x2+bx+c对于任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)，那么（）。
A.f(2)<f(1)<f(4)B.f(1)<f(2)<f(4)
C.f(2)<f(4)<f(1)D.f(4)<f(2)<f(1)
本题若用代数方法求解较为困难，可以引导学生由题设条件f(2+t)=f(2-t)所反映的几何特征：抛物线f（x）=x2+bx+c的对称轴是直线x=2，画出抛物线示意图，根据它的单调性就可分辨f(2)<f(1)<f(4)，故选A。
上例是通过数形结合，利用函数图象的性质解题。由此可见，依形判数，就数论形，互相取长补短，既有利于开拓解题思路，又有利于培养思维的灵活性。
教师在教学中还可以设计发散性问题，培养学生思维的灵活性。教学实践表明，学生的思维能力灵活与否和学生的发散思维水平密切相联。为此，教学中必须适时合理并且经常性地设计发散式问题，引导学生多角度、多方面地思考问题，培养学生思维的灵活性。
三、培养学生思维的批判性
没有批判就没有创新。因此批判思维能力的培养日益被人们重视。学生思维的批判能力正面培养无疑是一个重要方面但仅此还是不够的。这是因为仅抓住这一方面，还不符合学生思维批判能力全面发展的规律。例如，在教学中，我们经常见到这样一种现象，当一个概念、规律、公式和例习题正面学习完后，如若进行全面考察，学生一般只能掌握6成左右，有的学生在解答问题时，错用了概念规律和公式，反倒认为是对的，甚至争得脸红耳赤。因此，就必须注意从反面培养学生思维的批判能力。教学实践证明，适时的设计陷阱式问题，有利于培养学生思维的批判能力，这正是“暴露式”教学和“碰壁式”教学模式提出的理论依据。当某一数学知识教学完后，教师故意布设陷阱或认认真真地出错，就可以创设下列情景：（1）使学生口欲言而心不能，心欲求而不得；（2）诱使学生“上当”、“中计”，从而使学生在失败中吸取教训，在“上当”、“中计”后幡然醒悟。这种“醒悟“境界，常常是正面培养无法达到的。在“醒悟”中，学生变得越来越聪明，思考问题就越来越深刻，思维的批判能力也就随之而生了。
在数学教学中，还应注意从以下几方面进行数学思维批判性的训练：
1．对已有的数学结论和解题过程提出自己的看法，不盲目附和。
2．引导学生独立思考，寻求问题的最佳解决方法。
3．注意选择题练习，促进思维批判性训练。
四、培养学生的逆向思维能力
逆向思维是指由果索因，知本求源，从原问题的相反方向着手的一种思维。它是数学思维的一个重要原则，是创造思维的一个组成部分，也是进行思维训练的载体，培养学生逆向思维过程也是培养学生思维敏捷性的过程。在教学中，我们会发现，有些学生在互逆运算、公式的正逆向运用等有关知识学习中，从正向思维转向逆向思维，重建思维方向有着较大的困难。这就要求在数学教学中，教师不仅要传授知识，而且要有计划有目的地进行数学所必须的思维转换能力的训练。这种思维训练不仅体现于解题教学中，而且要贯穿于整个教学过程，其中包括概念、原理的教学，公式、法则的推导，命题、定理的证明，数学思想和方法的灌输。只有这样，逆向思维能力的培养才不会落空。
思维产生于问题，所以在教学中，对于每一个数学内容，当向学生进行一定程度的正向思维训练后，应根据学情，适时地设计互变式问题，培养学生的逆向思维能力，做一些逆向思维的训练题。
例如：若方程x2-ax+4=0,x2+(a-1)x+16=0，x2+2ax+3a+10=0至少有一方程有实数根，求实数a的取值范围。
直接法思考，本题要从7种情况分别进行讨论求解，繁不堪言。若引导学生倒转角度，从问题的反面去思考，就只须研究三个方程均无实根情况，显然要简单得多。故必须：Δ1=a2-16<0,Δ2=(a-1)2-64<0,Δ3=4a2-4(3a+10)<0
解得-2<a<4。
因此，使已知的三个方程至少有一个方程有实数根时，a的取值范围是集合{a|-2<a<4}的补集，即a≤-2或a≥4。
在数学解题中，根据问题的特点，在应用常规数学思维的同时，注意逆向思维的运用，往往能使很多问题解答简化，对培养学生的数学思维，特别是培养学生思维的敏捷性，提高学生的数学应用能力具有相当重要的意义。
五、培养学生的概括思维能力
数学教学中，应当强调数学的“过程”与“结果”的平衡，要让学生经历数学结论的获得过程，而不是只注意数学活动的结果。这里，“经历数学结论的获得过程”的含义是什么呢？笔者认为，其实质是要让学生有机会通过自己的概括活动，去探究和发现数学的规律。
概括是思维的基础。学习和研究数学，能否获得正确的抽象结论，完全取决于概括的过程和概括的水平。数学的概括是一个从具体向抽象、初级向高级发展的过程，概括是有层次的、逐步深入的。随着概括水平的提高，学生的思维从具体形象思维向抽象逻辑思维发展。数学教学中，教师应根据学生思维发展水平和概念的发展过程，及时向学生提出高一级的概括任务，以逐步发展学生的概括能力。?
