摘 要:针对属性与决策者权重未知且方案属性值为直觉模糊数的多属性决策问题,并充分考虑直觉模糊环境下信息波动性与不具体性,提出了一种基于新的直觉模糊距离测度和多准则妥协解排序(VlseKriterijumska optimizacija I kompromisno resenje,VIKOR)法的多属性决策方法。首先拓展补充了直觉模糊距离测度的定义,在此基础上构建了新的直觉模糊距离公式以减少决策信息缺乏,利用直觉模糊熵确定属性与决策者权重,然后再运用新的直觉模糊距离计算VIKOR法中的群体效用和个体后悔度进而得到决策结果,最后,通过实际案例分析验证了该方法的合理性与有效性。
关键词:多属性决策; 直觉模糊数; 信息波动性; 距离测度; 多准则妥协解排序法
0 引 言
多属性决策(multi-attribute decision making,MADM)是决策领域的重要组成部分,主要针对包含多个属性的有限备择方案决策问题, 其本质是依据衡量决策者给出的关于备择方案的属性信息,通过一定的方式对有限个备择方案进行评估,进而得到备择方案的排序。一些经典的MADM方法被提出并得到学者们的广泛使用和持续改进,例如TOPSIS法,VIKOR法,PROMETHEE法,ELECTRE法等。文献[1]进一步比较了VIKOR法、TOPSIS法、ELECTRE法和PROMETHEE法,认为在这些方法中,VIKOR法同时考虑了最大化群体效用和最小化个体遗憾,得到的决策结果更为合理。
随着科技的进步与社会经济环境不断发展,人们在实际决策中需要处理的信息日益复杂与模糊,通常存在一定程度的知识缺乏或表现出一定程度的犹豫,使得做出准确的决策更加困难。1986年保加利亚学者ATANASSOV引入非隶属度概念到ZADEH教授提出的传统模糊集,提出了直觉模糊集(intuitionistic fuzzy sets,IFSs)的概念[2]。由于IFSs能够从隶属度和非隶属度两个维度更准确地描述决策问题中的模糊性本质,在处理不确定性和模糊性MADM问题时存在着较大的优势和特点,许多国内外学者将 VIKOR 法扩展到直觉模糊环境下处理MADM问题,取得了丰硕的研究成果。在文献[3]中,DEVI提出了一种直觉模糊VIKOR法以解决机器人选择问题,在该方法中,备择方案的属性和权重由三角直觉模糊数表示。文献[4]在直觉模糊环境下将VIKOR法用于解决供应商选择中的群决策问题。基于IFSs的相似性测度,文献[5]提出了一种新的直觉模糊VIKOR法来解决多响应优化问题。
距离测度是IFSs的重要基础概念,并在VIKOR法中具有重要作用,经典的折衷规划就是基于距离测度的,它是由一个特定解与理想/不可行解的贴近度决定的,最大化了群体效用,同时最小化了个体的遗憾。一些现存方法采用直觉模糊加法和减法算子来计算“群体效用”和“个体后悔度”,但其计算结果仍然是IFSs的形式,需要进一步根据IFSs的比较法则进行排序,一定程度上增加计算量,并且计算结果不如基于距离测度的VIKOR法得到精确数简洁明了。目前,文献[6-7]对现存的距离测度和相似性测度研究进行了综述,并利用人工测试框架对这些测度进行了比较。可以看出,一方面现有的距离测度存在反例并且没有考虑到IFSs的波动性,即缺乏知识的情况,被证明具有一定的局限性,而另一方面,距离测度的选择对于直觉模糊VIKOR法计算结果有很大影响,直接影响决策结果。
因此,考虑到直觉模糊环境下信息波动性与不具体性因素,本文补充拓展了直觉模糊测度定义,并在此基础上提出了一种新的直觉模糊距离测度公式,一方面能尽可能避免反例出现,另一方面能够有效地体现IFSs信息特点。针对属性与决策者权重未知且方案属性值为直觉模糊数的MADM问题,提出了一种基于新的直觉模糊距离和VIKOR的MADM方法。该方法运用新的直觉模糊距离计算VIKOR法中的群体效用和个体后悔度进而得到决策结果,在获取更为准确的直觉模糊距离测度的同时实现对MADM问题的合理有效分析。
1预备知识
下面,先简要回顾下一些IFSs的基本概念和相关理论。
定义 1[1]设X是一个非空集合,则称
张明耀等[9]通过在接枝聚合过程中调节TDDM(硫醇)加入量，控制接枝SAN形态和分子量，研究发现：不加TDDM时橡胶内接枝数量多，橡胶模量增加，产品冲击性能变差；加入TDDM后内接枝减少，同时接枝SAN分子量也减少，提高了ABS树脂的冲击强度，并提高产品的流动性能。
A={<x,uA(x),vA(x)>|x∈X}
(1)
为IFSs,其中uA:X→[0,1]和vA:X→[0,1]分别表示X中元素x属于X的子集A的隶属度和非隶属度,且满足对于任意x∈X,有0≤uA+vA≤1。πA(x)=1-uA(x)-vA(x)称为犹豫度,πA(x)∈[0,1],表示x中元素X属于A的犹豫度或不确定度。
定义 2[8]为方便计算,称为直觉模糊数(intuitionistic fuzzy numbers,IFNs),其得分函数定义为
(2)
其精确函数定义为
(3)
根据式(2)与式(3),XU提出了比较两个和大小的方法[9]:
(1) 若则小于表示为
(2) 若则小于表示为
(3) 若则
①若则等于表示为
2011年4月，华为首次公布的董事会成员名单显示，孟晚舟为新一届董事会成员，并出任公司常务董事、CFO。
②若则小于表示为
③若则小于表示为
定义 3[10]设为一组IFNs,其中则直觉模糊加权集结算子可定义为
除上述危机预防与化解的主要方法、对策外，还有“心灵净化”法、“治者自律”法、“报怨以德”法、“精细管理”法、“柔性艺术”法等。可分别参见(十六章)“致虚极，守静笃。”[3](六十七章)“我有三宝，持而保之。一曰慈，二曰俭，三曰不敢为天下先。慈故能勇；俭故能广；不敢为天下先，故能成器长。”[3](六十三章)“大小多少，报怨以德。”[3](六十三章)“图难于其易，为大于其细；天下难事必作于易，天下大事必作于细。”[3](四十三章)“天下之至柔，驰骋天下之至坚。”[3]限于篇幅，不一一展开论述。
(4)
式中,wi是的权重,wi∈[0,1]且
