几类非线性发展方程的李对称分析及其精确解

论文摘要

非线性发展方程（NLEEs）是常见的偏微分方程,能够用来解释物理和工程科学各个分支中的非线性问题,如流体力学、非线性动力学、光纤与声学等.通过数学模型分析物理现象是理论和应用科学不可或缺的部分.这些模型通常是非线性偏微分系统,其在本质上与描述复杂物理现象的理论相辅相成.因此,非线性偏微分方程（NLPDEs）已经成为许多研究的基石.本文主要基于李对称分析的原理,综合利用（G’/G2）-展开法、Painleve分析、幂级数法与伴随方程方法,并辅以数学符号计算系统Maple的运用,探讨了若干非线性发展方程的对称、精确解与守恒律.第一章介绍了本文的研究背景与意义以及研究方法,分别从偏微分方程的来源与发展、已具备的研究成果以及李对称分析的基本思想和预备知识这几个方面给出介绍,最后简要叙述了本文研究内容.第二章基于李对称分析方法以及（G’/G2）-展开法对常系数Camassa-Holm方程进行求解,分别讨论了方程在不同情况下的幂级数解、双曲函数解、三角函数解与有理函数解,并使用Maple绘制了特殊参数取值下的孤波解三维图像.第三章运用李对称分析的方法探究了两类五阶常系数非线性发展方程,借助符号计算工具Maple分别获得了在不同情况下的对称及最优系统.运用相似约化,将偏微分方程约化为容易求解的常微分方程.进而求解约化方程,构造了原方程包含幂级数解在内的不同形式精确解.最后根据伴随方程和对称,分别给出了两类方程的守恒律.第四章利用Painleve分析、李对称分析与幂级数法探讨了广义时变系数Gardner方程.首先通过Painleve分析与李对称方法获得了方程的可积条件、精确解与向量场.进一步利用幂级数法,求解约化得到的常微分方程的精确解,从而获得了原方程的若干精确解,对解释复杂的物理运动有一定现实作用.第五章为总结与展望,首先对本文的研究内容进行了归纳和总结,并简述成果,之后展望了未来在非线性演化方程方面的研究工作.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
•   1.1 研究背景与意义
•   1.2 李群方法概述
•   1.3 研究内容
• 2）-展开及精确解'>第二章 常系数Camassa-Holm方程的李对称分析、（G'/G²）-展开及精确解
•   2.1 引言
• 2）-展开法'>  2.2 （G'/G²）-展开法
•   2.3 常系数Camassa-Holm方程的李对称分析及幂级数解
•     2.3.1 Camassa-Holm方程的李对称分析及对称约化
•     2.3.2 Camassa-Holm方程的幂级数解
• 2）-展开及精确解'>  2.4 常系数Camassa-Holm方程的（G'/G²）-展开及精确解
•   2.5 本章小结
• 第三章 高阶常系数非线性发展方程的李对称分析、精确解及守恒律
•   3.1 引言
•   3.2 守恒律
•   3.3 方程的李对称分析及最优系统
•     3.3.1 方程的李对称分析
•     3.3.2 方程的最优系统
•   3.4 方程的对称约化与精确解
•     3.4.1 方程的对称约化
•     3.4.2 方程的幂级数解
•   3.5 方程的守恒律
•   3.6 本章小结
• 第四章 广义时变系数Gardner方程的Painleve分析、李对称及精确解
•   4.1 引言
•   4.2 Painlev分析
•   4.3 广义时变系数Gardner方程的Painleve分析
•   4.4 广义时变系数Gardner方程的李对称分析
•   4.5 基于Painleve分析的精确解
•   4.6 广义时变系数Gardner方程的精确解
•     4.6.1 r=-1时方程的精确解
•     4.6.2 r≠-1时方程的精确解
•   4.7 本章小结
• 第五章 总结与展望
• 致谢
• 参考文献
• 附录: 作者在攻读硕士期间发表的论文

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 王琪

导师: 李连忠

关键词: 非线性发展方程,李对称分析,幂级数法,分析,精确解

来源: 江南大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 江南大学

分类号: O175.2

总页数: 45

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