论文摘要
本文研究变化域上随机发展方程的动力学行为,主要讨论薄域和扩张域这两类变化域.薄域是指一个高维域退化到低维域.目前薄域问题已有部分结果,本文所考虑的具体问题是证明双空间随机吸引子的存在性以及当高维域退化到低维域时吸引子在正则空间上的收敛性（即上半连续性）.扩张域是指将一个有界域扩张到无界域.扩张域问题是本文发展的一个新课题,主要研究了一个定义在一列扩张域上的随机发展方程,讨论其随机吸引子的存在性和有界域吸引子逼近到无界域吸引子的上半连续性.具体来说,本文的主要研究内容及创新之处如下:1、证明了薄域上随机反应-扩散方程的双空间吸引子的存在性以及退化到低维域时吸引子在正则空间的收敛性.首先,我们得到了每个吸引子A?（?指域的厚度）在L2和Lp上的可测性并用符号截断与空间分解的方法证明了A?在Lp中的紧性和吸引性.此外,还证明了当域的厚度趋于零时,吸引子A?在Lp拓扑下收敛到低维域吸引子.2、研究了薄域上带一般的乘法噪音的反应-扩散方程,证明了随机吸引子在p次Lebesgue空间和Sobolev空间中的存在性以及p范数意义下的上半连续性.不同于加法噪音,我们需对一般乘法噪音的反应-扩散方程进行不同的假设来得到不同的依赖样本的Lusin连续性和解的一致估计.另一方面,还需要用谱分解的方法来得到协循环在Sobolev空间中的一致估计与渐近紧性.3、讨论了薄域上随机反应-扩散方程关于初始数据的（L2,H1）-连续性以及（L2,H1）-随机吸引子.这里,我们将方程中的非线性项分解成（p,q）-增长指数类型.利用数学归纳法和bootstrap技术,得到了方程解的差分在初始值附近是(L2,Lkp-2k+2)连续的.特别地,当k=2时,利用2p-2阶可积性,我们证明了解算子关于初始值从L2到H1的连续性.从而,进一步得到了方程的（L2,H1）-随机吸引子.4、以随机g-Navier-Stokes方程（指用?·（gu）=0替换通常的NS方程中的?·u=0）为例,建立了扩张域上随机吸引子的存在性与逼近的理论体系.粗略地讲,通过函数的延拓与限制技巧以及推广的能量方程方法,我们证明了延拓后的协循环序列是弱等度连续和强等度渐近紧的.进而得到了相应延拓随机吸引子的存在性和当有界域吸引子趋近于无界域时吸引子的上半连续性结果.
论文目录
文章来源
类型: 博士论文
作者: 李富智
导师: 李扬荣
关键词: 非自治随机动力系统,双空间吸引子,正则性,上半连续性,薄域,扩张域
来源: 西南大学
年度: 2019
分类: 基础科学
专业: 数学
单位: 西南大学
分类号: O175
总页数: 126
文件大小: 1354K
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