定义 4[11]设A是论域X中的IFSs。直觉模糊熵定义如下:
(5)
定义 5[12]对任意A,B,C∈IFSs(X),设一映射d:IFSs(X)×IFSs(X)→[0,1],d(A,B)满足下面的性质:
因此
|uA(xi)-uB(xi)|+|vA(xi)-vB(xi)|+
(DP2) 当且仅当A=B时,d(A,B)=0;
(DP3)d(A,B)=d(B,A);
(DP4) 如果A⊆B⊆C,则有d(B,C)≤d(A,C),且d(A,B)≤d(A,C)。
则d(A,B)为IFSsA和B之间的距离测度。
2新的直觉模糊距离测度的提出
在提出新的直觉模糊距离测度之前,下面简要回顾以往直觉模糊距离测度存在的局限。
设A和B为论域x∈X上的两个IFSs,其中A={<xi,uA(xi),vA(xi)>|xi∈X},B={<xi,uB(xi),vB(xi)>|xi∈X},在文献[13]中,Szmidt和Kacprzyk基于经典的Hamming提出了两种直觉模糊距离测度:
(6)
(7)
文献[14]指出Szmidt和Kacprzyk的距离测度虽然具有一些良好的几何特征,但在应用中存在一些缺陷。因此,提出了下列新距离测度:
d1(A,B)=
(8)
(9)
基于经典Hausdorff测度,文献[15]提出了一些计算IFSs之间距离的方法,这些距离测度也是经典Hamming距离、Euclidean距离和他们标准形式的拓展。
证明设A,B,C∈IFSs(X),不难看出dL(A,B)满足定义6的性质(P4),(P6)和(P7)。因此,只需证明dL(A,B)满足(P1),(P2),(P3),(P5)。
dh(A,B)=
(10)
lh(A,B)=
(11)
eh(A,B)=
(12)
qh(A,B)=
(13)
|vA(xi)-vB(xi)|,|πA(xi)-πB(xi)|}
|vA(xi)-vB(xi)|,|πA(xi)-πB(xi)|}
(14)
文献[16]将文献[15]的方法拓展至三维形式:
绍兴文理学院生命科学学院每年约有3%～4%左右的毕业生由于种种原因不能顺利毕业或获得学士学位，但是其中绝大多数是因为学业方面的问题，如未修满学分，未通过英语四、六级考试，未通过省计算机二级VB等级考试，未获得创新学分，等等.这可能影响到毕业生的就业和发展前途，个别毕业生会表现出沮丧或怨愤情绪，随时可能引发学生的心理危机.这时教务管理人员工作的关键，就是要指导学生顺利完成学业，帮助学业上有困难的同学，提醒掉以轻心只在乎考研和就业的同学不要忽略最基本的学业.
(15)
虽然目前学者们已经提出了多种不同形式的距离测度,且大部分现存距离测度都能满足直觉模糊距离的定义。但仍然存在一些反例[6-7],例如,考虑3个单值IFSsA=(x,0.4,0.2),B=(x,0.5,0.3)和C=(x,0.5,0.2),利用现有方法dnH,dnE,lh,leh,d1,计算A和B之间的距离,得到的结果等于或大于A和C之间的距离。根据定义2中的得分函数和精确函数,以及比较法则可知IFSsA,B和C满足C>B>A,表明A和B之间的距离应该小于A和C,所以上述方法计算的结果是不合理的。分析其原因,一是不同的距离测度有不同的关注点,这样以来适用于不同的环境,二是这可能意味着现存的关于距离测度的定义不够严格。具体而言,定义如果能考虑如下两个方面会更加严谨和合理:首先,定义5只对端点d(A,B)=0时的条件作了限制,而未考虑另一端点d(A,B)=1;其次,距离测度如果能够满足三角不等式那么将更加完整合理。
另一个值得关注的地方在于,直觉模糊信息中存在两种不确定性,一种是模糊性,而另一种称为缺乏知识或不具体性。首先,IFSs是模糊集的一种拓展形式,因此也具有模糊性。这种模糊性是第一种不确定性,主要反映两种分明、具体的信息:隶属度和非隶属度。在IFSs中,存在另一种不确定性即缺乏知识或不具体性,也可称为波动性。这种不确定性反映了一种不具体的信息:犹豫度,它表示我们对隶属度和非隶属度的未知程度。这两种不确定性显然是不一样的,犹豫度自身就存在不确定的因素,因为其代表的是一种“亦此亦彼”的状态。然而,大多数现有的距离测度只考虑了IFSs参数数值之间的差异,而没有考虑直觉模糊信息的波动性。进一步解释,用IFSsA=(x,0.1,0.2)和B=(x,0.1,0.2)表示两种模式,其中IFSsA和B的犹豫度都为0.7,用上述方法计算IFSsA和B之间的距离是相等的,表示两种模式一模一样。从数值的角度看这一结论是正确的,因为IFSsA和B的参数完全相等。但是从直觉模糊信息的角度看,这一结论是不合理的。诚然,IFSsA和B的犹豫度πA(x)=1-uA(x)-vA(x)都等于0.7,但这只是表明IFSsA和B缺乏知识的程度为0.7,不能表示模式A和B是一样的。根据IFSs定义,IFSsA与B存在的犹豫程度虽然均为0.7,这个0.7相当于对于人们是未知的,但如果认知水平进一步发展,两者的犹豫程度转化为隶属度和非隶属度的情况很有可能出现不一样的结果。换而言之,因为缺乏知识,所以无法得到肯定结论——两种模式是一样的。
作为一种表示不确定性信息的有效工具,IFSs的优势就在于考虑了波动性,因为犹豫度指数能描述一种中立的状态(亦此亦彼)。此外,需要注意的是距离测度方法的目的是衡量IFSs所表示信息之间的差异,而非IFSs自身数值的差异。因此距离测度应该有针对性的考虑直觉模糊信息波动性和不具体性的特点。
Fist is its originality,Zhuang drama is a kind of dramatic art developed under the basis of Zhuang people’s daily life and Zhuang’s folk art,so it crucially reflects the artistic and aesthetic view of Zhuang’s people,so it is of absolute protogenic characteristic.