在数学概念、原理的教学中，教师应创设教学情境，为学生提供具有典型性的、数量适当的具体材料，并要给学生的概括活动提供适当的台阶，做好恰当的铺垫，以引导学生猜想、发现并归纳出抽象结论。概括的过程具有螺旋上升、逐步抽象的特点。在学生通过概括获得初步结论后，教师应当引导学生把概括的结论具体化。?
在概括过程中，要重视变式训练的作用，通过变式，使学生对新知识全面认识；还要重视反思、系统化的作用，通过反思，引导学生回顾数学结论概括的整个思维过程，检查得失，从而加深对数学原理、通性通法的认识；通过系统化，使新知识与已有认知结构中的相关知识建立横向联系，并概括出带有普遍性的规律，从而推动同化、顺应的深入。?
数学的表现方式是形式化的逻辑体系，数学理论的最后确立依赖于根据假定进行抽象概括的能力。因此，教师应当引导学生学会形式抽象，实际上这是一个高层次的概括过程，在这个过程中，学生的概括思维能力可以得到很好的培养。
六、培养学生类比思维能力
所谓类比思维就是从两个或两类事物某些属性的相近或相反意义出发，根据某个或某类事物有或没有某种属性，进而推出另一个或另一类事物也有或没有某一属性的思维活动过程。在解题过程中，寻找解题的突破口，往往离不开类比联想，正如著名数学家波利亚所说：“类比是伟大的引路人”。因此我们在教学中，要注意多方面培养学生类比思维能力，提高学生类比推理的能力。
1.在新授课的教学中运用类比方法，培养学生类比思维能力
在数学教材中，很多新知识都是在原有知识的基础上发展而来的，因而在这些新知识中多少都会带有旧知识的痕迹，在新授课时，通过对旧知识的回忆类比给学生创造“最佳思维环境”可以使学生猜想出新授知识的内容、结构、研究思想与方法，激发学习的积极性，变被动听为主动学。
2.把握类比教学时机，培养学生类比思维能力
类比推理能力是数学探究能力成分之一，因而教师应充分挖掘教材中有利于培养学生类比思维能力的内容，充分展现类比探索的思维过程，使之成为培养学生学会类比推理方法的有效载体。
如在平面解析几何教学中，由椭圆类比出双曲线的有关内容，在数列教学中由等差数列类比出等比数列的知识，函数教学中由正弦函数类比出余弦函数，从而使学生学会平行类比的方法。
3.设置类比性习题，加强类比训练，促进学生类比思维的发展
授之以法，并进行有效的训练，才能使之转化为学生的思维方式。因此对学生进行类比方法的训练，是发展学生类比思维能力过程中十分重要的一环。
七、设计探究式问题培养学生的创造性思维能力
创造性思维能力是指学生重新组织已有的知识经验，提出新的方式或程序，并创造出新的思维成果的能力。如独特的见解，新颖的解法，公式、规律独到的证法或用法等都是创造性思维的突出标志。而这些创造性思维的产生都不同程度地来源于教师设计的探究式问题的引导。如果设计的问题不具有探究性，就不能较好地调动学生探索的积极性，也就不能培养学生的创造性思维能力。因此，学生创造性思维能力的培养与设计探究问题的导引有着直接关系。所以教师要精心设计探究式的问题，尽可能花较少的时间引导学生去进行创造性思维。
例如：已知函数f(x)是奇函数，而且在（0，+∞）上是增函数，试问f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数？
学生解答得函数f(x)在(-∞,0)上是增函数。
进一步探索拓展：
（1）已知函数f(x)是奇函数，而且在（0，+∞）上是减函数，试问，f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数？
（2）已知函数f(x)是偶函数，而且在（0，+∞）上是增函数，试问，f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数？
（3）已知函数f(x)是偶函数，而且在（0，+∞）上是减函数，试问，f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数？
提出上述探究问题后，让学生讨论解决，再将这些问题的条件和结论列成表格，并总结出规律：奇函数在其定义域内的两个对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的两个对称区间上的单调性相反。
以上问题虽然简单，规律也容易得出，但学生的数学创造性思维主要就存在和表现于这样的探究活动中，并在这样的探究活动中不断发展提高。
上述几个方面的思维能力的发展是相辅相成、不容分割的。比如，类比思维、概括思维、批判思维等是创造性思维的基础，而创造性思维是其他几个方面思维的发展。因此，必须根据学生的知识基础、智力发展规律、教学内容的特点和内在联系，综合平衡，精心设计课堂问题，全方位地培养学生的思维能力。
参考文献：
[1]张丽华.在数学教学中培养学生的思维能力[J].吉林教育,2007（Z2）.
[2]李钰莲.如何在数学教学中培养学生的思维能力.新课程(上),2011(7).
作者单位：广西来宾市忻城县中学546200
HowtoEffectivelyCultivateStudents’MathematicsThinkingAbilityinMathematicsTeaching
LIUHuiqun
Abstract:Mathematicsteachingisakindofthinkingeducationandqualityeducation,anditssoulandcoreistocultivatestudents’mathematicsthinkingability.Thispaperexpoundshowtocultivatestudents’mathematicsthinkingabilityfromseveralaspects.
Keywords:mathematicsthinking;innovativeability;mathematicsteaching