无穷维向量值非线性薛定谔共振系统的柯西问题

论文摘要

本论文主要研究无穷维向量值非线性薛定谔（Schrodinger）共振系统的柯西问题,它是经典薛定谔方程的推广。我们主要利用“紧性-反证法”（亦被称为“刚性论证法”）来研究无穷维向量值非线性薛定谔（Schrodinger）共振系统的解的整体适定性和散射理论。本文共分为四章,主要内容如下:第一章绪论,我们简要回顾了经典非线性薛定谔方程的研究背景和研究进程,并由此引出本文所要研究的无穷维向量值非线性薛定谔共振系统的柯西问题,最后我们还对本文所要研究问题的主要结果和研究方法进行了介绍。在第二章中,我们首先对本文所使用的分析工具“调和分析”中的一些必要定理和不等式做了简单回顾。随后我们简单介绍了本文所研究的无穷维向量值非线性薛定谔（Schrodinger）共振系统的一些基本概念和结果,如质量守恒,能量守恒,Cauchy问题的局部适定性,稳定性等。接着我们给出了“几乎周期解”的定义以及对其在希尔伯特空间Lx2h1中进行刻画。最后我们对将要工作的函数空间U△p（l2）,V△p（l2）给出定义,并且证明了它的一些基本性质。第三章为长时间Strichartz估计及其推导,是本文重要组成部分之一。它被用来排除“拟孤立子解”和“急速频率喷流解”的存在性,进而确定无穷维向量值非线性薛定谔共振系统散射理论成立。长时间Strichartz估计的建立是在上一章里所构建的U△p（l2）,V△p（l2）函数空间的基础之上进行的,其证明较为冗长,需要三个双线性Strichartz估计的建立为基础,我们会在本章中逐一展开说明。在第四章中,我们建立频率局部化的相互作用Morawetz估计,这是本文另一重要组成部分。我们用长时间Strichartz估计和它来排除“临界元”的存在性,进而证明无穷维向量值非线性薛定谔共振系统的解散射成立,至此完成本文的整个论述过程。频率局部化的Morawetz估计的推导与第三章中的三个双线性Strichartz估计的推导有些相似,我们会在这一章里展开讨论。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
•   1.1 背景介绍及研究进展
•   1.2 主要结果与研究方法
• 第二章 Cauchy问题基本理论与一些预备知识
•   2.1 预备知识
•   2.2 局部适定性、稳定性和小初值散射
•   2.3 几乎周期解的约化以及临界元的存在性
• △^p（l²）,V_△^p（l²）空间和双线性Strichartz估计'>  2.4 U_△^p（l²）,V_△^p（l²）空间和双线性Strichartz估计
• 第三章 长时间Strichartz估计
•   3.1 长时间Strichartz估计
•   3.2 三个双线性Strichartz估计的证明
• 第四章 频率局部化的相互作用的Morawetz估计和定理1.2.1的证明
•   4.1 频率局部化的相互作用的Morawetz估计
•   4.2 刚性和定理1.2.1的证明
• 参考文献
• 致谢
• 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果

文章来源

类型: 博士论文

作者: 杨凯龙

导师: 赵立丰

关键词: 向量值薛定谔共振系统,整体适定性,散射

来源: 中国科学技术大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 中国科学技术大学

分类号: O175

总页数: 99

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