受直觉模糊信息特征的启发,本文对直觉模糊距离测度定义进行了补充拓展,下面给出拓展后的直觉模糊距离测度的公理化定义。
定义 6 对任意A,B,C,D∈IFSs(X),设一映射d:IFSs(X)×IFSs(X)→[0,1],d(A,B)称为A和B之间的直觉模糊距离当且仅当满足下面的性质。
“临川四梦”的后二梦《南柯记》和《邯郸记》，分别取材于两部唐人传奇：李公佐的《南柯太守传》和沈既济的《枕中记》；后者还参考了刘宋时刘义庆的志怪小说《幽明录·焦湖庙祝》的内容。[9]《邯郸记》中除吕洞宾度人成仙的一头一尾外，着重写了卢生侥幸与清河崔氏结为夫妻，靠“孔方兄”（金钱）打通关节而科举成名，出将入相，宦海沉浮，最后又在酒色之中溘然死去的奇特梦境，艺术地概括了一个封建社会的大官僚一生的历史，再现了正在走向腐朽没落的明王朝的黯淡命运。
(P1) 0≤d(A,B)≤1。
(P2)d(A,B)=0当且仅当A=B且πA(x)=πB(x)=0。
且
(P3)d(A,B)=1当且仅当IFSsA=(x,1,0),B=(x,0,1)或IFSsA=(x,0,1),B=(x,1,0)。
(P4)d(A,B)=d(B,A)。
(P5)d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C),对任意A,B,C∈IFSs(X)。
(P6) 如果A⊆B⊆C,则d(B,C)≤d(A,C)且d(A,B)≤d(A,C)。
当育明轮在航行时，其艏艉处的存在压强差以及艉部的回流会产生船舶阻力，阻力主要存在于船艏部分，并且船艉处的受力方向和船艏的受力方向相反。通过计算，得出的阻力如表1。
(P7) 如果A=B和C=D,则
① 当πA(x)+πB(x)>πC(x)+πD(x)时,d(A,B)>d(C,D);
数字化阅读时代的来临给传统的印刷业带来了巨大的冲击，也为书籍设计提出了新问题，传统书籍设计教学正面临着前所未有的挑战。在以往的书籍设计课程教学中，学生过分依赖于电脑软件的实用性与高效率，致使书籍的排版编辑设计沦落为依附于纸媒的“电子书”。在这一过程中，学生常常无视书籍的形态、书籍的视觉效果以及书籍作为艺术作品所担负的情感需求，而只关注其构成元素，这成为现阶段书籍设计教学的主要问题。重视和解决这些困难，需要教师对书籍设计教学实践进行改革，以发挥学生的创新思维，增强书籍设计的个性化与原创性。
② 当πA(x)+πB(x)<πC(x)+πD(x)时,d(A,B)<d(C,D);
由于实际背离了自由主义原则，南方奴隶主的失败是必然的。南方的失败使联邦权力得到进一步强化，“州权至上论”就此终结，人人生而自由平等的观念进一步深入人心，美国人崇奉的自由主义原则有了新的内涵，同时也有了新的文化凝聚力和政治影响力。
③ 当πA(x)+πB(x)=πC(x)+πD(x)时,d(A,B)=d(C,D)。
则d(A,B)为IFSsA和B之间的距离测度。
上述定义是对定义5的拓展,一方面,引入了一些新的属性让定义更加严格,(P3)是对端点取值d(A,B)=1更细化的条件限制;(P5)是一个新的属性条件,要求距离测度满足三角不等式。另一方面,定义通过加强属性条件(P2),以及增加一个新的属性条件(P7),进一步体现出了直觉模糊信息的特点。直觉模糊距离测度不仅满足传统距离的大部分属性,也满足一个特殊的属性:即如果一个IFSs的犹豫度不为0,那么不存在IFSs与它的距离测度为0,并且犹豫度越大,距离越大。因为它们的犹豫度不同时为0,即存在中立或不确定的情况,那么即使两个IFSs在数值上完全相等,它们的隶属度与非隶属度在认知水平发展之后极有可能出现转化不一样的情况,这是由IFSs的“亦此亦彼”性决定的。
下面,本文引入一个新的距离测度。设A=<x,uA(x),vA(x)>,B=<x,uB(x),vB(x)>为论域X={x1,x2,…,xn}中的IFSs。
(16)
|(uA(xi)+1-vA(xi))-(uB(xi)+1-vB(xi))|]
(17)
(18)
θ3(xi)=max(|uA(xi)-uB(xi)|,
(19)
dL(A,B)的构造主要考虑到两个方面,一是与传统距离测度方法一样,考虑IFSs参数之间的差异,包括隶属度uA(xi)和uB(xi),非隶属度vA(xi)和vB(xi),犹豫度πA(xi)和πB(xi),也包括区间中值(uA(xi)+1-vA(xi))/2和(uB(xi)+1-vB(xi))/2之间的差异。二是满足直觉模糊距离的新条件要求,θ2(xi)旨在反映不确定信息的波动性。直觉模糊信息的不具体性越大,两个IFSs之间存在差异的可能性就越大。这样,可以得到以下定理:
定理 1 dL(A,B)是论域X={x1,x2,…,xn}中IFSsA和B的距离测度。
2017年2 月，教育部、国家体育总局下发了《关于推进学校体育场馆向社会开放的实施意见》（教体艺〔2017〕1号），全面推动学校体育场馆向学生和社会开放。在保证学校教学的基础上，有条件的学校可以有序地向学生和社会开放，这项举措充分体现了学校体育场馆建设的公益性质。但是，作为学生教育教学的主要阵地，学校在场馆资源有限的情况下，应该优先向哪个群体开放呢？
(P1) 因为
0≤θ1(xi)+θ2(xi)=
|(uA(xi)+1-vA(xi))-(uB(xi)+1-vB(xi))|+
πA(xi)+πB(xi)]=
|uA(xi)+vB(xi)-uB(xi)-vA(xi)|+
πA(xi)+πB(xi)]=
|(uA(xi)-uB(xi))-(vA(xi)-vB(xi))|+
2-uA(xi)-uB(xi)-vA(xi)-vB(xi)]≤
(DP1) 0≤d(A,B)≤1;
