松弛迭代算法的加速方法研究

论文摘要

椭圆偏微分方程经常出现在数学、物理和工程等方面,为了求解由有限差分法离散椭圆偏微分方程之后得到的一系列线性代数方程组,许多迭代法的研究日趋活跃。投影法如基于Krylov子空间的共轭梯度法(CG)、广义最小残差法(GMRES)方法等需要有效的预处理子,在自适应网格上有限制性。因此通常考虑基本迭代法如Jacobi迭代法、Richardson方法、SOR迭代法等来求解方程组。由于Jacobi迭代法具有简单性和可大规模并行化的特点,近几年关于Jacobi迭代加速算法的研究层出不穷,这些研究主要从两个方面对Jacobi迭代进行加速。一是在Jacobi迭代法的变形算法中引入一些松弛参数对误差的相应部分进行控制,如已有的规划松弛雅可比迭代法(SRJ)、DOR迭代法等;二是在Jacobi迭代过程中加入Anderson算法,如Anderson雅可比迭代法(AJ)和交替Anderson雅可比迭代法(AAJ)等。在Jacobi迭代的加速变形算法基础上,本文以规划松弛雅可比迭代的加速算法为研究课题,重点研究算法的加速过程和收敛性,主要研究内容分为三部分。首先对已存在的四种主要的Jacobi加速算法进行介绍,包括加权雅可比迭代法、规划松弛雅可比迭代法、Anderson雅可比迭代法和交替Anderson雅可比迭代法。其次通过在SRJ的每一个迭代循环中分别加入Anderson加速法和最小残差法来构造两种新算法,形成交替Anderson规划松弛雅可比迭代法(AASRJ)和最小残差规划松弛雅可比迭代法(MRSRJ),并在文中给出相应的算法步骤。最后在Laplace模型问题、变系数问题和辐射扩散模型问题下进行数值实验,比较SRJ、AAJ、AASRJ、MRSRJ与最优的SRJ算法,即切比雪夫雅可比迭代法(CJ)求解相应问题时的收敛性能和计算时间,在求解大规模线性代数系统的过程中总结出AASRJ和MRSRJ的收敛性质,验证了AASRJ可与CJ相竞争的算法高效性,且AASRJ和MRSRJ在文中所考虑的所有情况下收敛效率也优于SRJ。两种算法的简单性和高效性使得它们都是求解大规模稀疏线性代数系统方程的优良迭代法。

论文目录

• 摘要
• abstract
• 第一章 绪论
•   1.1 研究工作的背景与意义
•   1.2 国内外研究历史与现状
•   1.3 本文的主要贡献与创新
•   1.4 本论文的结构安排
• 第二章 四种迭代算法的介绍
•   2.1 加权雅可比迭代法
•   2.2 规划松弛雅可比迭代法
•     2.2.1 最优规划松弛雅可比迭代法
•   2.3 Anderson雅可比迭代法
•     2.3.1 Anderson加速
•   2.4 交替Anderson雅可比迭代法
•   2.5 本章小结
• 第三章 两种松弛迭代算法加速方法研究
•   3.1 交替Anderson规划松弛雅可比迭代法
•   3.2 最小残差规划松弛雅可比迭代法
•   3.3 本章小结
• 第四章 数值实验
•   4.1 Laplace模型问题
•     4.1.1 参数分析
•     4.1.2 五种算法的比较
•   4.2 变系数问题
•     4.2.1 两种新算法的特点
•   4.3 辐射扩散模型问题
•   4.4 本章小结
• 第五章 全文总结与展望
•   5.1 全文总结
•   5.2 后续工作展望
• 致谢
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间取得的成果

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 孔倩

导师: 荆燕飞

关键词: 雅可比迭代法,加速,最小残差法,交替雅可比迭代法,规划松弛雅可比迭代法

来源: 电子科技大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 电子科技大学

分类号: O241.6

总页数: 57

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