化学法——金属与水反应。这种方法最常用的金属是镁。镁属于第二主族元素，与钠同周期，故金属性比钠弱，与水反应生成物与纳与水反应相似，条件比钠要求高。镁与热水(冷水)反应强烈(缓慢)生成氢氧化镁沉淀物并置换出氢气，化学方程式为，Mg+2H2O=Mg(OH)2+H2↑。
2-uA(xi)-uB(xi)-vA(xi)-vB(xi)]=
2|vA(xi)-vB(xi)|-(vA(xi)+vB(xi))+2]≤
2(vA(xi)+vB(xi))-(vA(xi)+vB(xi))+2]=
(20)
又因为
0≤θ3(xi)=
max(|uA(xi)-uB(xi)|,|vA(xi)-vB(xi)|,
(21)
综合式(20)和式(21),可以得到
0≤θ1(xi)+θ2(xi)+θ3(xi)≤3
(22)
(2) 提高浮选精煤回收设备处理能力，降低精煤水分。采用沉降过滤式离心脱水机与精煤压滤机联合脱水工艺替代原有流程。浮选精矿经过截粗后进入沉降过滤式离心脱水机脱水，产品作为最终精煤。滤液则泵入精煤压滤机再次脱水，滤饼作为精煤产品，滤液作为浮选入料稀释水循环使用。改造后浮选系统处理能力提高约50%，浮选精煤水分保持在21%上下。
0≤dL(A,B)=
(23)
(P2) 因为dL(A,B)=0⟺uA(xi)=uB(xi),vA(xi)=vB(xi),πA(xi)+πB(xi)=0⟺A(x)=B(x)且πA(x)=πB(x)=0。所以,dL(A,B)满足定义6的属性(P2)。
(P3) 根据式(20)和式(21),可得
dL(A,B)=1⟺θ1(xi)+θ2(xi)=2且θ3(xi)=1⟺
枪声定位系统中，节点检测的枪声信息中主要包括枪声到达声传感器阵列的时间，准确的时间信息能够优化系统的测试结果。在（DMTS）算法[12]的基础上，通过两次广播簇头的时钟信息来估算簇头和节点之间的相对频率偏差，并修正接收节点的本地时钟，时间同步算法流程如图6所示。
max(|uA(xi)-uB(xi)|,|vA(xi)-vB(xi)|,
A(x)=(1,0,0),B(x)=(0,1,0)或
A(x)=(0,1,0),B(x)=(1,0,0)。
因此,dL(A,B)满足定义6的条件(P3)。
(P4)A和B,B和C,A和C之间的距离可分别表示为
(24)
(25)
(26)
显然
|uA(xi)-uB(xi)|+|uB(xi)-uC(xi)|≥|uA(xi)-uB(xi)+uB(xi)-uC(xi)|=|uA(xi)-uC(xi)|
(27)
|vA(xi)-vB(xi)|+|vB(xi)-vC(xi)|≥|vA(xi)-vB(xi)+vB(xi)-vC(xi)|=|vA(xi)-vC(xi)|
(28)
|(uA(xi)+1-vA(xi))-(uB(xi)+1-vB(xi))|+|(uB(xi)+1-vB(xi))-(uC(xi)+1-vC(xi))|=
|uA(xi)+vB(xi)-uB(xi)-vA(xi)|+|uB(xi)+vC(xi)-uC(xi)-vB(xi)|≥
|uA(xi)+vB(xi)-uB(xi)-vA(xi)+uB(xi)+vC(xi)-uC(xi)-vB(xi)|=
|uA(xi)-vA(xi)+vC(xi)-uC(xi)|=|(uA(xi)+1-vA(xi))-(uC(xi)+1-vC(xi))|
(29)
|πA(xi)-πB(xi)|+|πB(xi)-πC(xi)|≥|πA(xi)-πB(xi)+πB(xi)-πC(xi)|=|πA(xi)-πC(xi)|
(30)
(31)
因此,可得到dL(A,B)+dL(B,C)≥dL(A,C)。
证毕
于是,可以得到结论,因为满足性质(P1)～(P7),所以dL(A,B)为论域X={x1,x2,…,xn}上IFSsA和B之间的距离测度。
当提出一种新的距离测度时,常常以克服其他方法存在的反例来说明方法的优越性,这些反例通常是以单元素IFSs的形式出现。文献[7]总结了过去文献中出现的反例并建立了由6组不同单元素IFSs构成的人工测试框架,用以测试直觉模糊距离和相似性测度。虽然这些例子不能涵盖所有的反例,但它们具有代表性。在文献[6]中,PAPAKOSTAS等人认为所有新提出的方法都应该经过这一人工框架的检验。为了进一步说明所提距离测度的有效性,我们利用人工框架中所有的测试IFSs对所提方法和现有方法进行比较。此外,为了反映出直觉模糊信息的特点,在人工框架测试集中加入了一组新的单元素IFSs,扩展的测试集如表1所示。
表1 测试的IFSs
Table 1 Test intuitionistic fuzzy sets
IFSs1234567A=(uA,vA)(1,0)(0,0)(0.4,0.2)(0.3,0.3)(0.3,0.4)(0.1,0.2)(0.4,0.2)B=(uB,vB)(0,0)(0.5,0.5)(0.5,0.3)(0.4,0.4)(0.4,0.3)(0.1,0.2)(0.5,0.2)
表2是直觉模糊距离反例测试结果的比较。其中,加粗斜体为反例，不难看出dnH,dnE,lh,leh, 不满足性质(P3),因为这些方法在计算{A=(x,1,0),B=(x,0,0)}时结果等于1。类似地,dnH,leh在计算{A=(x,0,0),B=(x,0.5,0.5)}时也不满足性质(P3)。距离测度dnH,leh和认为第1组测试IFSs之间的距离与第3组测试IFSs之间的距离相等,显然不合理。距离测度lh,d1和计算第4组测试IFSs之间的距离与第5组测试IFSs之间的距离都为0.1,表明他们无法有效区分积极和消极的差异。当使用方法dnH,dnE,lh,leh,d1和计算第3组测试IFSs之间的距离与第7组测试IFSs之间距离时,前者大于等于后者,这是不合理的,因为根据定义2的得分函数和精确函数,以及IFNs的比较法则,有C>B>A,表明A与B之间的距离应该小于A与C直接的距离。此外,所有现有方法计算第6组测试IFSs时都为零,结果不合理。IFSs比传统FSs能够更加有效的描述不确定信息,是因为其引入了犹豫度来刻画“亦此亦彼”的状态。在本例中,因为犹豫度自身包括不具体的信息且支持和反对的比重不确定,所以实质上无法确定IFSs所表示的信息之间没有差异。
基于对表2的分析,可以得到如下结论,现存方法虽然各有侧重点且满足所有或大部分直觉模糊距离测度的性质条件,但这些方法绝大多数存在反例,那么会导致在一些应用中无法有效的区分IFSs之间的差异。本文所提方法是唯一的,不存在表2中的反例的方法,且满足所有直觉模糊距离测度的性质,考虑了犹豫度可能带来的潜在差异。
表2 距离测度之间的比较
Table 2 Comparison between distance measures
IFSs1234567dL(A,B)0.833 30.500 00.166 70.166 70.200 00.233 30.183 3dnH(A,B)1.000 01.000 00.200 00.200 00.100 000.100 0dnE(A,B)1.000 00.866 00.173 20.173 20.100 000.100 0lh(A,B)1.000 00.500 00.100 00.100 00.100 000.100 0leh(A,B)1.000 01.000 00.200 00.200 00.100 000.100 0d1(A,B)0.750 00.500 00.100 00.100 00.100 000.750 0dP2(A,B),p=10.500 00.500 00.100 00.100 00.100 000.050 0
3基于新距离测度的直觉模糊VIKOR法的MADM步骤
在新距离测度的基础上,本节给出所提直觉模糊VIKOR法的详细步骤。对直觉模糊环境下的MADM问题,设Ai(i=1,2,…,m)为备择方案集合,Ai表示第i个备择方案,Cj(j=1,2,…,n)为属性集合,其对应的权重信息表示为为决策者集合,决策者权重表示为受经典VIKOR法和其拓展方法的启发,基于新距离测度的直觉模糊VIKOR法具体步骤如下:
步骤 1 生成评价信息。决策者Dq(q=1,2,…,l)以IFNs的形式(或由IFNs表示的语言变量形式)给出关于备择方案Ai的属性Cj的评价则Dq给出的评价信息可表示为
(32)
步骤 2 生成决策者的客观权重信息。根据决策者提供评价信息的模糊性和未知程度,利用直觉模糊熵公式客观地得到决策者的权重信息λq(q=1,2,…,l)。模糊性和未知程度越小、直觉模糊熵越小,权重越大。通过式(5),决策者Dq的直觉模糊熵为
(33)
则决策者Dq的客观熵权可以定义为
(34)
式中,l表示决策者的数量。
步骤 3 建立直觉模糊决策矩阵。通过式(4),对所有个体决策矩阵D(q)进行集结,进而得到合成的直觉模糊决策矩阵:
(35)
式中,
步骤 4 生成属性的客观权重信息。类似于步骤2,利用直觉模糊熵确定属性权重wj(j=1,2,…,n)能够更准确客观地反映评价属性的重要程度,减少主观随意性。通过式(5),可得到评价属性Cj的直觉模糊熵:
(36)
则属性Cj的客观熵权可定义为
(37)
式中,n为属性的数量。
步骤 5 确定正负理想值。属性Cj对应的正理想值和负理想值可被定义为
(38)
(39)
步骤 6 计算群体效用值Si,个体后悔值Ri和折衷评价值Qi。利用新的直觉模糊距离计算备择方案的3个关键取值:
(40)
(41)
(42)
式中,γ称为决策机制系数,γ>0.5表示根据最大化群体效用的决策机制来选择,γ=0.5表示根据均衡折衷的方式选择,γ<0.5表示根据最小化个体遗憾的决策机制进行决策。
步骤 7 对备择方案进行排序并得到最终决策方案。将Si,Ri和Qi数值按升序排列,得到3组排序S[·],R[·]和Q[·]。然后根据以下两个判断准则来进行优选决策,对于在Q[·]中排序第一的备择方案A(1),如果同时满足下面两个判断条件则被视为最佳折衷决策结果。
条件 1 可接受优势准则
(43)
式中,A(1),A(2)分别为Q[·]中排序前两位的备择方案。
条件 2 可接受的稳定性准则:如果方案A(1)在序列S[·]和R[·]中也是排序第一,则说明A(1)在决策过程中是稳定的。
如果不能同时满足可接受优势和可接受稳定性准则,说明有多个备择方案非常接近,将得到一组折衷解。具体情况如下:
(1) 当只有条件2不满足时,备择方案A(1)和A(2)皆为最优决策结果;
(2) 如果条件1不满足,则得到一组方案A(1),A(2),…,A(u),其中A(u)由公式Q(A(u))-Q(A(1))<1/(m-1)决定。
4算例分析
4.1VIKOR方法进行推荐排序
本文以某高校信息管理系统选择为例,进一步阐明所提出的基于新距离测度的直觉模糊VIKOR方法,表3为算例评价语言变量与IFNs的对应关系。
为了全面了解备选的高校信息管理系统,拟聘请3位专家(专家DM1、专家DM2和DM3)组成评估小组,通过评估备选信息管理系统五方面属性:C1系统性;C2全面性;C3可操作性;C4可信度;C5时效性,对4个备择高校信息管理系统A1、A2、A3、A4进行排序和优选。评估小组3名专家首先根据语言变量对4种备择方案的属性进行评价,评价信息如表4所示。
表3 语言变量与IFNs的对应关系
Table 3 Corresponding relationship between language variables and IFNs
语言变量IFNs非常差(EP)(0.05,0.95,0.00)差(P)(0.20,0.70,0.10)较差(MP)(0.35,0.55,0.10)一般(M)(0.50,0.40,0.10)较好(MG)(0.65,0.25,0.10)好(G)(0.80,0.10,0.10)非常好(EG)(0.95,0.05,0.00)
表4 决策者给出的评价信息
Table 4 Evaluation information given by the decision maker
属性DM1A1A2A3A4DM3A1A2A3A4DM3A1A2A3A4C1MGMMGMPGMPMMGMGMGC2GMPGGGMGMMGGGMGC3MPMGMMMPMGMGMPMGEGMGC4MGMEGMGMMGMGMGMGMC5MGMGMGMGMGPMGMGGMG
通过式(33)和式(34)确定各决策者的直觉模糊熵权,得λ1=0.322 0,λ2=0.324 4,λ3=0.353 6。通过式(35)可建立综合的直觉模糊决策矩阵为
通过式(36)和式(37)确定各属性的直觉模糊熵权,得w1=0.195 0,w2=0.212 9,w3=0.198 0, w4=0.196 6,w5=0.197 6。通过式(38)和式(39),进一步对属性值进行排序,得到属性的正理想值和负理想值为
不失一般性,设γ=0.5。通过式(40)～式(42),计算各备择方案的群体效用值Si、个体后悔值Ri和折衷评价值Qi,结果如表5所示。
由表5可知,各备择方案优先序为Q3<Q1<Q4<Q2,其中最小值为A3。判定所选方案是否满足可接受优势准则和可接受稳定性准则,A3在Si和Ri中排序第一,且Q1-Q3=0.329 8≥0.25,这意味着A3是该问题唯一的折衷评价值。
表5 备择方案的Si、Ri和Qi值
Table 5 Values of Si,RiandQi for the alternatives
方案A1A2A3A4Si0.547 00.665 70.391 10.717 5Ri0.197 90.212 70.194 80.197 4Qi0.329 80.906 50.000 00.569 8
4.2与基于海明距离的直觉模糊VIKOR方法排序结果比较
在文献[4]中,ROOSTAEE R等人提出了一种基于海明距离的直觉模糊VIKOR法。为了证明本文所提出方法的有效性,将该方法与文献[4]中基于海明距离的直觉模糊VIKOR法进行了比较,基于海明距离的直觉模糊VIKOR法的计算结果如表6所示。结果表明,这两种决策方法一致认为第3种信息管理系统更适合该高校。
表6 基于海明距离的直觉模糊VIKOR法备择方案的Si、Ri和Qi值
Table 6 Values of Si,RiandQi for all alternatives by the hammingdistance based IF-VIKOR method
方案A1A2A3A4Si0.449 50.589 60.329 50.656 9Ri0.198 00.212 90.195 00.197 6Qi0.267 10.897 20.000 00.572 6
在本例中,需要指出的是,专家所提供的评价处于较低的犹豫度,如表3和表4所示,语言值的最大犹豫度数值为0.1,表示评价的不具体性(缺乏知识)程度较低。在这种情况下,两种方法都可以有效地对备选方案进行评价和排序。然而,文献[4]基于海明距离的IF-VIKOR方法并不总是能够得到有效的结果,尤其是在犹豫程度高的MADM问题中。它可能会产生一些违反直觉的情况,从而可能会得到不合理的结果。
4.3参数敏感度分析
在直觉模糊VIKOR法中,决策机制系数γ对备择方案排序结果非常关键。因此,我们将参数γ在区间[0,1]范围内以步长为0.1取值进行了敏感度分析,本节通过考察参数γ不同取值变化对折衷解决方案的影响程度,以说明本文所提方法在处理MADM问题时的有效性。
我们将参数在区间[0,1]范围内以步长为0.1取值,利用本文提出的决策方法分别计算本文算例与文献[17]算例的排序结果,并将排序结果呈现于表7和表8中。基于表7和表8中不同决策机制系数γ的排序结果,我们发现参数γ的值从0变化到1,各自算例的折衷解决方案是一致的。这也是说,折衷方案的最终选取结果对参数γ的取值并不敏感。通过参数敏感度分析,可以得出折衷方案选取结果具有较强的稳定性,这也进一步证实本文所提出的方法是有效的。
表7 不同决策机制系数γ的排序结果(本文算例)
Table 7 Ranking results of different decision-making mechanism coefficient γ (Example in this paper)
γQ1Q2Q3Q4排序最优方案00.167 61.000 00.000 00.139 7A3浣A4浣A1浣A2A30.10.200 00.981 30.000 00.225 7A3浣A1浣A4浣A2A30.20.232 50.962 60.000 00.311 7A3浣A1浣A4浣A2A30.30.264 90.943 90.000 00.397 8A3浣A1浣A4浣A2A30.40.297 40.925 20.000 00.483 8A3浣A1浣A4浣A2A30.50.329 80.906 50.000 00.569 8A3浣A1浣A4浣A2A30.60.362 20.887 80.000 00.655 9A3浣A1浣A4浣A2A30.70.394 70.869 10.000 00.741 9A3浣A1浣A4浣A2A30.80.427 10.850 40.000 00.827 9A3浣A1浣A4浣A2A30.90.459 60.831 70.000 00.914 0A3浣A1浣A2浣A4A310.492 00.813 00.000 01.000 0A3浣A1浣A2浣A4A3
表8 不同决策机制系数γ的排序结果(文献[17]中的算例)
Table 8 Ranking results of different decision-making mechanism coefficient γ (Example in[17])
γQ1Q2Q3 Q4Q5排序最优方案00.322 40.689 90.000 00.708 30.936 4A3浣A1浣A2浣A4浣A5A30.10.319 90.663 00.000 00.698 80.926 5A3浣A1浣A2浣A4浣A5A30.20.317 40.684 30.000 00.699 40.918 3A3浣A1浣A2浣A4浣A5A30.30.314 90.701 80.000 00.689 10.906 0A3浣A1浣A4浣A2浣A5A30.40.312 40.713 80.000 00.708 90.895 3A3浣A1浣A4浣A2浣A5A30.50.309 90.717 10.000 00.728 60.884 8A3浣A1浣A2浣A4浣A5A30.60.307 40.731 20.000 00.748 40.876 2A3浣A1浣A2浣A4浣A5A30.70.304 90.752 30.000 00.768 20.869 1A3浣A1浣A2浣A4浣A5A30.80.302 50.723 70.000 00.787 90.850 4A3浣A1浣A2浣A4浣A5A30.90.300 00.740 80.000 00.807 70.831 7A3浣A1浣A2浣A4浣A5A310.297 50.790 30.000 00.827 40.813 0A3浣A1浣A2浣A5浣A4A3
具体而言,本文所提方法主要特点和创新点如下:
(1) 与基于IFSs拓展形式的VIKOR法[18-19]相比,本文IFSs具有完备的理论基础,例如基本定义与运算、比较法则、信息融合方法和测度理论。所提方法可以充分利用这些理论,更加利于实际应用。
(2) 虽然ROOSTAEE等人基于海明距离将VIKOR法拓展至直觉模糊环境下,但其方法有时会存在反例且没有考虑IFSs的波动性。新方法基于新的距离测度可以有效反映出直觉模糊信息的特点。并且该距离测度在文献[7]提出的人工框架测试中不存在反例。
(3) 与文献[18,20]方法采用直觉模糊算子计算“群体效用”和“个体后悔度”相比较,本文运用新的直觉模糊距离计算VIKOR法中的群体效用和个体后悔度,得到的结果是精确值,计算量更小且更加直观,所得决策结果更加合理。此外,决策机制系数可以根据实际需求设定,以平衡群体效用和个体后悔,增加了决策的灵活性。
5 结 论
考虑到直觉模糊环境下信息波动性与不具体性因素,本文补充拓展了直觉模糊测度定义,并在此基础上提出了一种新的直觉模糊距离测度公式,一方面能尽可能避免反例出现,另一方面能够有效地体现IFSs信息特点。针对属性与决策者权重未知且方案属性值为IFNs的MADM问题,提出了一种基于新距离测度的直觉模糊VIKOR法多属性决策方法。该方法利用直觉模糊熵确定属性与决策者权重,然后运用新的直觉模糊距离计算VIKOR法中的群体效用和个体后悔度进而得到决策结果,从算例分析可验证本文所提出的方法是合理和有效的。本文所提出的直觉模糊距离测度能应用于模式识别、故障诊断和目标分类等领域,所提出的MADM方法能应用到诸如供应商选择、人力资源管理等MADM问题,具有较好的理论意义和实用价值。
参考文献：
[1] OPRICOVIC S, TZENG G H. Extended VIKOR method in comparison with outranking methods[J]. European Journal of Operational Research, 2007, 178(2): 514-529.
[2] ATANASSOV K. Intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzzy Sets & Systems, 1986, 20(1): 87-96.
[3] JIN H P, CHO H J, KWUN Y C. Extension of the VIKOR method for group decision making with interval-valued intuitionistic fuzzy information[J]. Fuzzy Optimization & Decision Making, 2011, 10(3): 233-253.
[4] ROOSTAEE R, IZADIKHAH M, LOTFI F H, et al. A multi-criteria intuitionistic fuzzy group decision making method for supplier selection with VIKOR method[J]. International Journal of Fuzzy System Applications, 2012, 11(2): 10-17.
[5] PENG J P, YEH W C, LAI T C, et al. Similarity-based method for multiresponse optimization problems with intuitionistic fuzzy sets[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers Part B Journal of Engineering Manufacture,2013,227(6):908-916.
[6] PAPAKOSTAS G A, HATZIMICHAILIDIS A G, KABURLASOS V G. Distance and similarity measures between intuitionistic fuzzy sets: a comparative analysis from a pattern recognition point of view[J]. Pattern Recognition Letters, 2013, 34(3): 1609-1622.
[7] XU Z S, CHEN J. An overview of distance and similarity measures of intuitionistic fuzzy sets[J]. International Journal of Uncertainty Fuzziness and Knowledge-Based Systems, 2008, 16(3): 529-555.
[8] CHEN S M, TAN J M. Handling multicriteria fuzzy decision-making problems based on vague set theory[J]. Fuzzy Sets & Systems, 1994, 67(2): 163-172.
[9] XU Z S, YAGER R R. Some geometric aggregation operators based on intuitionistic fuzzy sets[J]. International Journal of General Systems, 2006, 35(4): 417-433.
[10] XU Z S. Intuitionistic fuzzy aggregation operators[J]. IEEE Trans.on Fuzzy Systems, 2007, 14(6): 1179-1187.
[11] 范晓诗, 雷英杰, 李成海, 等. 严格直觉模糊熵[J]. 系统工程与电子技术, 2016, 38(3): 602-606.
FAN X S, LEI Y J, LI C H, et al. Strict intuitionistic fuzzy entropy[J]. Systems Engineering and Electronics, 2016, 38(3): 602-606.
[12] SONG Y F, WANG X D, LEI L, et al. An evidential view of similarity measure for Atanassov’s intuitionistic fuzzy sets[J]. Journal of Intelligent and Fuzzy Systems,2016,31(12):1653-1668.
[13] SZMIDT E, KACPRZYK J. Entropy for intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzzy Sets System, 2001, 118(24): 467-477.
[14] WANG W Q, XIN X L. Distance measure between intuitionistic fuzzy sets[J]. Elsevier Science, 2005, 26(13): 2063-2069.
[15] GRZEGORZEWSKI P. Distances between intuitionistic fuzzy sets and/or interval-valued fuzzy sets based on the Hausdorff metric[J]. Fuzzy Sets and Systems, 2004, 148(2): 319-328.
[16] YANG Y, CHICLANA F. Consistency of 2D and 3D distances of intuitionistic fuzzy sets[J]. Expert Systems with Applications, 2012, 39(10): 8665-8670.
[17] FATIH E B, SERKAN G, MUSTAFA K, et al. A multi-criteria intuitionistic fuzzy group decision making for supplier selection with TOPSIS method[J]. Expert Systems with Applications,2009, 36(12):11363-11368.
[18] DEVI K. Extension of VIKOR method in intuitionistic fuzzy environment for robot selection[J]. Expert Systems with Applications, 2011, 38(11):1163-1168.
[19] WAN S P, WANG Q Y, DONG J Y. The extended VIKOR method for multi-attribute group decision making with triangular intuitionistic fuzzy numbers[J]. Knowledge-Based Systems, 2013, 52: 65-77.
[20] MOUSAVI S M, VAHDANI B, BEHZADI S S. Designing a model of intuitionistic fuzzy VIKOR in multi-attribute group decision-making problems[J]. Iranian Journal of Fuzzy Systems, 2016, 13(1): 45-65.
ExtendedVIKORmethodofmulti-attributedecisionmakingunderintuitionisticfuzzyenvironmentbasedonanewdistancemeasure
WANG Rugen, LI Weimin, LUO Xiao, LYU Chengzhong
(GraduateSchool,AirForceEngineeringUniversity,Xi’an710051,China)
Abstract: A multi-attribute decision making method is proposed based on an intuitionistic fuzzy distance and VlseKriterijumska optimizacija I kompromisno resenje (VIKOR) for multi-attribute decision making problems in which attribute and decision maker weight are unknown and scheme attribute values are intuitionistic fuzzy numbers while fully considering the information non-specificity in the intuitionistic fuzzy environment. Firstly, the definition of intuitionistic fuzzy measure is extended and an intuitionistic fuzzy distance formula is constructed to reduce the lack of decision information on this basis, intuitionistic fuzzy entropy is used to determine the attribute and decision maker weight, and then the new intuitionistic fuzzy distance is applied to calculate the group utility and individual regret of VIKOR to obtain the decision result. Finally, the rationality and effectiveness of the method are verified by actual case analysis.
Keywords: multi-attribute decision making (MADM); intuitionistic fuzzy numbers; information volatility; intuitionistic fuzzy distance measure; VlseKriterijumska optimizacija I kompromisno resenje (VIKOR) method
收稿日期:2018-05-18;修回日期：2019-03-19;网络优先出版日期:2019-08-22。
网络优先出版地址:http:∥kns.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20190822.1024.033.html
基金项目:国家自然科学基金(61273275)资助课题
中图分类号:C 934
文献标志码:A
DOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2019.11.16
作者简介：
汪汝根(1993-),男,博士研究生,主要研究方向为作战运筹分析、决策支持。
E-mail:wrg7507@qq.com
李为民(1964-),男,教授,博士,主要研究方向为作战运筹分析。
E-mail:784849082@qq.com
罗 骁(1990-),男,助教,博士,主要研究方向为作战运筹分析。
E-mail:wrg75071523@qq.com
吕诚中(1991-),男,博士研究生,主要研究方向为空天防御系统与工程。
E-mail:1651311060@qq.com
标签：直觉论文; 模糊论文; 距离论文; 方法论文; 属性论文; 社会科学总论论文; 管理学论文; 决策学论文; 《系统工程与电子技术》2019年第11期论文; 国家自然科学基金(61273275)资助课题论文; 空军工程大学研究生院论文;